第3章几种常见的概率分布律

1、2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,1,第三章 几种常见的概率分布律,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,2,学习目标,1、了解离散型随机变量的概率分布 2、了解连续型随机变量的概率分布 3、学会用统计表和Excel计算分布的概率,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,3,生物学中常见的离散性概率分布,、二项分布 、泊松分布,生物学中常见的连续性概率分布 3、正态分布,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,4,3.1 二项分布,3.1.1 二项分布的概率函数 3.1.2 服从二项分布的随机变量的特征数 3.1.3 二项分布应用实例,2020/7/11

2、,湖北大学生命科学学院 彭宇,5,3.1.1 二项分布的概率函数,在独立重复试验中，总体的某个性状每一次试验只有非此即彼两个可能结果(生男、生女；药物有效或者无效)，这种非此即彼事件所构成的总体叫二项总体，也叫0，1总体。 当每次独立的从二项总体抽取n个个体，这n个个体：“此”事件出现的次数X可能有0、1、2、.n,共有n+1种,这n+1种可能性有它各自的概率，组成一个分布,此分布叫二项概率分布或简称二项分布。二项分布是一种离散型分布。,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,6,3.1.1 二项分布的概率函数,二项分布满足下列条件: 一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败” “

3、成功”是指我们感兴趣的某种特征 一次试验“成功”的概率为 ，失败的概率为1 ，且概率对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并可以重复进行n次 在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,7,3.1.1 二项分布的概率函数,例3.1：从雌雄各半的100只动物中抽样，抽样共进行10次，问其中包括3只雄性动物的概率是多少？包括3只及3只以下的概率是多少？即求P（X3）和P（X3）=F(x)。 该例符合二项分布的条件。,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,8,3.1.1 二项分布的概率函数,先了解以下一组符号： n 试验次数 x

4、在n次试验中事件A出现的次数 事件A发生的概率(每次试验都是恒定的) 1 事件 发生的概率 p(x) = “X的概率函数”P(Xx) F(x) = P(Xx) =,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,9,3.1.1 二项分布的概率函数,上例中：n = 10，x = 3， = 0.5，求p(3) 和F(3)。在一次抽样中抽到的结果为：mmmfffffff，它的概率为 P(mmmfffffff ) = 3(1 )7抽到3雄7雌的数目相当于从10个元素中抽出3个元素的组合数 ，因此抽到3只雄性动物的概率为：,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,10,3.1.1 二项分布的概率

5、函数,对于任意n和x有以下通式： 其中,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,11,3.1.1 二项分布的概率函数,上式称为二项分布的概率函数。该式是牛顿二项式展开后的第x + 1项，因而产生“二项分布”这一名称。因为 +(1 )1，所以,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,12,3.1.1 二项分布的概率函数,将x0,1,2,3，代入二项分布概率函数，可以得出：出现0、1、2和3只雄性动物的概率（ n = 10; x =0,1,2, 3; = 0.5） P（0） 0.0009766 P（1） 0.0097656 P（2） 0.0439453 P（3） 0.1171876

6、 抽到3只和3只以下雄性动物的概率为： F（3）=P(X3)P（0）P（1）P（2）P（3）0.1718751,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,13,3.1.2 服从二项分布的随机变量的特征数,总体平均数：n 以比率表示时: 总体方差：2n （1 ） 以比率表示时:,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,14,二项分布 (用Excel计算概率),第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格 第2步：在Excel表格界面中，直接点击“f(x)”(插入函数)命令 第3步：在复选框“函数分类”中点击“统计”选项，在“函数名” 中点击“BINOMDIST”选项，

7、然后确定 第4步：在Number_s后填入试验成功次数(本例为3) 在Trials后填入总试验次数(本例为10) 在Probability_s后填入试验的成功概率(本例为0.5) 在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示计算成功次 数恰好等于指定数值的概率；填入1（或TRUE）表 示计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,15,3.1.3 二项分布应用实例,例1 以杂合基因型Wvwv的小鼠为父本，隐性纯合子小鼠wvwv为母本杂交（wv波浪毛，Wv直毛），后代两种基因型的数目应各占一半。实验只选8只的，多于8只和少于8只的都淘汰。利

8、用下面的公式或者Excel 可以计算直毛后代出现的概率： 结果列在下表中：,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,16,3.1.3 二项分布应用实例,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,17,3.1.3 二项分布应用实例,样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方差如下：,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,18,3.1.3 二项分布应用实例,例2 遗传学中单因子杂交RRrr，F1代为Rr，F1自交，F2基因型比符合二项分布。在F2中P（R） 1/2，P（r）1 1/2，n2。展开二项式：,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,19,3.1.3 二项分

9、布应用实例,对于两对独立因子，n4,R, Y,r, y,4显,显,隐,显,隐,隐,隐,显,RRYY与rryy杂交后，F2代基因型RrYy。 F2自交：,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,20,3.2 泊松分布,3.2.1 泊松分布的概率函数 3.2.2 服从泊松分布的随机变量的特征数 3.2.3 泊松分布应用实例,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,21,3.2.1 泊松分布的概率函数,泊松分布于1837年由法国数学家泊松(D.Poisson，1781-1840)首次提出，用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布。 这个分布常与稀

10、有事件相联系。,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,22,3.2.1 泊松分布的概率函数,泊松分布的例子： 一段时间（比如1年）内，伤寒发烧的死亡人数 一定面积的培养基上，某种稀有细菌出现的个数 显微镜视野内染色体有变异的细胞计数 由突变而引起的遗传病患者的分布 田间小区内出现变异植株的计数 作物种子内杂草的计数 单位容积的水或牛奶中细菌数目的分布,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,23,3.2.1 泊松分布的概率函数,在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（ 0），而样本含量又很大（n）时，二项分布就变成泊松分布了。 泊松分布的概率函数由二项分布推导获得，其概率函数

11、公式为：,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,24,3.2.2 服从泊松分布的随机变量的特征数,泊松分布的总体平均数： 可见，泊松分布的平均数就是泊松分布概率函数中的。 泊松分布的总体方差：2 概率函数中的不但是它的平均数，而且是它的方差。,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,25,3.2.3 泊松分布应用实例,例1 在麦田中，平均每10m2有一株杂草，问每100m2麦田中，有0株、1株、2株、杂草的概率是多少？ 解： 先求出每100m2麦田中，平均杂草数 100/10 10株 将代入泊松分布的概率分布函数中， p(x) = 10 x/x!e10, 即可求出x 0，1，

12、2， 时所相应的概率。,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,26,泊松分布 (用Excel计算概率),第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格 第2步：在Excel表格界面中，直接点击“f(x)”(插入函数)命令 第3步：在复选框“函数分类”中点击“统计”选项，并在“函数名”中点击“POISSON ”选项，然后确定 第4步：在X后填入事件出现的次数(本例为5) 在Means后填入泊松分布的均值(本例为10) 在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示计算成功次 数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示计算 成功次数小于或等于指定数值的累积概率值),

13、2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,27,3.2.3 泊松分布应用实例,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,28,3.2.3 泊松分布应用实例,泊松分布在生物学研究中有广泛的应用： 在生物学研究中，有许多小概率事件，其发生概率 往往小于0.1，甚至小于0.01，例如，两对交换率为0.1的连锁基因在F2代出现纯合新个体的概率只有20.0520.0050；自花授粉植物出现天然异交或突变的概率往往小于0.01；等等，对于这些小概率事件，都可以用泊松分布描述其概率分布，从而作出需要的频率预期。 由于泊松分布是描述小概率事件的，因而二项分布当 0.1和n 5时，可用泊松分布来近似

14、表达。,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,29,3.4 正态分布,3.4.1 正态分布的密度函数和分布函数 3.4.2 标准正态分布 3.4.3 利用正态分布表求正态分布的概率 3.4.4 正态分布的单侧分位数,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,30,3.4 正态分布,由高斯C.F. (Gauss Carl Friedrich, 1777-1855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出 描述连续型随机变量最重要的分布 许多现象都可以由正态分布来描述 可用于近似离散型随机变量的分布 例如： 二项分布 经典统计推断的基础,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,

15、31,3.4.1 正态分布的密度函数和分布函数, = 正态随机变量x的平均值 = 正态随机变量x的方差 = 3.1415926; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- x ) 以符号N（,2）表示平均数为，方差为2的正态分布。如：N (1,32),概率密度函数：,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,32,3.4.1 正态分布的密度函数和分布函数,正态分布密度函数的图象称为正态曲线,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,33,正态分布函数的性质,图形是关于x=对称的钟形曲线，且峰值在x= 处 均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构

16、成一个完整的“正态分布族” 均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭 当x的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交 正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,34, 和 对正态曲线的影响,=1,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,35,3.4.1 正态分布的密度函数和分布函数,随机变量的值落在任意区间（a，b）内的概率 累积分布函数,2020/7/11

17、,湖北大学生命科学学院 彭宇,36,正态分布的概率,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,37,X=1.21,累积分布函数,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,38,3.4.2 标准正态分布,1、均值为0，标准差为1的正态分布，称为标准正态分布, 记为N(0, 1)。 2、任何一个非标准正态分布，可通过下面的公式（线性变换）转化为标准正态分布,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,39,3.4.2 标准正态分布,3、标准正态分布的概率密度函数,4、 标准正态分布的分布函数,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,40,3.4.2 标准正态分布,标准正态分

18、布的分布曲线如下图, =1 =0,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,41,3.4.3 正态分布概率的计算及正态分布表的查法,为了简化计算，随机变量(U)的值(u)落在区间(a, b)内的概率，根据标准正态累积分布函数，已经把不同u值的(u)值列成表(附表2)，称为正态分布表。,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,42,3.4.3 计算正态分布的概率值,例1: 求标准正态分布N(0,1), u0.82及u1.15时的(u)值 解：(-0.82)0.20611 (1.15)0.87493,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,43,3.4.3 计算正态分布的概率

19、值,例2 随机变量U服从正态分布N(0，1)，问随机变量的值落在0，1.21间的概率是多少？落在1.96，1.96间的概率是多少？,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,44,3.4.3 计算正态分布的概率值,1) P(0Uu) = (1.21) (0) （与课本有差别） = 0.88686 0.5000 =0.38686,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,45,3.4.3 计算正态分布的概率值,2) P(-1.96u1.96) = 0.975-0.025 =0.95,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,46,3.4.3 计算正态分布的概率值,例3 已知高粱品种“三尺三”的株高X服从正态分布N(156.2, 4.822)，求： 1) X164厘米的概率； 3) X在156162厘米间的概率。,非标准正态分布的概率值如何计算呢？,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,47,3.4.3 计算正态分布的概率值,解：先将正态分布标准化:,2020/7/11,湖北大学生命科学学院 彭宇,48,3.4.4 正态分布的临界值,根据附表2，可以求出不同u值下的概率值。 附表3（与附表2相反