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1、3 泰勒公式,多项式函数是最简单的函数.用多项,一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式,三、在近似计算中的应用,二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式,要内容,也是数学的研究课题之一.,式来逼近一般的函数是近似计算的重,返回,一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式,设,则,即,设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 称多项式,为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式, 称,为泰勒系数.,则不难得到:,即,定理6.6,则,比如,注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数, 则只有惟一的多,项式 ( 泰勒多项式 Tn(x) ) 满足:,使得,在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形

2、,此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.,式变为,麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 ),泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英国 ),例1 验证下列公式,解,利用泰勒公式来求极限.,例4 求,解 因为,所以,到n 阶连续导函数, 在(a,b)内存在(n+1)阶导数, 则,或者,上满足:,(i) f(x) , g(x) 在闭区间 a, b 上连续;,(iii),(iv),则在开区间 内必定 (至少) 存在一点 , 使得,(ii) f(x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导;,证 设,上可导, 且,由柯西中值定理, 得,因为,所以,为 f (x) 在点 x0 的 n 阶拉格朗日型余项,公式 (5),于是就得到,我们称,称为 f (x) 在点 x0 的带有拉格朗日型余项的 n 阶,泰勒公式.,公式 (6) 称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式。,例5 把例1中公式改写为带有拉格朗日型余项的公式:,于是,从而有,(2) 证明 e 是无理数.,解 由例5 可知,三、 泰勒公式在近似计算中的应用,于是,下证 e 是无理数. 这是因为,其误差不超过.,矛盾. 所以 e 是一个无理数.,那么不是整数. 而由 (7) 式得到,整数整数 整数,复习思

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