简谐运动的图像和公式

1、3简谐运动的图像和公式,一、简谐运动的图像 1.图像特点:简谐运动的图像是一条_曲线,如图所示。,正弦(或余弦),2.图像的意义:表示做简谐运动的物体在_时刻相对于平衡位置的 _。即表示做简谐运动的物体偏离平衡位置的位移随时间的变化 关系。 3.图像信息:从图像上可知_和_,还可知道任一时刻位移的 _和_。,任意,位移,振幅,周期,大小,方向,【判一判】 (1)简谐运动的图像就是振动物体的运动轨迹。() (2)由简谐运动的图像可以知道振动的周期和振幅。() (3)简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性。() 提示:(1)。简谐运动的图像描述的是振动物体的位移随时间变化的规律,并不是物体

2、运动的轨迹。 (2)。图像在纵轴方向上的最大值等于振幅,相邻两个相同状态的时间间隔等于周期。 (3)。图像反映出简谐振动的物体位移随时间做周期性的变化。,二、简谐运动的表达式 1.表达式:x=_或x=Asin(2ft+)。 2.表达式中各量的意义: (1)“A”表示简谐运动的_。 (2)“T”表示简谐运动的_,“f”表示简谐运动的频率,它们之间 的关系为T=_。 (3)“ t+”或“2ft+”表示简谐运动的_。 (4)“”表示简谐运动的_,简称_。,振幅,周期,相位,初相位,初相,【想一想】 有两个简谐运动:x1=3asin(4bt+ )和x2=9asin(8bt+ ),它们的振幅之比是多少?

3、频率各是多少? 提示:它们的振幅分别为3a和9a,比值为13;频率分别为2b和4b。,一、简谐运动的图像的应用 思考探究: 如图,在小塑料瓶底部穿一小孔,并装满墨水悬挂 在支架上,使其在支架所在竖直平面内摆动,操作 者沿v方向水平匀速拉动白纸,分析在白纸上留下 的图像。,(1)白纸上留下的图像是不是振动物体运动的轨迹? (2)由图像可以得到描述振动的哪个物理量? 提示:(1)振动物体在竖直平面内来回摆动,所以图像不是振动物体运动的轨迹,但反映了振动物体相对于平衡位置的位移随时间变化的规律。 (2)由图像可测得振动物体偏离平衡位置的最大距离即振幅。,【归纳总结】 1.图像的意义:图像反映了做简谐

4、运动的质点位移随时间的变化规律,并不表示质点运动的轨迹。如弹簧振子运动的轨迹为直线,但其x-t图像是一条正弦(或余弦)曲线。 2.由图像可以得出的量: 简谐运动的图像如图所示,由此可以得出:,(1)由图像可以直接读取振幅A。 (2)由图像可以直接读取周期T,进而求出频率f。 (3)由图像可知质点在不同时刻的位移。 (4)x-t图像上某一点的斜率表示该时刻的速度,斜率的绝对值为速度的大小,斜率的正负为速度的方向。所以,图中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小,t1时刻速度方向为负,t2时刻速度方向也为负。 (5)从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差。,(6)由图像可以比较不同时刻质点加速

5、度的大小和方向。例如,在上图中t1时刻振动的位移x1为正,则加速度a1为负,t2时刻x2为负,则加速度a2为正,又因为|x1|x2|,所以|a1|a2|。,3.对称性: (1)空间的对称性:经过平衡位置两侧的对称点时位移的大小相等,方向相反;速度的大小相等,方向有时相同,有时相反。 (2)时间的对称性:不论是从对称点回到平衡位置,还是从平衡位置运动到对称点,所用时间都相等。,4.周期性:做简谐运动的物体,每隔一段时间总重复前面的运动,也就 是说其运动具有周期性。不同的简谐运动,其周期一般是不同的。根 据简谐运动的周期性可作出判断: (1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置

6、,运动情况相同。 (2)若t2-t1=nT+ T,则t1、t2两时刻振动物体所处的位置关于平衡位 置对称,描述运动的物理量(x、F、a)大小相等,方向相反。,(3)若t2-t1=nT+ T或t2-t1=nT+ T,则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。,【特别提醒】 (1)简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性,图像随时间的增加将逐渐延伸,过去的时刻图像永远不变。 (2)在简谐运动的图像上位移相同的点加速度一定相同;其速度大小相等,但方向可能相

7、同,也可能相反。,【典例示范】(多选)(2015东城区高二检测)一质点做简谐运动,其相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图所示,由此可知() A.质点振动的振幅是2cm B.质点振动的频率是4Hz C.t=2s时质点的速度最大,且方向向下 D.t=5s时质点所受的合外力为零,【解题探究】 (1)怎样判断速度的大小和方向? 提示:x-t图像上某一点切线的斜率表示速度,其大小表示速度的大小,正负表示速度的方向。 (2)怎样判断合外力的大小和方向? 提示:F=-kx,其大小与位移大小成正比,方向和位移方向相反。,【正确解答】选A、C。观察图像可知,振幅A=2cm,周期T=4s,频率f= =0.2

8、5Hz,A对,B错;t=2s时质点在平衡位置,速度最大,t=3s时质点到达最低点,可判断t=2s时质点在向下运动,C对;t=5s时质点在最高点,离平衡位置最远,合外力最大,D错。,【过关训练】 1.(2015池州高二检测)一质点做简谐运动,其位移-时间图像如图所示,由图像可知() A.t=1s时,质点速度为正的最大值,加速度为零 B.t=2s时,质点速度为零,加速度为负的最大值 C.t=3s时,质点速度为正的最大值,加速度为零 D.t=4s时,质点速度为零,加速度为正的最大值,【解析】选C。t=1s时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为负,即速度为负,选项A错误;t=2s时,位移为负的

9、最大值,加速度为正的最大值,速度为零,选项B错误;t=3s时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为正,即速度为正,选项C正确;t=4s时,质点位移为正的最大值,加速度为负的最大值,速度为零,选项D错误。,2.(多选)(2015温州高二检测)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法中正确的是() A.质点的振动周期为4s B.在8s内质点经过的路程是16cm C.在5s末,速度为零,加速度为正向最大 D.t=1.5s和4.5s末的两时刻质点的位移大小不相等,【解析】选A、B。由题图可知周期为4s,A正确;振幅A=2cm,8s为2个 周期,一个周期通过的路程为4A=8cm,故8s通过的路程

10、为28cm=16cm, B正确;在5s末,位移正向最大,速度为零,加速度负向最大,C错误;根 据图像的对称性,t=1.5s和4.5s末的两时刻质点的位移大小相同,D错 误。,【补偿训练】1.(多选)(2015泸州高二检测)如图所示为某质点做简谐运动的图像,若t=0时,质点正经过O点向b运动,则下列说法正确的是() A.质点在0.7s时,正在远离平衡位置运动 B.质点在1.5s时的位移最大 C.1.2s到1.4s,质点的位移在增大 D.1.6s到1.8s,质点的位移在增大,【解析】选B、C。由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段,故质点在0.7s时的位移方向向右,且正在向平衡位置运动,

11、所以A项错误;质点在1.5s时的位移达到最大,故B正确;质点在1.2s到1.4s过程中,正在远离平衡位置,所以其位移在增加,故C正确;1.6s到1.8s时间内,质点正向平衡位置运动,所以其位移正在减小,故D项错误。,2.一质点做简谐运动时,其振动图像如图所示。由图可知,在t1和t2时刻,质点运动的() A.位移相同B.回复力相同 C.速度相同D.加速度相同,【解析】选C。从题图中可以看出,在t1和t2时刻,质点的位移大小相等、方向相反。由公式F=-kx可知,在t1和t2时刻质点所受的回复力大小相等、方向相反,加速度大小相等、方向相反,A、B、D错误;在t1和t2时刻,质点速度方向相同,由于位移

12、大小相等,所以速度大小相等,C正确。,【规律方法】简谐运动图像的应用技巧 (1)判断质点任意时刻的位移大小和方向:质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可,也可比较图像中纵坐标值的大小。方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断。 (2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向:由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反,所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可。,二、对简谐运动表达式x= Asin(t+0)的理解 思考探究: 我们借用匀速圆周运动来推导简谐运动的公式:如图 小球P在绕O点以角速度做圆周运动,小球在x轴上 的投影的运动

13、等效为振动,以小球P在顶点的时刻作为 计时零点,A为小球到圆心的竖直距离。 (1)小球在x轴上投影的最大距离可等效为描述振动的哪个物理量,大小是多少? (2)经过时间t小球投影的位移大小是多少?,【归纳总结】 1.式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移,t表示质点振动的时间。 2.式中A表示振幅,描述的是振动的强弱。 3.式中叫作圆频率,它与周期、频率的关系为= =2f,可见、T、f相当于一个量,描述的都是振动的快慢。,4.式中(t+0)表示相位,描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2,意味

14、着物体又多完成了一次全振动。 5.由公式x=Asint及振动图像可以看出,简谐运动具有周期性,由此可能产生振动问题的多解性。,【特别提醒】 (1)写振动方程首先要确定三个量,振幅A、圆频率= 和初相位0。 (2)由于振动具有周期性,振动问题往往具有多解性,解决有关振动问题时,要注意多解问题,避免漏解。,【典例示范】(多选)(2015山东高考)如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5t)m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6s时,小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g=10m/

15、s2。以下判断正确的是() A.h=1.7m B.简谐运动的周期是0.8s C.0.6s内物块运动的路程是0.2m D.t=0.4s时,物块与小球运动方向相反,【解题探究】 (1)怎样根据简谐运动的公式求振动频率? 提示:根据简谐运动的公式直接读出圆频率,再根据= =2f求出周期或频率。 (2)怎样判断振动物体的速度? 提示:将t=0.4s代入位移表达式,通过分析物体的位置来判断速度大小和方向。,【正确解答】选A、B。t=0.6s时,物块的位移为y=0.1sin(2.50.6)m =-0.1m;则对小球h+|y|= gt2,解得h=1.7m,选项A正确;简谐运动的周期 是T= =0.8s,选项

16、B正确;0.6 s内物块运动的路程是3A=0.3m, 选项C错误;t=0.4s= ,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小 球运动方向相同,选项D错误。,【过关训练】 1.(多选)有两个振动,其表达式分别是x1=3sin(100t+ )cm, =6sin(100t+ )cm,下列说法正确的是() A.它们的振幅相同B.它们的周期相同 C.它们的相位差恒定D.它们的振动步调一致 【解析】选B、C。由简谐运动的公式可以看出,振幅分别是3cm和6cm, 选项A错误;角速度=100rad/s相同,周期T= 也相同,选项B正确; 相位差= 为定值,故相位差恒定,选项C正确,D错误。,2.(2015怀

17、柔高二检测)简谐运动的表达式是x= Asin(t+),其中简谐运动的相位是() A.AB. C.D.t+ 【解析】选D。在x= Asin(t+)中,A为振幅,为圆频率,t+为相位,为初相位,故选D。,【补偿训练】1.两个简谐运动的表达式分别为x1=4sin4t(cm)和x2=2sin2t(cm),它们的振幅之比、各自的频率之比是() A.21,21B.12,12 C.21,12D.12,21 【解析】选A。由题意知A1=4cm,A2=2cm,1=4rad/s,2=2rad/s,则A1A2=21,f1f2=12=21。故A正确,B、C、D错误。,2.物体A做简谐运动的振动位移为xA=3cos(1

18、00t+ )m,物体B做简谐运 动的振动位移为xB=5cos(100t+ )m。比较A、B的运动可知() A.振幅是矢量,A的振幅是6m,B的振幅是10m B.周期是标量,A、B的周期相等,均为100s C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB D.A振动的频率fA大于B振动的频率fB,【解析】选C。振幅是标量,A、B的振动范围分别是6m、10m,但振幅分别 是3m、5m,选项A错误;周期是标量,A、B的周期T= =6.2810-2s, 选项B错误;因为TA=TB,故fA=fB,选项C正确,选项D错误。,【规律方法】利用表达式x=Asin(t+)解题的方法技巧 (1)首先明确表达式中各物理量的意义: A表示简谐运动的振幅。 表示做简谐运动的圆频率。 t+表示简谐运动的相位,表示初相位。 (2)根据公式= =2f确定三个描述振动快慢的物理量。 (3)根据表达式求解某时刻的位移。 (4)对于同一质点的振动,不同形式的位移表达式初相位不同。,