结构动力学（单自由度和阻尼）

1、2.2 单自由度体系的自由振动Free Vibration of Single Degree of Freedom Systems,第二章 单自由度体系的振动,1. 无阻尼自由振动,c =0, FP(t)=0,这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际结构的一些动力特性；可以与有阻尼情况加以对比，以便更好地了解阻尼的作用。,为什么要讨论这种简单模型？,（1）方程的解,代入初始条件,通解,得动位移为,初始相位角,振幅 （amplitude of vibration）,（1）方程的解,振动将以一个连续地定常幅度振动。经过一固定时段又恢复原运动状态。,（2） 结构的自振周期和圆频率 （na

2、tural period and natural circular frequency ）,周期,频率,圆频率,完成一次振动需要的时间,单位时间内完成振动的次数,2个单位时间内完成振动的次数，或单位时间内转的周数,频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率（natural frequency）。,（2） 结构的自振周期和圆频率 （natural period and natural circular frequency ）,（3）简谐自由振动的特性,加速度为：,在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们

3、在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。,惯性力为：,它们的幅值产生于,时，其值分别为：,既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间 t ，这样就把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。,（3）简谐自由振动的特性,例题,例1 求图示伸臂梁体系的自振频率和周期,m,EI,l,l/2,1,l/2,解,(1) 静定梁，采用柔度法,(2) 画质体单位力下的弯矩图。,(3) 弯矩图自乘，求柔度系数。,(4),例2 求图示单层刚架的自振频率和周期,EI,EI1=,EI,m,k,1,1,6i/h,6i/h,k,1,1,12

4、i/h2,12i/h2,h,体系,单位侧移时的弯矩图,隔离体,解,(1) 超静定刚架，采用刚度法,(2) 画质体发生单位位移时的弯矩图。,(3) 取隔离体，列平衡方程，求刚度系数,(4),例3 求图示体系的自振频率,解：在振幅处列平衡方程,练习,1. 计算图示结构的自振频率。,1 2 3= 1 1.512 2,结构约束越强,其刚度越大；刚度越大,其自振动频率也越大。,2. 求图示体系的自振频率。,3. 质点重W，求图示体系的自振频率。,4. 求图示体系的自振频率。,2. 有阻尼自由振动,FP(t)=0,特征方程,特征根,一般解,2. 有阻尼自由振动,（1）= 1（临界阻尼）情况,这条曲线仍具有

5、衰减性，但不具有波动性。,阻尼比,（2） 1（强阻尼）情况,阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量全部用于消耗阻尼,没有多余的能量再引起的振动。实际工程中一般不会出现。,（3） 1（低阻尼）情况,令,由初始条件确定C1 和 C2,设,得,1. 衰减性振动；,2. 非周期性振动；,3. 质点两次通过平衡位置的时间间隔相等。,阻尼对自振频率、周期的影响,在工程结构问题中，若0.010.1，可近似取:,阻尼对振幅的影响,称为振幅的对数递减率,当体系由某一时刻tk，经过 n 个准周期后，其振幅的比值按几何级数递减。通过实测y(tk) 和y(tk+nTd)可计算阻尼比，从而确定阻尼系数c 。,工程实际中阻尼比

6、常在0.020.2之间，所以,感知结构概念,通过简单的模型演示来说明结构概念和原理， 以更好的理解这些基本概念； 通过工程实例来说明结构概念和原理的应用， 以架起理论与实践之间的桥梁。,（1）观察自由振动中的阻尼效应,（2）聆听自由振动中的阻尼效应,（3）自由振动衰减与构件固有频率的关系,（4）过阻尼系统,阻尼理论,研究动力系统在振动过程中能量耗散的现象、机理和数学物理模式的学说。人们观察到，振动体系在外荷载停止作用之后，其自由振动将随时间延续而衰减；另外，在材料、构件和结构的往复荷载作用实验中，即使在弹性范围内，实测得到的力-变形曲线也并非严格的直线，而是具有一定面积和形状的滞回环；这些现象

7、表明，振动体系具有能量耗散（即阻尼）的普遍特征。阻尼理论是结构动力反应分析的重要基础之一。,由于阻尼机制的复杂性以及在振动过程中直接测量阻尼力的困难，长期以来，人们只能借助阻尼效应的实测结果，在某种假定的机理下对阻尼进行定量描述，并未形成系统严格的阻尼理论。有关阻尼物理机制的经典研究涉及干摩擦和内摩擦两种。干摩擦的研究结果以库伦摩擦理论为代表；内摩擦亦称粘滞摩擦，研究结果表述为粘滞阻尼理论。实际上，振动体系的耗能机制还包括材料塑性变形、断裂乃至超弹性和相变等，并非库伦摩擦和粘性所能概括。,一些文献认为，阻尼可以分为内阻尼和外阻尼两类，内阻尼是因结构材料的内摩擦和构件之间的干摩擦造成的振动能量耗

8、损；外阻尼则是所研究的振动体系在与外部介质（土、空气、水、电场和磁场）相互作用中发生的能量耗散（如辐射阻尼）。然而，内阻尼和外阻尼并没有严格的界限。例如，上述内阻尼也可理解为振动能量转化为热能并向外界温度场的扩散。若将研究对象局限于地面结构自身，则结构振动能量向地基的扩散可视为外阻尼；但研究对象若为土-结相互作用体系，上述阻尼效应则属体系内的能量传递。 结构弹性地震反应的阻尼理论主要涉及常系数粘滞阻尼、频率相关粘滞阻尼和复阻尼。,常系数粘滞阻尼,频率相关的粘滞阻尼,复阻尼,正交阻尼,线弹性振动体系（或等效线性体系）的耗能特性多采用粘滞阻尼形式，具体表述方式含瑞利阻尼（Rayleigh damp

9、ing）和考西阻尼（Caughey damping）等。多自由度体系的瑞利阻尼矩阵和考西阻尼矩阵都是由振动体系的质量矩阵和刚度矩阵组合形成的，瑞利阻尼矩阵可视为考西阻尼矩阵的特例。此类阻尼表述形式可对结构振型解耦，故又称正交阻尼，在动力反应分析中使用非常便利。只要确定振型阻尼比，即可用振型叠加法计算体系的动力反应；一旦构成粘滞阻尼矩阵，运动方程又可使用逐步积分法求解。,一些文献中，具有粘滞耗能机理假定的阻尼又被称为经典阻尼。就阻尼与其他结构动力参数（如刚度、质量）的关系着眼，瑞利阻尼、柯西阻尼和复阻尼等都是比例阻尼（proportional damping），在动力体系分析中，亦有更简单的比例

10、阻尼形式。例如，由刚度矩阵乘以某个常数构成的阻尼矩阵称为刚度比例阻尼矩阵，由质量矩阵乘以某个常数构成的阻尼矩阵称为质量比例阻尼矩阵。严格地讲，结构体系的比例阻尼矩阵只有在系统质量和刚度分布均匀、结构各部分由相同材料构成、耗能特性无明显差别的情况下才适用。不满足这些条件的结构体系，如土-结相互作用体系，隔震和消能减振体系等，必须应用非比例阻尼矩阵描述耗能特性。非比例阻尼矩阵可由叠加动力特性不同的子结构的阻尼矩阵形成。,瑞利阻尼,考西阻尼,阻尼比,阻尼比是振动体系粘滞阻尼系数与临界粘滞阻尼系数的比值，是等效临界粘滞阻尼比的简称。阻尼比是可由试验测定的、广泛用于结构地震反应分析的重要参数。,动力体系

11、的粘滞阻尼系数不能由结构材料和构件尺寸确定，但弹性体系的振型阻尼比可利用自由振动试验或强迫振动试验得出。试验表明，由同一材料构成的结构体系，不论结构尺寸和形状如何，振型阻尼比通常并不随振动频率呈有规律的变化，在小弹性变形条件下，阻尼比数值远小于1，且变动范围不大；钢筋混凝土结构的阻尼比大约不超过2 %5 %，钢结构的阻尼比不超过1 %2 %。根据阻尼比的实测结果，可以方便地利用振型叠加法或振型叠加反应谱法计算弹性体系的动力反应；亦可构成瑞利阻尼等比例阻尼矩阵，利用逐步积分法求解运动方程。,某些材料的粘滞阻尼可能具有频率相关特性，但大量建筑结构的试验结果表明，阻尼比并不具有明确的频率相关特性；以

12、某种材料制成的结构，无论尺寸和形状如何，其阻尼比在线弹性和弱非线性动力状态下均有较为稳定的数值范围，故阻尼比在工程应用中可与材料相联系。,辐射阻尼,辐射阻尼是结构振动时由基础向地基内传播的能量。位于地基上的结构在振动时，存在着两类能量耗散，一是结构内部阻尼，是结构的内摩擦和塑性能引起的振动能量损耗；二是辐射阻尼，是结构的部分振动能量通过基础向地基内辐射引起的能量散失，是结构-地基开放系统的特性。 辐射阻尼具有高频滤波效应，地震作用下会使结构共振频率降低、反应峰值减小。辐射阻尼效应随地基相对于上部结构刚度增加而减小，随地基刚度减小而增加。当地基看成完全刚性时，不存在辐射阻尼效应。理论分析和实际计

13、算都表明，辐射阻尼对结构的振动反应影响很大，伸臂结构算例表明只考虑辐射阻尼的结构地震反应比采用刚性基底只考虑结构内阻尼的结果更接近精确解，因此合理的结构动力反应计算模型应当考虑辐射阻尼的影响。,辐射阻尼的数值模拟可采用土-结相互作用模型，土-结相互作用模型含有限元模型、子结构模型和集中参数模型等多种。若在现场通过实测方法确定结构的阻尼比，因现场实际结构是包含的土-结相互作用效应，故阻尼比的测量结果也将包含辐射阻尼的影响。,阻尼理论是不完善的理论。粘滞阻尼是弹性结构动力分析中常用的阻尼形式。复阻尼以复数形式描述能量耗散，本质上是频率相关的粘性阻尼。采用复阻尼的运动方程虽然形式简洁，但复数运算不便、且求解复数运动方程的理论复杂，故在实际地震反应分析中使用不多。,塑性变形耗能,动力体系在非线弹性变形状态下的能量耗散是地震工程关注的重要问题。这类能量耗散表现为塑性残余变形能和滞回耗能。显然，这与结构体系的非线性本构关系（含骨架曲线和滞回规则）密切相关。鉴于结构非线性状态复杂多变，塑性滞回耗能很难以简单的模型表述，耗能效应通常依据由试验得出的材料本构关系或构件恢