有限元静力分析基本原理

1、2001年10月1日,Lb-1,二、结构静力有限元分析,1、材料力学的局限 2、 弹性力学基础 3、平面应力问题的有限元分析原理入门 4、ANSYS静力分析实践入门,2001年10月1日,Lb-2,1、材料力学的局限,带孔板单向拉伸问题的应力确定。,应力集中系数,名义应力,2001年10月1日,Lb-3,2、 弹性力学基础,2.1 弹性力学基本方程 2.2 弹性力学求解 2.3 主应力 2.4 强度理论及相当应力 2.5 弹性力学问题简化,2001年10月1日,Lb-4,2.1 弹性力学基本方程,（1）平衡微分方程应力体力关系 （2）静力边界条件应力面力关系 （3）几何方程应变位移关系 （4）

2、物理方程应力应变关系,2001年10月1日,Lb-5,Z,总和后整理便得到X方向的平衡方程:,同理得到x、y方向的平衡方程:,X,Y,Z,其中X、Y、Z 为物体的体力分量。,（1）平衡微分方程应力体力关系,2001年10月1日,Lb-6,设斜面ACD为边界面，其外法线n的方向为(l1,l2,l3)，面积为S，边界外力分量为(px，py，,pz)，则三角形ABC、 ABD 、 BCD的面积分别为S在各相应方向上的投影。 l1S, l2S, l3S,（2）静力边界条件应力面力关系,由x方向的平衡得到： XNS = l1Sx+l2Syx+l3Szx 即 XN = l1x+l2yx +l3zx 注意，

3、这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。,XN= l1x+l2yx +l3zx YN= l1xy+l2y+l3zy ZN= l1xz +l2yz+l3z,边界条件为：,2001年10月1日,Lb-7,A点在X方向的位移分量为u；B点在X方向的位移：,ABCD-ABCD求正应变 ，用位移分量来表示：,线素AB的转角为：,A点在Y方向的位移分量为v；B点在Y方向的位移分量：,线素AB的正应变为：,由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得,因此，剪应变为：,同理，Y向线素AD的转角,空间问题的位移分量为：u、v、w,位移边界条件：,（3）几何方程应变位移关系,2001年10月1日,Lb

4、-8,（4）物理方程应力应变关系,虎克定律,波松效应,图 1-4,2001年10月1日,Lb-9,2.2 弹性力学求解,平衡微分方程 （3个）,静力边界条件 （3个）,物理 方程 （6个）,几何 方程 （6个）,一点处 自由度（3个） 应变（6个） 应力（6个）,弹性体内部和边界上任意一点处有15各方程可解15个未知数，但很少有解析解。,XN= l1x+l2yx +l3zx YN= l1xy+l2y+l3zy ZN= l1xz +l2yz+l3z,2.3 主应力,在单元体上的三个相互垂直的平面上即可能是正应力，剪应力或者二者的组合。 主单元体：各个侧面上的剪切应力均为零的单元体； 主平面：单元

5、体上没有切应力的面称为主平面； 主应力：作用在主平面上的正应力。,2001年10月1日,Lb-11,相当应力:强度条件中直接与许用应力比较的量，称为相当应力r,(形状改变比能理论),(最大剪应力理论),(最大拉应力理论),（最大伸长线应变理论）,2.4 强度理论及相当应力,(3) 强度条件的一般形式 sr s ,强度理论是判断材料在复杂应力状态下是否破坏的理论。 材料在外力作用下有两种不同的破坏形式： 一是在不发生显著塑性变形时的突然断裂,称为脆性破坏; 二是因发生显著塑性变形而不能继续承载的破坏，称为塑性破坏。,2001年10月1日,Lb-12,（1）平面应力问题的特点 （2）平面应力问题求

6、解 （3）二维实体问题总结,2.5 弹性力学问题简化,2001年10月1日,Lb-13,1、弹性力学平面问题模型 所谓平面问题指弹性力学的平面应力和平面应变问题。 (1) 平面应力问题（薄板拉压） A.几何条件：结构是等厚度薄板，即厚度远远小于截面尺寸； B.载荷条件：载荷均平行与板面且沿板厚度方向均匀分布。,（1）平面应力问题的特点,C.特点：,2001年10月1日,Lb-14,（2）平面应力问题求解,平衡微分方程 （2个）,静力边界条件 （2个）,物理 方程 （3个）,几何 方程 （3个）,一点处 自由度（2个） 应变（3个） 应力（3个）,弹性体内部和边界上任意一点处有8各方程可解8个未

7、知数。比三维实体问题减少近1倍方程。,XN= l1x+l2yx YN= l1xy+l2y,2001年10月1日,Lb-15,1、弹性力学平面问题模型 所谓平面问题指弹性力学的平面应力和平面应变问题。 (1) 平面应力问题（薄板拉压） A.几何条件：结构是等厚度薄板，即厚度远远小于截面尺寸； B.载荷条件：载荷均平行与板面且沿板厚度方向均匀分布。 C.特点： (2) 平面应变问题（长体均剪） A.几何条件：结构是等截面长体，即长度远远大于截面尺寸； B.载荷条件：载荷均垂直于长度方向且沿长度方向均匀分布。 C.特点： 2、薄板弯曲问题 几何条件：结构是等厚度薄板，即厚度远远小于截面尺寸； B.载

8、荷条件：载荷垂直于板面。 C.特点： 3、轴对称问题 A.几何条件：结构是旋转体，即通过子午面绕对称轴旋转而成； B.载荷条件：载荷关于结构对称轴满足轴对称。 C.特点： 4、杆系结构 A.几何条件：长度远大于宽度和厚度的构件。杆、梁、柱、轴等； B.载荷条件：任意； C.特点： 符合材料力学，杆单元和梁单元。,（3）二维实体问题总结,2.6 结构有限元法分析的目的及适用条件,进行结构的最优方案设计 在进行机械结构设计时，可以通过对可能的结构方案进行有限单元法计算,根据对方案计算结果的分析和比较，按强度、刚度和稳定性要求，对原方案进行修改补充，以便得到较合理的应力、变形分布，并且经济性又较好的

9、设计方案。 分析结构损坏原因，寻找改进途径 当结构件在工作中发生故障如裂纹、断裂、磨损过大等时，可应用有限单元法进行计，研究结构损坏的原因，找出危险区域和部位，提出改进设计的方案，并进行相应的计算分析，直至找到合理的结构为止。,（2）结构静力分析适用条件 结构静力分析用于确定在静载荷引起的结构位移、应力和应变等效应。静载荷是一种假定，即假定载荷随时间的变化非常缓慢。 静力分析既可以是线性的也可以是非线性的，非线性静力分析的类型包括：大变形、塑性、蠕变、应力刚化、接触（间隙）单元、超弹性单元等。,（1）目的,2001年10月1日,Lb-17,3、平面应力问题的有限元分析原理入门,问题描述： 为说

10、明解平面应力问题的有限元方法，我们给出一个问题详细的解。图5-20所示薄板受表面T=1000MPa的拉力作用，确定节点位移和单元应力。板厚为1mm，E=30106MPa，=0.30。,图5- 20 受拉薄板,2001年10月1日,Lb-18,3.1 结构的离散化,用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的体系。弹性力学平面问题中最常见的单元是三角形单元。 所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。这样就得到了用以代替原来弹性体的有限单元计算模型。 平面应力问题单元是均质等厚度薄板，常用的单元由

11、三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点矩形单元和八节点矩形单元等,2001年10月1日,Lb-19,3.2 单元分析,3.2.1 位移模式(位移插值函数 ) 3.2.2 单元中的应变 3.2.3 单元中的应力 3.2.4 节点位移与节点力的关系,2001年10月1日,Lb-20,3.2.1 位移函数,（1） 位移函数形式 （2）待定系数确定 （3）形函数,2001年10月1日,Lb-21,（1） 位移函数形式,在有限单元位移法中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能用单元的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一个位移模式，也就是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值函数。 位移

12、插值函数采用多项式形式（泰勒展开式或麦克劳林展开式） 待定系数个数=单元自由读数,取一个典型的三角形单元进行力学分析。采用线性插值，即假定单元上的位移分量是坐标的线性函数：,一点处的自由度,2001年10月1日,Lb-22,其中：,而：,是三角形ijm的面积。,（2）待定系数确定,它们可以由结点位移确定如下：,联立求解上述方程，可得：,2001年10月1日,Lb-23,于是可以得到：,其中：,同理得：,（3）形函数,2001年10月1日,Lb-24,3.2.2 单元中的应变,Module Objective,一点处的应变,2001年10月1日,Lb-25,3.2.3 单元中的应力,Module

13、 Objective,物理方程：,弹性矩阵,2001年10月1日,Lb-26,3.2.4 节点位移与节点力的关系,Definition,（1）内外力虚功 （2）节点位移与节点力的关系 （3）单元刚度矩阵,2001年10月1日,Lb-27,（1）内外力虚功,Definition,应力虚功,外力虚功,2001年10月1日,Lb-28,（2）节点位移与节点力的关系,Definition,由于虚位移为任意值，而实位移是节点位移，与坐标无关。故上可整理成,弹性体的虚位移原理知： 外力作用下处于平衡状态的弹性体，外力在任意虚位移上所做的虚功等于弹性体整个体积内的应力在虚应变上所做的功。即,2001年10月

14、1日,Lb-29,（3）单元刚度矩阵,2001年10月1日,Lb-30,3.3 整体分析,Definition,整体分析就是利用整个结构在各节点处的静力平衡条件和变形谐调条件对整个结构进行分析，以建立结构的刚度方程组。整体分析时，采用结构坐标系，认为外载荷均作用在节点处，并且暂时不考虑支承条件。,2001年10月1日,Lb-31,3.3.1 单元贡献矩阵,Definition,由图可见，单元1的单元刚度矩阵方程组的分块表示形式为：,扩阶,2001年10月1日,Lb-32,3.3.2 整体刚度矩阵,节点处的变形谐调条件: 节点处的静力平衡条件：,2001年10月1日,Lb-33,3.3.3 整体

15、分析结果,1.单元贡献矩阵,2.整体刚度矩阵,结构刚度矩阵具有奇异性。因为考虑结构的具体支承情况，即结构具有悬空性。,2001年10月1日,Lb-34,3.4 载荷处理,整体分析时的结构刚度方程组是根据外载荷作用在节点上得出得。如果在单元跨间作用由集中力或分布力，则必须用虚功等效原则（即等效前后载荷在任何虚位移方向上的虚功相等）将此跨间载荷移置到节点上。这一移置工作称为载荷处理。,2001年10月1日,Lb-35,3.5 约束处理,1 引入边界条件 2 约束处理方法,2001年10月1日,Lb-36,3.5.1 边界条件,考虑结构的具体支承情况,2001年10月1日,Lb-37,3.5.2 约

16、束处理方法,由于在整体分析时，没有考虑结构的具体支承情况，因此，结构刚度方程组中的整体刚度矩阵K在数学上具有奇异性，即其逆矩阵不存在，也就是说，由此方程不能求得唯一的唯一解。这一现象在力学意义上说，是由于在引入支承条件之前，结构还是一个没有支承的悬空结构引起的。 所谓约束处理正是用结构的实际支承情况对结构刚度方程组进行处理，在数学意义上消除整体刚度矩阵K的奇异性；在力学意义上，消除结构的悬空性。使结构刚度方程组有唯一解的处理过程。 常用的处理方法有：消行消列法、置大数法和置1法。,置1法原理： K中与已知位移对应行主对角元素置1，其他元素置0。 P中与已知位移对应元素置已知的位移置。 中与已知位移对应元素仍按未知量处理。,2001年10月1日,Lb-38,3.6 求解,比较有限元解与解析解，作为一级近似，用一维杆受拉力作用的下列公式计算轴向位移:,2001年10月1日,Lb-39,3.7 后处理,1.确定应变 2.确定应力 单元解： 节点解：绕节点平均法等 3.确定主应力 4、确定等效应力 5、进行强度评价,Lb-40,4、ANSYS静力分析实践入门,问题描述：为说明解平面应力问题的有限元方法，我们给出一个问题详细的解。图5-20所示薄板受表面T=1000MPa的拉力作用，确定节点位移和单元应力。板厚为1mm，E=30106MPa，=0.30。,图5- 20 受拉薄板,平面