方差分析ppt课件

1、方差分析,第三章 方差分析,第一节 单因素方差分析 3. 1方差分析的基本原理 311方差分析的一般概念 （analpeis Of vanance，ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数据平均数之间的差异显著性。 当然，在多组数据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所有对之间做t检验。但这样做会提高犯I型错误的概率，因而是不可取的。例如，我们打算用一对一对比较的方法检验5个平均数之间的相等性，共需检验d=10对。假设每一对检验接受零假设的概率都是1-=0.95，而且这些检验都是

2、独立的，那么 10对都接受的概率是0.9510=0.5987，1-0.60=0.40，犯I型错误的概率明显增加。用方差分析的方法做检验可以防止上述问题的出现。方差分析的内容很广泛，上面讲到的那种情况是方差分析中最简单的情况，称为单因素方差分析（onefactor analyss of vcriance）或者称为一种方式分组的方差分析（one- way classification analysis of vanance）。,方差分析,表3. 3 单因素方差分析的典型数据 X1 X2 X3XiXa 1 X11 X12 X13 Xi1 Xa 2 X12 X22 X32 Xi2 Xa2 3 X13

3、X23 X33 Xi3 Xa3 . . . . j X1j X2j X3j Xij Xaj . . . . . . n X1n X2n X3n Xin Xan 平均数 X1. X2. X3. Xi. Xa. 表中的数据Xij，表示第i次处理下的第j次观测值。,方差分析,3.1.2 不同处理效应与不同模型 常用如下的所谓线性统计模型（linear statistical model）描述每一观测值： xij=+i+ij i=1,2,., i 1，2， j=1,2,.,n （3.1） 其中： xij是在第i水平（处理）下的第j次观测值。是对所有观测值的一个参数，称为总平均数（Overall mea

4、n）。 i是仅限于对第i次处理的一个参数，称为第 i次处理效应（treatment effect）。方差分析的目的，就是要检验处理效应的大小或有无。 ij是随机误差成分。要求模型中的误差。ij是服从正态分布 N（0，2）的独立随机变量，并要求各水平的方差均为2。,方差分析,上述模型中，包括两类不同的处理效应。 第一类处理效应称为固定效应（fixed effect），它是由固定因素（fixed factor）所引起的效应。若因素的个水平是经过特意选择的，则该因素称为固定因素。例如，实验者人为选定的几种不同实验温度、几种不同化学药物或一种药物的几种不同浓度、几个作物品种以及几种不同的治疗方案和治疗

5、效果等。在这些情况中，因素的水平是人为选定的，所检验的是关于n的假设，因此温度、药物、浓度、品种等称固定因素。方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个水平，并不能将结论扩展到未加考虑的水平上。处理固定因素所用的模型称为固定效应模型（fixed effect model）或简单地称为固定模型（fixed model）。例 3.1中的5个小麦品系是特意选择的，目的是从这5个品系中，选出最优者，因而“品系”这个因素属于固定因素，所使用的模型是固定效应模型。,方差分析,第二类处理效应称为随机效应（random effect），它是由随机因素（random factor）所引起的效应。若因素的个水平，是

6、从该因素水平总体中随机抽出的样本，则该因素称为随机因素。从随机因素个水平所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上。在这里i是一个随机变量，所检验的是关于i的变异性的假设。处理随机因素所用的模型称为随机效应模型（random effect model）或者简单地称为随机模型（random medel）。例 82的动物窝别，是从动物所有可能的窝别中随机选出来的，实验的目的是考查在窝别之间出生重是否存在差异，因而“窝别”是随机因素。,方差分析,有时固定因素与随机因素很难区分，除上述所讲的原则外，还可以从另一角度考虑。固定因素是指，因素的水平可以严格地人为控制，在水平固定之后，它的效应值也是固定的

7、。例如，研究三种不同温度对胰蛋白酶水解产物的影响。因为温度水平是可以严格控制的，即每一温度水平，在各个重复之间都可以准确地控制在一个固定值上，所以在重复该实验时，水解产物的产量也是固定的。简单地说：在水平（不同温度）固定以后，其效应值（产量）也是固定的。因此，温度是固定因素。,方差分析,随机因素的水平是不能严格地人为控制的，在水平确定之后，它的效应值并不固定。例如，在研究农家肥不同施用量对作物产量的影响试验中，农家肥是因素，不同施用量是该因素的不同水平，作物的产量是它的效应值。由于农家肥的有效成分很复杂，不能像控制温度那样，将农家肥的有效成分严格地控制在某一个固定值上。在重复试验时即使施以相同

8、数量的肥料，也得不到一个固定的效应值。即在因素的水平（施肥量）固定之后，它的效应值（产量）并不固定，因而农家肥是一随机因素。,方差分析,32 固定效应模型 321 线性统计模型 在固定效应模型中，i是处理平均数与总平均数的离差，是个常量，因而 i=0 I=1，2，n （32） 要检验个处理效应的相等性，就要判断各i是否都等于0。若各i都等于0，则各处理效应之间无差异。因此，零假设为： HO： 1=2=.=0 备择假设为： HA： i0（至少有1个i） 若接受H0，则不存在处理效应，每个观测值都是由总平均数加上随机误差所构成。若拒绝H0，则存在处理效应，每个观测值是由总平均数、处理效应及误差三部

9、分构成的。,方差分析,322平方和与自由度的分解 方差分析的基本思想，就是将总的变差分解为构成总变差的各个部分。对单因素实验，总平方和（total sm of sqares）表示如下： (xij-x.)2 （3.3） 其中 x.表示总体平均值。总平方和可以分解为处理平均数与总平均数之间离差的平方和及处理内部观测值与处理平均数之间离差的平方和两部分。处理平均数与总平均之间的离差，度量了处理之间的差异；而处理内部观测值与处理平均数之间的离差，度量了随机误差的大小。 用SST表示总平方和， SST=(xij-x.)2 (3. 4) =(xij-x.i)+(x.i-x.)2 = (xij-x.i) 2

10、 + (x.i-x.)2 +2 (xij-x.i)(x.i-x.) (xij-x.i)(x.i-x.)=(x.i-x.)(xij-x.i) = n(x.i-x.) (x.i-x.i) =0 SSA称为处理平方和（treatlnnts sm of apares）或称为处理间平方和（sm of mpares betwee treaments）。 SSA= n (xi.-x.)2 (35) 其中 xi. 表示 i处理的平均值。 SSe称为误差平方和（error sm of sqares）或称为处理内平方和(sm of sqares within treatment)。 SSe=（xij-xi.）2

11、(3. 6) 因此 SST=SSA+SSe （37）,方差分析,自由度可以做同样的分割:自由度 dfT=an-1;A因素共有a水平，因而dfAal；误差项有 n自由度，这是因为每一处理均有n 1 自由度，共有 个处理，因而dfe=n 。为了估计2,用SSe除以相应的自由度 MSe=SSe/(an-a) （38） MSe称为误差均方（error mean sqare）。记MSA为处理均方， MSA=SSA/(-1) （39） 3. 2. 3 均方期望与统计量F 可以由MSe的数学期望证明MSe是2的无编估计量。误差均方反映了随机因素所造成的方差的大小，它是2的无偏估计量。对于处理项来说，只有当零

12、假设HO：1=2= =i=0成立时，MSa才是2的无偏估计量。当i=0时，n/(-1)i2项等于 0，这时 E（MSA）2 ，因此用 MSA与MSe比较，就可以反映出i的大小。若 MSA与MSe相差不大，就可以认为各i与 0的差异不大，或者说各处理平均数（i）间差异不大。若 MSA比MSe超出很多，则认为i间差异是显著的。为此，用 F上尾单侧检验。 F=MSA/MSe， （310） F,(dfA，dfe),方差分析,当 FF时，则可以认为 MSA与MSe差异不大，产生的变差是由随机误差造成的，n/(-1)i2 近于 0，接受零假设，处理平均数之间差异不显著。当 FF时，MSe,显著高于MSe，

13、n/(-1)i2 项不再为0，拒绝零假设，处理平均数间差异显著。 以上所述可以归纳成方差分析表，见表 3.4。 表3.4单因素固定效应模型方差分析表 变差来源 平方和 自由度 均方 F 处理间 SSA -1 MSA F=MSA/MSe 误差 SSe (n-1) MSe 总和 SST n-1,方差分析,3.2.4 方差分析的数据分析工具操作步骤 在例3.1中有5个处理，每个处理的重复次数相同（可以不同，操作相同）为5。 操作步骤： 1 单击工具菜单中的数据分析 2 双击分析工具列表中的“单因素方差分析”，出现如图3.1 3 选择各个选项，单击确定，计算结果如表3.5 注意 分组方式指出重复处理的

14、数据是以行或是以列排列，本例（如图3.1）以列排列。,方差分析,方差分析,在表3.5 中 SS: 平方和, df: 自由度, MS:均方 F:统计量F的计算值 P-value:概率 F crit: 在置信度和df 自由度的查表值。 由表3.5 中可以看出, F=42.27856 ,F crit=4.430717, FF crit。因此，各处理间差异极显著（=0.01）。 习惯上用“* ”表示在= 0.05水平上差异显著，用“*”表示在 0.01水平上差异显著，常常称为差异“极显著”（highly significant）。,方差分析,例3.1调查了5个不同小麦品系的株高，结果列于表3.1。判断

15、这5个样本是否存在差异。 表3.1 5个小麦品系株高（cm）调查结果 品 系 株号 I II III IV V 1 64.6 64.5 67.8 71.8 69.2 2 65.3 65.3 66.3 72.1 68.2 3 64.8 64.6 67.1 70.0 69.8 4 66.0 63.7 66.8 69.1 68.3 5 65.8 63.9 68.5 71.0 67.5 方差分析.xls,方差分析,例3.2 为了探讨不同窝的动物出生重是否存在差异，随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，结果如下，通过对以上数据的分析，判断不同窝别动物出生重是否存在差异。 窝 别 动物号 I II III

16、 IV 1 34.7 33.2 27.1 32.9 2 33.3 26.0 23.3 31.4 3 26.2 28.6 27.8 25.7 4 31.6 32.3 26.7 28.0 方差分析.xls,方差分析,33随机效应模型 随机模型的有关参数不同于固定模型,如果i具有方差2并且独立于ij，那么观测值的方差 var（xij）=2 + 2 方差2 和 2 称为方差分量（variance compollent）。ij 为 NID(0,2 )变量,i为NID(0,2)变量,(NID表示独立正态分布)。i 是独立随机变量，i0；其假设为 H0：2 =0， HA：2 0，统计量F计算类似固定模型，计

17、算步骤同固定模型，但固定模型的结论只适合于所选定的水平，而随机模型的结论适合于总体。,方差分析,34 多重比较 假定对一个固定效应模型经过方差分析之后，结论是拒绝H0，即处理之间存在差异。但这并不是说在每对处理之间都存在差异。为了弄清究竟在哪些对之间存在显著差异，哪些对之间无显著差异，必须在各处理平均数之间一对一对地做比较，这就是多重比较（miltiple comparison）。多重比较的方法很多，这里只介绍LSD法和Duncan法。 在Excel 中没有提供多重比较工具，将在附录中SPSS中进行介绍其计算方法，在此仅对基本知识简单介绍。,方差分析,341 最小显著差数法 最小显著差数法（l

18、east significant difference）法又称为LSD法，它的计算方法简述如下。 对于任意两组数据平均数差数（x1-x2）的差异显著性检验，可以用成组数据t检验，每一对平均数的差与LSD比较，当 ldxlLSD时，差异显著；否则差异不显著。 LSD=( 1- 2） LSD =t /2(df) Sx1-x2 Sx1-sx2=（ MSe（1/n1+1/n2）1/2 df=dfe,方差分析,品系号 IV V III I II 平均数 70.8 68.6 67.3 65.3 64.4 顺序号 x1 x2 x3 x4 x5 再列成下表 5 4 3 2 1 x1-x5=6.4* x1-x4

19、=5.5* 3.5 * 2.2* 2 x2-x5=4.2* 3.3* 1.3* 3 x3-x5=2.9* 2.0* 4 x4-x5=0.9 Sx=(2MSe/n)1/2 =0.5582 LSD0.05/2=1.1644 LSD0.01/2=1.5883,方差分析,品系号 IV V III I II 平均数 70.8 68.6 67.3 65.3 64.3 顺序号 x1 x2 x3 x4 x5 再列成下表 5 4 3 2 1 x1-x5=6.4* x1-x4=5.5* 3.5 * 2.2* 2 x2-x5=4.2* 3.3* 1.3* 3 x3-x5=2.9* 2.0* 4 x4-x5=0.9

20、R=ri*(MSe/n)1/2 (MSe/n)1/2 = (0.779/5)1/2=0.3947 对于k=2,3,4,5 df=a(n-1)=5(5-1)=20，分别求出 r0.05，r0.01 ,Rk值并列成表: df r0.05 Rk r0.01 Rk 2 2.95 1.1644 4.02 1.5868 3 3.10 1.2236 4.22 1.6657 4 3.18 1.2552 4.33 1.7091 5 3.25 1.2828 4.40 1.7367,方差分析,342 Duncan（新复极差SSR）检验法 LSD是一种很有用的检验方法，计算起来很方便，也容易比较。但是它有难以克服的缺

21、点，这种比较方法将会加大犯I型错误的概率。 为了克服上述缺点，Newman（1939），Tkey（1953）和Dncan（1955）等人都提出过不同的方法。比较普遍用的是NewmaKels检验法和Duncan检验法。Canrmer和Swanson（1973）比较了上述诸法及其它的检验方法后，指出：在确定各平均数对子之间真正的差异时，Duncan检验优于Newman Kels检验。因此，在这里只介绍 Duncan多范围检验（Dncan mltiple range test）。,方差分析,35 方差分析应满足三个条件 （1）可加性：每个处理效应与误差效应是可加的， xij=+i+ij 。容易满足

22、（2）正态性：实验误差应当是服从正态分布N（0，2)的独立随机变量。数据转换 （3）方差齐性：各处理的误差方差应具备齐性，它们有一个公共的总体方差2。 Bartlett检验或Levene。在SPSS中有此功能,方差分析,351平方根变换 属于泊松分布的数据，它们的平均数与方差等值，常常需要采取平方根变换。 例如，单位面积内的菌落数，一定区域内某种昆虫或某种植物，放射性物质在单位时间内放射的次数，单位数量的种子中混有的草籽数等等，都属于这种情况。对于这类数据，应该将每个Xij取其平方根，然后再计算。当数值很小时，如有几个数小于10时，为了矫正，可以使用Xij+1的平方根变换。 函数“SQRT”,

23、方差分析,352反正弦变换 百分数表示的二项分布数据，特别是据范围很大时，尤其要使用这种变换。 当百分数的范围是在0% 20% 或80100时，可以平方根变换。后者在变换之前应先用100减去各百分数。 若百分数的范围是在3070则不一定非要做变换。 当百分数的变化范围很大时，一定要做反正弦变换。用函数“ASIN” 。,方差分析,353对数变换 当方差与平均数的平方成正比时，需做对数变换（logarithmic transformation），变换后的方差具齐性。对数变换适用于大范围的正整数，对于一些小的数值，例如小于10时，每一Xij都加上1交换，即取 lg（xij 1）。 转换函数 “LOG

24、” 。,方差分析,方差分析,第二节 两因素及多因素方差分析,41两因素方差分析中的一些基本概念 411 模型类型 在第三章中讲了单因素实验的方差分析，那是方差分析中最简单的情况。在实际工作中经常会遇到两个或两个以上因素共同影响实验结果的情况。例如，一组病人同时服用两种药物，每一种药物有不同剂量（水平），通过实验选出这两种药物的最佳配伍剂量。假设A药物有a水平，B药物有b水平，共有ab个剂量组合，每一组合重复n次。共有abn名病人参加实验。这样的实验设计称为交叉分组设计（cross over design）。对于两因素交叉分组设计的实验应采用两因素方差分析（two-factors of vari

25、ance）或者称为两种方式的分组的方差分析（two-way classification analysis of variance）方法分析实验结果。上一章中已经讲过，因素可以分为固定因素和随机因素。,方差分析,在两因素实验中，当两个因素都是固定因素时，称为固定模型（fixed medl）；两个因素均为随机因素时称为随机模型（random medel）；两个因素中一个是固定因素，另一是随机因素时称为混合模型（mixed motol）。这三种模型虽然在计算时没有多大不同，但在设计实验时，特别是各因素水平的获得时却有很大区别。它们的均方期望不同，因此检验方法和对结果解释都存在极大不同。,方差分析,

26、412 主效应与交互作用 在两因素实验中，出现了两个新的名词，即主效应（main effect）和交互作用（interaction）。 例如有下面一组实验，A因素有两个水平A1和A2，B因素也有两个水平B1和B2，共有4个水平组合，它们的效应值分别为18，24，38和44。 由于因素水平的改变而造成因素效应的改变，称为该因素的主效应。根据定义，A因素的主效应为A2水平的平均效应减去A1水平的平均效应。 A1 A2 B1 18 24 B2 38 44 A=（A2B1+A2B2）/2- （A1B1+A1B2）/2 =（24+44-18-38）/2=6 同样，B因素的主效应 B=（A1B2+A2B2

27、-A1B1-A2B1）/2=（38+44-18-24）/2=20 当A1B1A2B2=A1B2A2B1时，A、B之间不存在交互作用。这里A1B1A2B2=A1B2A2B1=62 因此 A、B之间不存在交互作用。,方差分析,有时会发现，某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。例如： A1 A2 B1 18 28 B2 30 22 A（在B1水平上）=A2B1- A1B1=28-18=10 A（在B2水平上）=A2B2A1B2=22-30=-8 可以明显看出，A的效应依B的水平而不同。这时我们说：在A和B因素间存在交互作用。交互作用的大小可用 AB=A1B1+A2B2- A1B2- A2B

28、1 来估计。上例的 A、B间的交互作用： AB=18+22-30-28=-18。有时交互作用相当大，因素的主效应相对来说变得相当小。在上面例子中，A的主效应：A=1，与交互作用的绝对值18相比已经相当小，这时可以认为不存在A因素的主效应。,方差分析,当因素之间存在交互作用时，对因素间交互作用的了解比只了解因素的主效应重要得多。因此，在两因素方差分析中，分解出因素的交互作用十分必要。两因素间是否存在交互作用，有专门的统计判断方法，一般情况下，可以根据专业知识判断。另外，做图法也能提供一些帮助。将上面两表中的数据，可以做成直线图，如果两条直线相交，则两因素存在交互作用；否则无交互作用。 当A、B之

29、间不存在交互作用时，从B1变化到B2是不依A水平的不同而改变的，所以。当存在交互作用时，A的效应依B的水平而不同。 直观图可以帮助判断因素之间是否存在交互作用，但在处理数据时只凭图象是不行的，由于实验误差的干扰，需要经过严格的数据分析之后，才能最后断定。,方差分析,413 两因素交叉分组实验设计的一般格式 两因素实验的典型设计是：假定A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复都包括ab次实验，并设实验重复n次，则实验总次数为abn次。xijk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第足次重复的观测值。 42固定模型 421线性统计模型 观测值可以用以下线性统计模型描述： xijk=+i+j+()

30、ij+ijk i=1,2,.,a j=1，2，b k 12,n 其中， 是总平均效应；i是A因素第i水平的处理效应；j是B因素第j水平的处理效应；（）ij是在A因素第i水平和B因素第j水平之间交互作用的效应；ij 是随机误差成份。对于固定因素，处理效应是各处理平均值路总平均值的离差。因此， i=0 i=1,2,a j=0 j=1,2,b 固定模型的交互作用效应也是固定的， （）ij=0 i=1,2,a （）ij=0 j=1,2,n ijk是相互独立且服从N（0，2)的随机变量。,方差分析,两因素交叉分组设计中，固定模型方差分析的零假设为： H01：。1=2=a= 0 H02：1=2=0 H03

31、:()ij=0,方差分析,422平方和与自由度的分解 方差分析的基本思想,仍然是将总平方和分解。于是，总平方和被分解为：由于A因素所引起的平方和SSA，B因素所引起的平方和SSB，A、B交互作用所引起的平方和SSAB及误差平方和。分别是： SSA=bn(xi.-x)2 SSB=an(x.j.-x)2 SSAB=n(xij. xi.-x.j.+x)2 SSe=(xijk-xij.)2 从式可以看出，为了得到误差平方和，至少要重复两次。有了误差平方和，才能把误差与交互作用分解开。,方差分析,与每一平方和所相应的自由度为： A a-l B b-1 AB交互作用 (al)（b1） 误差 ab（n一1）

32、 总和 abn-1 其中总自由度A因素自由度和B因素自由度比较简单，分别为abn-l，a-1和b-1。交互作用的自由度，是两因素全部水平的组合数减1，再减A、B主效应自由度，即（ab-1）-（a1）-（b1）=（a-1）（b-1）。误差自由度在每一因素组合内是n1，共有ab种组合，故为ab（n-l）。各项的均方分别为： MSA=SSA/（a-1） MSB=SSB/（b-1） MSAB= SSAB/（a-1）（b-1） MSe=SSe/（ab（n-1）,方差分析,423 均方期望与统计量F的确定 F=MSA/MSe 当FF时,则2 0, 从而拒绝H01 。同理做H01和H02的推断。 424 双

33、因素重复实验方差分析 实际计算时，可按下述方式进行。由总平方和减去A因素、B因素及误差平方和，残余项即是交互作用平方和。 SSAB=SST- SSA- SSB- SSe,方差分析,例4.3 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因：试验，并得到以下结果（表4.1）。 原料种类(A) 温度(B) 30 35 40 1 41 11 6 49 13 22 23 25 26 25 24 18 2 47 43 8 59 38 22 50 33 18 40 36 14 3 43 55 30 35 38 33 53 47 26 50 44 19 表4.1 用不同原料与不同温度

34、发酵的酒精产量,方差分析,方差分析步骤: 1. 单击工具菜单中的数据分析 2. 双击数据分析工具列表中的“方差分析：可重复双因素分析”，出现图4.1 3. 选择每个选项，单击确定，计算结果见表4.2 注意 每一样本的行数即每一处理的重复数,本例为4。 注意 每一因素各个水平或处理应添加在数据表中，以便进行数据分析时一目了然。,方差分析,方差分析,方差分析.xls,方差分析,425 无重复实验时的两因素方差分析 如果根据经验或专业知识，可以判断两因素间确实无交互作用，也可以不设重复（n1）。不设重复可以大大减少工作量，也能达到同样的效果。 在交叉分组的两因素实验中，若因素间不存在交互作用，观测值

35、的线性模型是 H01: i=0 H02: j=0 检验A因素所使用的统计量为： F=MSA/MSe 具有( a1），（a1）（b1）自由度 检验B因素所使用的统计量为： F=MSB/MSe, 具有（b1），（a1）（bl）自由度,方差分析,例4.2 四年四种密度种植的小麦产量如表4.3，判断不同年份，不同种植密度对产量是否有严重影响。 年 度 1986 1987 1988 1989 密 一 546 578 813 815 二 600 703 861 854 三 548 682 815 852 度 四 551 690 831 853 表 4.3 不同年度不同密度小麦产量表,方差分析,方差分析步骤

36、: 1. 单击工具菜单中的数据分析 2. 双击数据分析工具列表中的“方差分析：无重复双因素分析”，出现图4.2 3. 选择每个选项，单击确定，计算结果见表4.4 注意 每一因素各个水平或处理应添加在数据表中，以便进行数据分析时一目了然。 方差分析.xls,方差分析,方差分析,426多重比较 在固定效应模型中，若主效应显著，还应当在每一因素的各水平的平均数之间做多重比较。仍然使用Duncan多范围检验。然而，如果交互作用显著的话，那么某个因素（例如 A）冬水平的平均数之间的比较，由于AB交互作用的影响而难于进行。解决这一问题的一种方法是，将B固定在某一水平上，在那个特定水平上，比较A因素备水平的

37、平均数。例如，将例91中的A因素（原料）固定在第二种原料上，比较不同温度对产量的影响。把产量由高到低排列好： 如果考虑交互作用的话，就要比较全部ab次处理，才能得出哪一些差异是显著的。这样比较的结果不仅包括主效应，而且包括交互作用。在上面的例子中，如果在9个处理的所有对之间做比较，将要做C39=36次。,方差分析,43随机模型 随机模型的统计量F不同于固定模型的统计量，区别如表4.5。 表4. 5 固定模型、随机模型和混合模型方差分析对比表 变差来源 平方和 自由度 均方 F(固定) F(随机) F（A固定，B随机） A 因素 SSA a-1 MSA MSA/MSe MSA/MSAB MSA/

38、MSAB B 因素 SSB b-1 MSB MSB/MSe MSB/MSAB MSB/MSe AB交互作用 SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe MSAB/MSe MSAB/MSe 误差 SSe ab(n-1) MSe 总和 SST ab(n-1) 主要差异在H01 和H02 的统计量的分母不同。 Excel 提供的双因素方差分析是以固定模型为基础的，随机模型的双因素方差分析可以使用，但是对F 值的第一和第二行要通过公式重新计算。,方差分析,43随机模型 随机模型的统计量F不同于固定模型的统计量，区别如表4.5。 表4. 5 固定模型、随机模型和混合模型方差分析对比表 变

39、差来源 平方和 自由度 均方 F(固定) F(随机) F（A固定，B随机） A 因素 SSA a-1 MSA MSA/MSe MSA/MSAB MSA/MSAB B 因素 SSB b-1 MSB MSB/MSe MSB/MSAB MSB/MSe AB交互作用 SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe MSAB/MSe MSAB/MSe 误差 SSe ab(n-1) MSe 总和 SST ab(n-1) 主要差异在H01 和H02 的统计量的分母不同。 Excel 提供的双因素方差分析是以固定模型为基础的，随机模型的双因素方差分析可以使用，但是对F 值的第一和第二行要通过公式重

40、新计算。,方差分析,例 4.3 在研究不同地块、农家肥不同施肥量对作物产量的影响，其实验设计和统计表格如表4.6。试做方差分析。 表4.6 不同施肥量的不同地块产量 一号地 二号地 三号地 100kg 8.69 8.80 9.49 8.47 8.74 9.37 200kg 8.88 9.68 9.39 8.72 9.54 9.59 300kg 10.82 11.00 11.07 10.86 10.92 11.01 400kg 11.16 10.97 11.00 11.42 11.13 10.09,方差分析,方差分析,注意 随机模型双因素方差分析在计算结果中一定要重新计算 F值，其步骤如下： 1

41、 复制F值以列到表格 F crit 之后 2单击 670.7523(图4.3,下同)单元格 3单击公式栏的等号“=”，并删除公式栏的数字 4 单击7.44535 所在单元格,公式栏显示其所在单元格地址 5 单击公式栏,并输入除号“/” 6 单击0.203733所在单元格，公式栏显示其所在地址 按 Enter 键，计算结果 36.54458显示在 F 所在列的下一行,第一个F 值计算完成，下一个F值计算类似上述步骤，只是单元格不同而已。,方差分析,44混合模型 在两因素交叉分组实验中，若一个因素（如A因素）是固定型，另一个因素（如B因素）是随机型，则称为混合模型。 混合模型的统计量计算也不同于固

42、定模型和随机模型（见表4.5），于随机模型的主要差异是随机模型需要重新计算F 列的第一和第二个值,而混合模型(A因素固定,B因素随机)只计算第一个值。操作步骤类似随机模型，在此不重复叙述了。 在随机模型和混合模型中，不设置重复，同样会有固定模型中的问题，即因素间的交工作用与实验误差无法区分，全部归于误差项。特别是在混合模型中，随机因素的各水平之间实际存在的差异，往往检验不出来，结果降低了试验的可靠性。因而，在条件允许的情况下，不论哪一种模型，最好都设重复。,方差分析,5多因素的方差分析 在实际工作中，往往需要考察多于2个因素的效应。因素数量多于2个因素的方差分析称多因素方差分析。 451 平方

43、和与自由度分解的一般规律 可以把两种方式分组的方差分析，扩展到一般情况。例如在一个实验中，A因素有a水平，B因素有b水平，C因素有c水平等等。假设每一处理都有n次重复（n2），那么总观测次数为de n次。假定有一个三因素交叉分组实验，每一处理有n次重复，线性统计模型为： 假定A、B、C都是固定因素，各因素的平方和为：,方差分析,方差分析,方差分析,例 为了研究在猪饲料中添加胱氨酸（因素A）、蛋氨酸（因素B）和蛋白质（因素C）对猪日增重（kg）的影响，设计了下面的试验，每一组共用两头猪作重复，结果如表，试作方差分析。,方差分析,由于胱氨酸、蛋氨酸和蛋白质都是可以控制的，所以适用于固定模型。 （l）将数据分别累加，记入表634、表635及表636中。 （2）计算平方和：这里a=4，b=3，c=2，n=2,方差分析,方差分析,方差分析,检验结果表明，蛋白质对猪日增重影响极其显著，胱氨酸及蛋氨酸的影响不显著，可能的原因是在饲料中并不缺乏这两种氨基酸。 自由度极容易分解。每一主效应的自由度是该因素的水平数减1；每一交互作用的自由度，是产生交互作用各因素的自由度乘积；误差自由度是各因素水平数与重复数减1的乘积。 从两因素交叉分组设计和三因素交叉分组设计的平方和分解公式可以看出，计算各项平方和的规律性是很强