二次函数的对称性在解题中的运用

1、二次函数图象对称性在解题中的应用,基础知识点回顾,二次函数y=ax+bx+c(a,b,c为常数且a0),此函数的对称轴为直线_（用a、b表示）,若函数图象与x轴相交于点A（1，0）、B( 5，0)， 则对称轴可表示为直线 ；,x=3,若函数图象与x轴相交于点A（x1，0）， B（ x2，0），则对称轴可表示为直线 ；,若点(x1, n),( x2 ,n)在抛物线上，则抛物线 的对称轴可表示为_,温故知新 探究总结,1、抛物线的顶点坐标为（0，4），与x轴的一个 交点坐标为M（2，0），请写出抛物线与x轴的 另一个交点坐标N( ),2,0,若抛物线上有一点A的坐标为( -1 ，3)，在抛物线 上

2、与A关于对称轴对称的点B的坐标是( ).,1,3,如果有一点C的横坐标为x，则C点坐标怎么表示？C（ ）.,y=-x2+4,x,-x2+4,在抛物线上与C点关于对称轴对称的点D的坐 标是D（ ）,-x,-x2+x,总结：,在抛物线上，关于对称轴对称的两个点的特征,纵坐标相等,2.如图，抛物线顶点坐标为（3，4），它的图象 与x轴的一个交点坐标为M（1，0），请写出抛物线 与x轴的另一个交点坐标N( ),5, 0,若抛物线上有一点A的横坐标为2， 则A点坐标为( ).,y=-(x-3)2+4,2, 3,在抛物线上与点A关于对称轴 对称的点B的坐标是 ( ),4, 3,如果有一点C在抛物线上,横

3、坐标为x(x3)，则C点坐标为 C（ ）,x, -(x-3)2+4,在抛物线上，点D与点C关于对称轴 对称，点D的坐标是( ）,6-x, -(x-3)2+4,明察秋毫 快速反应,如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的 函数值y与自变量x的对应值.,找出抛物线上关于对称轴对称的两点 。 写出抛物线的对称轴 。 抛物线与x轴的交点坐标是 。,(-3,7)、(5,7),x=1,(-2,0)、(4,0),抛物线上一点 (m,n) 关于对称轴对称的点为： 。,(2-m, n),几个重要结论：,1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线：,3、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y

4、2)， 若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴 对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：,2、若抛物线与轴的两个交点是A(x1,0)，B(x2,0)， 则抛物线的对称轴是：,4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是 A(x1,0)，且其对称轴是x=m，则另一个交点B的坐 标可以用x1、m表示出来（注：应由A、B两点处 在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象）,x2=2m-x1,x2=2m-x1,5、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， 若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴 对称的点，0与x1+x2关于 对称,对称轴,如图：,巧用“对称性” 化繁

5、为简,抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示,该抛物线 在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是 _,(1,0),(一)求点的坐标(函数值),1、如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点， B的坐标为（ ，0），则点A的坐标是_,2、已知关于x的方程ax2+bx+c=3的一个根为 x1=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线是x=2， 则抛物线的顶点坐标是（ ） A(2，-3 ) B(2，1) C(2，3) D(3，2),C,3、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示， 那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是( ) A(0.5，0) B(1，0) C(2，0) D

6、(3，0),B,4、已知A(x1,2013),B(x2,2013)是二次函数 y=ax2+bx+5(a0)的图象上两点,则当x=x1+x2时, 二次函数的值是( ) A. 5 B、5+ C. 2013 D. 5,A,B,B(x1+x2,0),点O与点B关于点A对称,即：0与x1+x2关于 对称。,D,5、若二次函数y=ax2+c ，当 x 取x1 ，x2 （x1 x2 ）时，函数值相等，则当x取 x1 +x2 时，函数值为（ ） A、a+c B、ac C、c D、c,D,0与x1+x2关于 对称。,6、抛物线y=ax+bx+c经过点A(-2,7), B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵

7、坐标为-8 的另一点坐标是_,(1，-8),1、已知二次函数y=ax+bx+c(a0)的顶点 坐标为（-1，-3.2）及部分图象如图，由图象 可知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两根 分别为x1=1.3，x2=_,(二)求方程的根,-3.3,2、已知抛物线 y= a(x-1)2+h(a0)与x 轴 交于A(x1,0)、B(3,0) 两点，则线段AB的长度 为（ ） A 1B 2C 3D 4,D,(三)求代数式的值(函数值),1、抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是 直线 x=1 ，且经过点 P（3，0），则ab+c 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2,A,

8、若将对称轴改为直线x=2，其余条件不变， 则 a+b+c= .,0,2、若y=ax2+5 与x轴两交点分别为（x1 ,0), (x2 ,0) ，则当x=x1 +x2时，y值为_,5,(四)求函数解析式,1、已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴为直线 x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该 抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为_; 函数解析式为 。,(-1,0),2、已知二次函数的图像经过A（-1,0）、 B（3,0），且函数有最小值-8，试求 二次函数解析式.,对称轴x=1,设解析式为y=a(x+1)(x-3) 或y=a(x-1)2-8,y=2x2-4x-6,(五)比较函数值的大小,1、

9、小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上， 依横坐标找到三点(-1，y1),(0.5，y2 ),(-3.5，y3) 则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（） A、y1y2y3 B、y2y3y1 C、y3y1y2 D、y3y2y1,离对称轴越近 函数值越小,D,2、设A(2, y1)、B(1, y2)、C(2, y3)是抛物线 y= (x+1)2+m上的三点，则 y1、y2、y3的大小 关系为( ) A.y1y2y3 B. y1y3 y2 C. y3y2y1 D. y3y1y2,离对称轴越近 函数值越大,A,离对称轴越近 函数值越小,1、如图函数 y=x2x+m(m为常数)的图象 如图，如果

10、x= a 时，y0；那么x= a1时， 函数值（ ） Ay0 B0ym Cym Dy=m,1,a-10,m,ym,C,a,(六)判断命题的真伪,2、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说： 过点(3，0)；小彬 说：过点(4，3)；小明说：a=1； 小颖说：抛物线被x轴截 得的线段长为2你认为 四人的说法中，正确的有( ) A1个B2个 C3个 D4个,C,抛物线过(1,0),(3,0) (1+3) 2=2.小华正确,抛物线过(0,3),(4,3) (0+4) 2=2.小彬正确,a=1时， 0=1+b+3,b=-4,小明正确,被x轴截 得的线段长为2,抛物线过(1,0)、(-1,0) 或过(

11、1,0)、(3,0) 小颖错误,巧用“对称性” 化线为点,1、 求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。,方法一：,将一般形式化为顶点式y=a(x-h)2+k,y=2(x-1)2-7,抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线 的解析式为：y=-2(x-1)2+7,开口向上变为开口向下,顶点（1，-7）变为（1,7）,点（x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的 抛物线解析式为：y=-2x2+4x+5, y=-ax2-bx-c,1、 求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。,方法二：,在抛物线 y=ax2+bx+c上任取一点(x,

12、y),抛物线 y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线 的解析式为：-y=ax2+bx+c,若原抛物线是顶点形式：选用方法一简便,若原抛物线是一般形式：选用方法二简便,2、求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。,在抛物线上任取一点(x,y)， (x,y)关于y轴对称的点为(-x,y),y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线位,y=2 (-x)2-4(-x)-5,即：y=2 x2+4x-5,在抛物线上任取一点(x,y)， (x,y)关于原点对称的点为(-x,-y),3、求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成 中心对称的抛物线。,y=2x2-4x-5关于原点对称的抛物线为,-y=2 (-x)2-4(-x)-5,即：y=-2 x2-4x+5,4、求抛物线 y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180 得到的抛物线,y=2(x-1)2-7,化为顶点式：,顶点坐标（1，-7）,开口相反，顶点不变,y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180得到的抛物线为,y=-2(x-1)2-7,“将军饮马” 问题,唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说： “ 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”,作点A关于河流的对称点A,AB交河流于点P 则AP+BP=AB最