高考数学复习一本全

1、高考数学复习一本全高考数学复习一本全 目目 前言前言 2 2 第一章第一章高中数学解题基本方法高中数学解题基本方法 3 3 一、一、配方法配方法 3 3 二、二、换元法换元法 7 7 三、三、待定系数法待定系数法 1414 四、四、定义法定义法 1919 五、五、数学归纳法数学归纳法 2323 六、六、参数法参数法 2828 七、七、反证法反证法 3232 八、八、消去法消去法 九、九、分析与综合法分析与综合法 十、十、特殊与一般法特殊与一般法 十一、十一、 类比与归纳法类比与归纳法 十二、十二、 观察与实验法观察与实验法 第二章第二章高中数学常用的数学思想高中数学常用的数学思想 3535 一

2、、一、 数形结合思想数形结合思想 3535 二、二、 分类讨论思想分类讨论思想 4141 三、三、 函数与方程思想函数与方程思想 4747 四、四、 转化（化归）思想转化（化归）思想 5454 第三章第三章高考热点问题和解题策略高考热点问题和解题策略 5959 一、一、 应用问题应用问题 5959 二、二、 探索性问题探索性问题 6565 三、三、 选择题解答策略选择题解答策略 7171 四、四、 填空题解答策略填空题解答策略 7777 附录附录 一、一、高考数学试卷分析高考数学试卷分析 二、二、两套高考模拟试卷两套高考模拟试卷 三、三、参考答案参考答案 录录 前前言言 美国著名数学教育家波利

3、亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。 而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来， 只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。 高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过 程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方

4、法去分析问题解决问程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问 题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； 数学思维方法：观察与分析、概括与

5、抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等；和演绎等； 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，数学思想方法与数学基础知识相比较， 它有较高的地位和层次。它有较高的地位和层次。 数学知识是数学内容，数学知识是数学内容， 可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能

6、忘记。而数 学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的 认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知 识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可 操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段

7、。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方 法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心 就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握

8、解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的 数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、 分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学 思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解 题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。题中的有关

9、策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，在每节的内容中， 先是对方法或者问题进行综合性的叙述，先是对方法或者问题进行综合性的叙述， 再以三种题组的形式出现。再以三种题组的形式出现。 再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分 析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题 组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数

10、学知识。组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 第一章第一章高中数学解题基本方法高中数学解题基本方法 一、一、配方法配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到 已知和未知的联系，已知和未知的联系，从而化繁为简。从而化繁为简。何时配方，何时配方，需要我们适当预测，需要我们适当预测，并且合理运用并且合理运用“裂项”“裂项” 与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将

11、其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者 未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xyxy 项项 的二次曲线的平移变换等问题。的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a(ab)b) a a 2ab2abb b ， 将这个将这个 公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：公式灵活运用

12、，可得到各种基本配方形式，如： a a b b (a(ab)b) 2ab2ab(a(ab)b) 2ab2ab； a a ababb b (a(ab)b) abab(a(ab)b) 3ab3ab(a(a a a b b c c ababbcbccaca 2222 222 2222 2222 222 3b 22 ) ) （ b b） ； 22 1 222 (a(ab)b) (b(bc)c) (c(ca)a) 2 2 a a b b c c (a(ab bc)c) 2(ab2(abbcbcca)ca)(a(ab bc)c) 2(ab2(abbcbcca)ca) 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一

13、些配方形式，如：结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1 1sin2sin2 1 12sin2sin coscos （sinsin coscos ） ； x x 、再现性题组：、再现性题组： 1.1. 在正项等比数列在正项等比数列aa n 中，中，a a 1 a a 5 +2a+2a 3 a a 5 +a+a 3 a a 7 =25=25，则，则 a a 3 a a 5 _。 2 2 11 2 1 2(x(x ) ) 2 2(x(x ) ) 2 2 ； 等等。等等。 x2xx 2.2. 方程方程 x x 2y y24kx4kx2y2y5k5k0 0 表示圆的充要条件是表示圆的

14、充要条件是_。 11 A. A. 1 4 k1 B. kk1 B. k1 C. kk1 C. kR D. kR D. k 4 或或 k k1 1 3.3. 已知已知 sinsin coscos 1 1，则，则 sinsin coscos 的值为的值为_。 A. 1 B. A. 1 B.1 C. 11 C. 1 或或1 D. 01 D. 0 4.4. 函数函数 y yloglog 1 ( (2x2x 25x5x3)3)的单调递增区间是的单调递增区间是_。 2 44 5155 A. A. （, , 5 4 B. B. 4 ,+,+) C. () C. ( 2 , , 4 D. D. 4 ,3),3

15、) 5.5. 已知方程已知方程 x x+(a-2)x+a-1=0+(a-2)x+a-1=0 的两根的两根 x x 1 、x x 2 ，则点，则点 P(xP(x 1 ,x,x 2 ) )在圆在圆 x x+y+y=4=4 上，上， 则实数则实数 a a_。 【简解】【简解】 1 1 小题：小题：利用等比数列性质利用等比数列性质a a mp a a mp a a m 2，将已知等式左边后配方将已知等式左边后配方（a a 3 a a 5 ）2易易 求。答案是：求。答案是：5 5。 2 2 小题：配方成圆的标准方程形式小题：配方成圆的标准方程形式(x(xa)a) 2(y(yb)b)2r r2，解，解 r

16、 r20 0 即可，选即可，选 B B。 3 3 小题：已知等式经配方成小题：已知等式经配方成(sin(sin coscos ) ) 2sin2sin coscos 1 1，求出，求出sinsin coscos ，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C C。 4 4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D D。 5 5 小题：答案小题：答案 3 3 11。 。 、示范性题组：、示范性题组： 例例 1.1. 已知长方体的全面积为已知长方体的全面积为 1

17、111，其，其 1212 条棱的长度之和为条棱的长度之和为 2424，则这个长方体的一条，则这个长方体的一条 对角线长为对角线长为_。 A. 2 A. 2 3 B. B.14 C. 5 D. 6 C. 5 D. 6 【 分分 析析 】先先 转转 换换 为为 数数 学学 表表 达达 式式 ： 设设 长长 方方 体体 长长 宽宽 高高 分分 别别 为为 x,y,zx,y,z ， 则则 22222 222 2(xy yz xz ) 11 , ,而欲求对角线长而欲求对角线长4(x y z) 24 式可得。式可得。 x2 y2 z2 ，将其配凑成两已知式的组合形，将其配凑成两已知式的组合形 【解】设长方

18、体长宽高分别为【解】设长方体长宽高分别为x,y,zx,y,z，由已知“长方体的全面积为，由已知“长方体的全面积为1111，其，其1212 条棱的长条棱的长 度之和为度之和为 2424”而得：”而得： 2(xy yz xz ) 11 。 4(x y z) 24 长长方方体体所所求求对对角角线线长长为为： x2 y2 z2 (x y z)2 2(xy yz xz) 6211 5 5 所以选所以选 B B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分 析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式

19、进行联系，即联系了已知和未知，从而析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而 求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。 例例 2.2. 设方程设方程 x x2kxkx2=02=0 的两实根为的两实根为 p p、q q，若，若( ( 的取值范围。的取值范围。 【解】方程【解】方程 x xkxkx2=02=0 的两实根为的两实根为 p p、q q，由韦达定理得：，由韦达定理得：p pq qk k，pqpq2 ,2 ,2 p 2 q 2 ) )+(+() ) 7 7 成立，求实数成立，求实数 k k qp p 2 q 2

20、 p4 q4(p2 q2)2 2p2q2(p q)2 2pq2 2p2q2 ( () )+(+() ) (pq)2qp(pq)2( pq)2 (k2 4)2 8 7 7， 解得解得 k k 10或 或 k k 10 。 4 22又又 p p、q q 为方程为方程 x xkxkx2=02=0 的两实根，的两实根， k k8 8 0 0 即即 k k 2 2 2或 或 k k 2 2 2 综合起来，综合起来，k k 的取值范围是：的取值范围是： 10 k k 2 2或者或者 2 2 k k 10。 。 【注】【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“关于实系数一元二次方程问题，总是

21、先考虑根的判别式“”；已知方程有两”；已知方程有两 根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 p pq q、pqpq 后，观察已知不等式，从后，观察已知不等式，从 其结构特征联想到先通分后配方，其结构特征联想到先通分后配方， 表示成表示成 p pq q 与与 pqpq 的组合式。的组合式。假如本题不对假如本题不对“ ”讨论，讨论， 结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“ ”的讨论，但解答是不严密、不完”的讨论，但解答是不严密、不完 整的，这一点我们要尤为注意和重视。整的，这一点我们要尤为注

22、意和重视。 ba 19981998 ) ) ( ( ) )。 a ba b a 2 aa 【分析】【分析】 对已知式可以联想：变形为对已知式可以联想：变形为( ( ) ) ( ( ) )1 10 0，则，则 （为（为 1 1 的立的立 bbb 例例 3.3. 设非零复数设非零复数 a a、b b 满足满足 a aababb b =0=0，求，求( ( 22 方虚根）；或配方为方虚根）；或配方为(a(ab)b) abab 。则代入所求式即得。则代入所求式即得。 【解】由【解】由 a a ababb b =0=0 变形得：变形得：( ( 设设 1 1。 又由又由 a a ababb b =0=0

23、变形得：变形得：(a(ab)b) abab ，222 22 2 a 2 a ) ) ( ( ) )1 10 0 ， bb a1b 233，则，则 1 10 0，可知为，可知为 1 1 的立方虚根，所以：的立方虚根，所以：， ba a2 999 b2 999 baa 999 b 99919981998999所以所以 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ababbaa ba b 9992 2 。 【注】【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1 1 的立方虚根，活用的性质，计的立方虚根，活用的性

24、质，计 算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 a 2 ab13i 【另解】由【另解】由 a a ababb b 0 0 变形得：变形得：( ( ) ) ( ( ) )1 10 0 ，解出，解出 后，后， 2bba ab 化成三角形式，代入所求表达式的变形式化成三角形式，代入所求表达式的变形式( ( ) )999 ( ( ) )999后，完成后面的运算。此方法 后，完成后面的运算。此方法 ba 13i 用于只是未用于只是未联想到时进行解题。联想到时进行解题。 2 22 假如本题

25、没有想到以上一系列变换过程时，还可由假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a a2ababb b20 0 解出：解出： a a 13i b b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛 2 定理完成最后的计算。定理完成最后的计算。 、巩固性题组：、巩固性题组： 1.1. 函数函数 y y(x(xa)a) (x(xb)b) （a a、b b 为常数）的最小值为为常数）的最小值为_。 222 A. 8 B.A. 8 B. (a b) C. C. a b D. D.最小值不存在最小值不存在 22 22

26、 2.2. 、 是方程是方程 x x 22ax2axa a6 60 0 的两实根，则的两实根，则( ( -1)-1)2 +( +( -1)-1) 2的最小值是的最小值是 _。 A.A. 49 4 B. 8 C. 18 D. B. 8 C. 18 D.不存在不存在 3.3. 已知已知 x x、y yR R ，且满足，且满足 x x3y3y1 10 0，则函数，则函数 t t2 2 8 8 有有_。 A.A.最大值最大值 2 2 2 B. B.最大值最大值 2 C. C.最小值最小值 2 2 2 B. B.最小值最小值 2 22 xy 4.4. 椭圆椭圆 x x 2ax2ax3y3y a a 6

27、60 0 的一个焦点在直线的一个焦点在直线 x xy y4 40 0 上，则上，则 a a_。 A. 2 B.A. 2 B.6 C.6 C. 2 2 或或6 D. 26 D. 2 或或 6 6 5.5. 化简：化简：2 2 1 sin8 2 2cos8的结果是 的结果是_。 A. 2sin4 B. 2sin4A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C.4cos4 C.2sin4 D. 4cos42sin4 D. 4cos42sin42sin4 6.6. 设设F F 1 和和F F 2 为双曲线为双曲线xy y 1 1 的两个焦点，的两个焦点， 点点P P 在双曲线上且满足在双曲线上且满足

28、 F F 1 PFPF 2 9090，2 2 222 4 则则 F F 1 PFPF 2 的面积是的面积是_。 2 7.7. 若若 xx1 1，则，则 f(x)f(x)x x 2x2x 1 的最小值为的最小值为_。 x 1 8.8. 已知已知 3 ，cos(cos( - - ) )12，sin(sin( + + ) )3，求，求sin2sin2 的值。的值。(92(92 24135 年高考题年高考题) ) 9.9. 设二次函数设二次函数 f(x)f(x)AxAx BxBxC C，给定，给定 m m、n n（mnm0f(x)0； 22 22222 是否存在一个实数是否存在一个实数 t t，使当，

29、使当 t t(m+t,n-t)(m+t,n-t)时，时，f(x)0f(x)1s1，t1t1，m mR R，x xloglog s t tloglog t s s，y yloglog s 4t t loglog t 4s s m(logm(log s 2t t loglog t 2s), s), 将将 y y 表示为表示为 x x 的函数的函数 y yf(x)f(x)，并求出，并求出 f(x)f(x)的定义域；的定义域； 若关于若关于 x x 的方程的方程 f(x)f(x)0 0 有且仅有一个实根，求有且仅有一个实根，求m m 的取值范围。的取值范围。 二、换元法二、换元法 解数学题时，把某个式

30、子看成一个整体，解数学题时，把某个式子看成一个整体， 用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变 换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂 问题简单化，变得容易处理。问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起换元法又称辅助元素法

31、、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起 来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的 计算和推证简化。计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研 究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已换元的方法有：局部

32、换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已 知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候 要通过变形才能发现。例如解不等式：要通过变形才能发现。例如解不等式：4 4 2 2 2 2 0 0，先变形为设，先变形为设 2 2 t t（t0t0），而变），而变 为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要

33、利用已知代数式中与三 角知识中有某点联系进行换元。如求函数角知识中有某点联系进行换元。如求函数y y x 1 x的值域时，易发现 的值域时，易发现 x x0,10,1， 设设 x xsinsin ， 0,0,2 xxx ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设， 2 222其中主要应该是发现值域的联系，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又有去根号的需要。如变量如变量 x x、y y 适合条件适合条件 x x y y r r （r0r0）时，则可作三角代换）时，则可作三角代换x xrcosrcos 、y yrsinrs

34、in 化为三角问题。化为三角问题。 SS 均值换元，如遇到均值换元，如遇到 x xy yS S 形式时，设形式时，设 x xt t，y yt t 等等。等等。 22 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量 范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上 几例中的几例中的 t0t0 和和 0,0, 、再现性题组：、再现性题组： 1.y1.ysinxsinx cosxcosxsin

35、x+cosxsinx+cosx 的最大值是的最大值是_。 。 2 2.2.设设 f(xf(x2 1)1)loglog a (4(4x x 4) ) （a1a1），则），则 f(x)f(x)的值域是的值域是_。 3.3.已知数列已知数列aa n 中，中，a a 1 1 1，a a n1 a a n a a n1 a a n ，则数列通项，则数列通项 a a n _。 4.4.设实数设实数 x x、y y 满足满足 x x2 2xy2xy1 10 0，则，则 x xy y 的取值范围是的取值范围是_。 1 3x 5.5.方程方程 3 3 的解是的解是_。 1 3x 6.6.不等式不等式 loglo

36、g 2 (2(2 1)1)loglog 2 (2(2 x12)2)2 2 的解集是的解集是_。x t21 【简解】【简解】1 1 小题：设小题：设 sinx+cosxsinx+cosxt t 2, ,2 ，则 ，则 y yt t，对称轴，对称轴 t t 22 1 1 1，当，当 t t 2， ，y y max 2； ； 2 2 2小题：小题： 设设x x 21 1t t (t(t 1)1)， 则则f(t)f(t)loglog a -(t-1)-(t-1)2 44， 所以值域为所以值域为( (,log,log a 44； 3 3 小题：小题： 已知变形为已知变形为 1 a n1 1 n n，所以

37、，所以 a a n ； n x2 11 1,1,设设 b b n ， 则则 b b 1 1,b1,b n 1 1(n(n1)(-1)1)(-1) a n a n 4 4 小题：设小题：设 x xy yk k，则，则 x x 22kx2kx1 10,0, 4k4k24 4 0,0,所以所以 k k 1 1 或或 k k 1 1； 5 5 小题：设小题：设 3 3 y y，则，则 3y3y 2y2y1 10,0,解得解得 y y x 1 ，所以，所以 x x1 1； 3 5 6 6 小题：小题： 设设 loglog 2 (2(2 1)1)y y， 则则 y(yy(y1)21)2， 解得解得2y12

38、y0a0，求，求 f(x)f(x)2a(sinx2a(sinxcosx)cosx)sinxsinx cosxcosx2a2a2的最大值和最小值。的最大值和最小值。 【解】【解】 设设 sinxsinxcosxcosxt t，则，则t t- 2, ,2 ，由 ，由(sinx(sinxcosx)cosx)2 y y t21 , , , 1 12sinx2sinx cosxcosx 得：得：sinxsinx cosxcosx 222 x x 11 2 f(x) f(x)g(t)g(t) (t(t2a)2a) （a0a0），），t t- 2, ,2 22 1 t t- - 2时，取最小值： 时，取最小

39、值：2a2a2 2 2 2a a 2 1 当当 2a2a 2时， 时，t t 2，取最大值： ，取最大值：2a2a22 2 2a a ； 2 1 当当 02a000 a4a2a 1 恒成立，求恒成立，求 a a 的取值范围。（的取值范围。（8787 年全国理）年全国理） 4(a 1)(a 1)22a 【分析】不等式中【分析】不等式中 loglog 2 、 log log 2 、loglog 2 三项有何联系？进行三项有何联系？进行 4a2aa 1 对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 4(a 1)2a8(a 1)a 1 【解】【解】 设设 log

40、log 2 t t，则，则 loglog 2 loglog 2 3 3loglog 2 3 3 aa 12a2a (a 1)22aa 1 loglog 2 3 3t t，loglog 2 2log2log2t2t， 2 4a2a 12a 代入后原不等式简化为（代入后原不等式简化为（3 3t t）x x22tx2tx2t02t0，它对一切实数，它对一切实数 x x 恒成立，所以：恒成立，所以： 3 t 0 t 3 2a ，解得，解得 t0 t0 即即 loglog00 22a 1 t 0或t 6 4t 8t(3 t) 0 2a 0011，解得，解得 0a10a0k0 恒成立，求恒成立，求 k k

41、 的范围。的范围。 916 (x 1)2(y 1)2 22【分析】由已知条件【分析】由已知条件1 1，可以发现它与，可以发现它与 a a b b 1 1 有相似之处，有相似之处， 916 于是实施三角换元。于是实施三角换元。 x 1(x 1)2(y 1)2y 1 【解】由【解】由1 1，设，设coscos ，sinsin ， 91634 x 1 3cos 即：即： 代入不等式代入不等式 x xy yk0k0 得：得： y 1 4sin 3cos3cos 4sin4sin k0k0，即，即 k3cosk3cos 4sin4sin 5sin(5sin( + +) ) 所以所以 k-5k0c0 (a

42、0)(a0)所表示的区域为直线所表示的区域为直线axaxbybyc c0 0 所分平面成两部分中含所分平面成两部分中含x x 轴正方向的一轴正方向的一 部分。部分。 此题不等式恒成立问题化为图形问题：此题不等式恒成立问题化为图形问题： 椭圆上的点始终椭圆上的点始终 y y x x 位于平面上位于平面上 x xy yk0k0 的区域。即当直线的区域。即当直线 x xy yk k0 0 在与椭在与椭 圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 x xy yk0k0 k k平面区域平面区域 16(x 1)2 9(y 1)2144 有相等的一组

43、实数解，消元后由有相等的一组实数解，消元后由 0 0 可求得可求得 k k3,3,所以所以 x y k 0 k-3k0)lgx (x0)，则，则 f(4)f(4)的值为的值为_。 A. 2lg2 B.A. 2lg2 B. 1 lg2 C.lg2 C. 2 lg2 D.lg2 D. 2 lg4lg4 333 2.2. 函数函数 y y(x(x1)1) 42 2 的单调增区间是的单调增区间是_。 A. -2,+A. -2,+) B. -1,+) B. -1,+) D. (-) D. (-,+,+) C. (-) C. (-,-1,-1 3.3. 设等差数列设等差数列aa n 的公差的公差 d d

44、1，且 ，且 S S 100 145145，则，则 a a 1 a a 3 a a 5 a a 99 的值为的值为 2 _。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4.4. 已知已知 x x 24y4y24x4x，则，则 x xy y 的范围是的范围是_。 5.5. 已知已知 a a 0 0，b b 0 0，a ab b1 1，则，则 a 1 b 1的范围是 的范围是_。 22 6.6. 不等式不等式 xax ax 3的解集是 的解集是(4,b)(4,b)，则，则 a a_，b b_。 2 7.7. 函数函数 y y2x2

45、x x 1的值域是 的值域是_。 8.8. 在等比数列在等比数列aa n 中，中，a a 1 a a 2 a a 10 2 2，a a 11 a a 12 a a 30 1212，求求 a a 31 a a 32 a a 60 。 9.9. 实数实数 m m 在什么范围内取值，对任意实数在什么范围内取值，对任意实数 x x，不等式，不等式 sinsin x x2mcosx2mcosx4m4m1010,y0)2 (x0,y0)上移动，且上移动，且 ABAB、ADAD 始终平行始终平行 x x 轴、轴、 y y 轴，求矩形轴，求矩形 ABCDABCD 的最小面积。的最小面积。 O Ox x 22

46、2 三、待定系数法三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系 数的方法叫待定系数法，数的方法叫待定系数法， 其理论依据是多项式恒等，其理论依据是多项式恒等， 也就是利用了多项式也就是利用了多项式f(x)f(x)g(x)g(x)的充的充 要条件是：要条件是：对于一个任意的对于一个任意的a a 值，值，都有都有 f(a)f(a)g(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应或者两个多项式各同类项的系数对应 相等。相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使

47、用待定系数法，就是把待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把 具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断 一个问题是否用待定系数法求解，一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表 达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函 数式、求复数、解析几何中求曲线

48、方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都 可以用待定系数法求解。可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是：使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析

49、：如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： 利利用对应系数相等列方程；用对应系数相等列方程； 由由恒等的概念用数值代入法列方程；恒等的概念用数值代入法列方程； 利利用定义本身的属性列方程；用定义本身的属性列方程； 利利用几何条件列方程。用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，比如在求圆锥曲线的方程时， 我们可以用待定系数法求方程：我们可以用待定系数法求方程： 首先设所求方程的形式，首先设所求方程的形式， 其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解 所得的方程或

50、方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所 求圆锥曲线的方程。求圆锥曲线的方程。 、再现性题组：、再现性题组： x 1 1.1. 设设 f(x)f(x) m m，f(x)f(x)的反函数的反函数 f f (x)(x)nxnx5 5，那么，那么 m m、n n 的值依次为的值依次为_。 2 5555 A.A. , , 2 B.2 B. ， 2 C. 2 C. , 2 D. , 2 D. ，2 2 2222 11 2 2.2. 二次不等式二次不等式 axax bxbx2020 的解集是的解集是(

51、( , ,) )，则，则 a ab b 的值是的值是_。 23 A. 10 B.A. 10 B. 10 C. 14 D.10 C. 14 D. 1414 3.3. 在在(1(1x x ) )（1 1x x） 的展开式中，的展开式中，x x 的系数是的系数是_。 A.A. 297 B.297 B.252 C. 297 D. 207252 C. 297 D. 207 3105 4.4. 函数函数 y ya abcos3x (b0)bcos3x (b0 x0，7 7x0 x0，x0 x0。 4 (15a(15aax)(7bax)(7bbx)x (a0,b0bx)x (a0,b0） ab a b1 0

52、 要使用均值不等式，则要使用均值不等式，则 15a ax 7b bx x 31 解得：解得：a a， b b ， x x3 3。 44 1521 6415x21364 4 4 3 64 从而从而 V V ( ( )()( x)xx)x ( () ) 2727576576。 34443343 设设 V V 所以当所以当 x x3 3 时，矩形盒子的容积最大，最大容积是时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm576cm3。 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以 用用“待定系数法”“待

53、定系数法” 求。求。 本题解答中也可以令本题解答中也可以令V V 44 (15a(15aax)(7ax)(7x)bxx)bx 或或(15(15x)(7ax)(7a abab ax)bxax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数， 本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。 、巩固性题组：、巩固性题组： 1.1. 函数函数 y yloglog a x x 的的 x x2,+2,+) )上恒有上恒有|y|1|y|1，则，则 a a 的取值范围是的取值范围是_。

54、A. 2aA. 2a 1且 且 a a 1 B. 0a1 B. 0a1或或 1a2 C. 1a21a2 C. 1a2或或 22 0a0a 1 2 2.2. 方程方程 x x pxpxq q0 0 与与 x x qxqxp p0 0 只有一个公共根，则其余两个不同根之和为只有一个公共根，则其余两个不同根之和为 _。 A. 1 B.A. 1 B.1 C. p1 C. pq D.q D. 无法确定无法确定 3.3. 如果函数如果函数 y ysin2xsin2xa a cos2xcos2x 的图像关于直线的图像关于直线 x x 对称，那么 对称，那么 a a_。 8 22 A.A. 2 B. B. 2

55、 C. 1 D. C. 1 D. 1 1 4.4. 满足满足 C C n 1 1 C C n 2 2 C C n n n C C n 500500 的最大正整数是的最大正整数是_。 012n A. 4 B. 5 C. 6 D. 7A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.5. 无穷等比数列无穷等比数列aa n 的前的前 n n 项和为项和为 S S n a a 1 n , , 则所有项的和等于则所有项的和等于_。 2 A.A. 1 B. 1 C. B. 1 C. 1 D. D.与与 a a 有关有关 22 6.6. (1(1kx)kx)9 b b 0 b b 1 x xb b 2 x x2 b b 9 x x9，若 ，若 b b 0 b b 1 b b 2 b b 9 1 1，则，则 k k _。 7.7. 经过两直线经过两直线 11x11x3y3y9 90 0 与与 12x12xy y19190 0 的交点，的交点， 且过点且过点(3,-2)(3,-2)的直线方程为的直线方程为 _。 8. 8.