2011届高考数学函数的奇偶性复习

1、要点梳理 1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有_，那么函数f（x）就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有_，那么函数f（x）就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称.,2.4 函数的奇偶性,基础知识 自主学习,f（-x）=f（x）,f（-x）=-f（x）,2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: （1）考查定义域是否关于_； （2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）： 若f（-x）=_，则f（x）为奇函数； 若f（-x）=_，则f（x）

2、为偶函数； 若f（-x）=_且f（-x）=_,则f(x)既是 奇函数又是偶函数； 若f（-x）-f（x）且f（-x）f（x），则f（x）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.,原点对称,-f（x）,f（x）,-f（x）,f（x）,3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内， 两个奇函数的和是_,两个奇函数的积是偶 函数； 两个偶函数的和、积是_； 一个奇函数，一个偶函数的积是_.,奇函数,偶函数,奇函数,相同,相反,基础自测 1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 （ ）

3、A.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln 5x D.y=-|x|cos x 解析 A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函 数.设y=f(x)=ln 5x=xln 5,f（-x）=-xln 5= -f（x）.,C,2.（2008全国理）函数 的图象关于 （ ） A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 解析 f（x）是奇函数.f（x）的图象关于原点对称.,C,3.下列函数中既是奇函数,又在区间-1,1上单调递减 的函数是（ ） A.f(x)=sin x B.f(x)=-|x-1| C. D. 解析 函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇 非偶函数，C

4、中是偶函数）， -1，1 f（x）=sin x在-1,1上是增函数,排除A,故选D.,D,4.已知f(x）=ax2+bx是定义在a-1，2a上的偶函数, 那么a+b的值是 （ ） A. B. C. D. 解析 依题意得,B,5.（2008福建理）函数f（x）=x3+sin x+1 (xR), 若f（a）=2，则f（-a）的值为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数. f（x）=g（x）+1.f（a）=g（a）+1=2， g（a）=1， g（-a）=-1，f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.,B,题型一 函数奇偶性的判断

5、 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3) 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是 否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否 相等或相反.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解 (1) 定义域关于原点对称. 故原函数是奇函数. (2) 0且1-x0 -1x1, 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.,(3)定义域为(-,0)(0,+), 定义域关于原点对称, 又当x0时,f(x)=x2+x,则当x0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x0时,-x0, 故f(-x)=x2+x=f(x), 故原函数是偶函数.,判断函数的奇偶性,其中包括两个必备 条件: 一是定义

6、域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题 是有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶 性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数) 是否成立.,探究提高,分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的 函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x0或x0来 寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称 的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确 定的奇偶性.,知能迁移1 判断下列函数的奇偶性: (1) (2),解 (1) -2x2且

7、x0, 函数f(x)的定义域关于原点对称. f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,(2)当x1, f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). 当x1时,f(x)=-x+2,-x-1, f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x). 当-1x1时,f(x)=0,-1-x1, f(-x)=0=f(x). 综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x), f(x)为偶函数.,题型二 函数的奇偶性与单调性 【例2】 已知函数f(x),当x,yR时，恒有f(x+y)= f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，f（x）0,并且f(1)= 试求

8、f(x)在区间-2，6上的最值. (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇 偶性的应用.,思维启迪,(1)证明 函数定义域为R,其定义域关于原点对称. f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数. （2）解 方法一 设x,y为正实数， f（x+y）=f（x）+f（y）， f（x+y）-f（x）=f（y）. x为正实数，f（x）0, f(x+y)

9、-f(x)0,f(x+y)x, f(x)在（0，+）上是减函数. 又f（x）为奇函数，f（0）=0， f（x）在（-,+）上是减函数. f（-2）为最大值，f(6)为最小值. f(1)= f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值 为-3.,方法二 设x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0. 即f(x)在R上单调递减. f（-2）为最大值，f（6）为最小值. f（1）= f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1 f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x)在区

10、间-2，6上的最大值为1，最小值 为-3.,探究提高 （1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只 要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数. （2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用 方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.,知能迁移2 函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满 足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). （1）求f(1)的值； （2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； （3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在 (0，+)上是增函数，求x的取值范围. 解 （1）对于任意x1,x2D, 有f(x1x2)=f(x

11、1)+f(x2)， 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0.,(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1). f(-1)= f(1)=0. 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. （3）依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2, f（164）=f（16）+f（4）=3， f(3x+1)+f(2x-6)3, f(3x+1)(2x-6)f(64) (*),f(x)在（0，+）上是增函数， (*)等价于不等式组 x的取值范围为,题型三 函数的奇偶性与周期性 【例3】 （12分）已知函数f(x)的定义域为R

12、，且 满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0 x1时，f(x)= 求使f(x)= 在0，2 009上的所有x的个数. (1)只需证明f（x+T）=f（x），即f（x） 是以T为周期的周期函数；(2)由第(1)问可知只需求 一个周期中f(x)= 的x的个数便可知在0,2 009 上的x的个数.,思维启迪,（1）证明 f（x+2）=-f（x）， f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x）， 2分 f（x）是以4为周期的周期函数. 3分 （2）解 当0 x1时，f(x)= 设-1x0,则0-x1, f(x)是奇函数，f（-x）=-f

13、（x）, 5分 故f(x)= (-1x1). 6分,解题示范,又设1x3,则-1x-21, f（x-2）= （x-2）. 7分 又f（x-2）=-f（2-x）=-f(-x)+2) =-f（-x）=-f（x）， -f（x）= （x-2）， f（x）= （x-2） （1x3）. 8分 9分,由f(x)= 解得x=-1. f（x）是以4为周期的周期函数， f(x)= 的所有x=4n-1 (nZ). 10分 令04n-12 009,则 又nZ，1n502 （nZ）, 在0，2 009上共有502个x使f(x)= 12分 判断函数的周期只需证明f（x+T）=f(x) (T0)便可证明函数是周期函数，且周

14、期为T，函数 的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查 的重点问题.,探究提高,知能迁移3 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2） =-f（x），则f（9）的值为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 f(x+2)=-f(x), f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f（x）是周期为4的函数. f（9）=f（24+1）=f（1）. f（x+2）=-f（x），令x=-1, 得f(1)=-f(-1)=-f(1),f(1)=0.f(9)=0.,B,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两 个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇

15、 函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为 了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行 化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=f(x) f(-x) f(x)=0 =1(f(x)0).,方法与技巧,思想方法 感悟提高,3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数 图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否 关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的一个必要条件.,失误与防

16、范,2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x, 均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对 于偶函数的判断以此类推. 3.判断分段函数奇偶性时,要以整体的观点进行判断, 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数 而否定函数在整个定义域上的奇偶性.,一、选择题 1.f(x)为奇函数，且f(x)的周期为3，f（2）=1，则 f（10）等于 （ ） A.1 B.-1 C.0 D.2 解析 f(10)=f(33+1)=f(1)=-f(-1)=-f(2)=-1.,定时检测,B,2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-，0 上是减函数，且f(2)=

17、0，则使得f(x)0的取值范围 是 （ ） A.(-,2) B.(2,+) C.(-,-2)(2,+) D.(-2,2) 解析 f（x）是偶函数且在 (-,0上是减函数，且f（2） =f（-2）=0，可画示意图如图所 示，由图知f(x)0的解集为（-2，2）.,D,3.（2009辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间0, +）上单调递增，则满足 的x的取 值范围是 （ ） A. B. C. D.,解析 方法一 当2x-10,即x 时，因为f(x)在 0，+）上单调递增，故需满足 当2x-10,即x 时，由于f(x)是偶函数，故f(x)在 （-,0上单调递减， 此时需满足,方法二 f(x)为偶函数

18、,f(2x-1)=f(|2x-1|) 又f(x)在区间（0，+）上为增函数 不等式 等价于,答案 A,4.(2009陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对 任意x1,x20,+)(x1x2)，有 则 （ ） A.f(3)f(-2)f(1) B.f(1)f(-2)f(3) C.f(-2)f(1)f(3) D.f(3)f(1)f(-2),解析 对任意x1,x20,+)(x1x2),有 则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号，因此函 数f(x)在0，+）上是减函数.又f(x)在R上是偶函 数，故f(-2)=f(2),由于321,故有f(3)f(-2)f(1). 答案 A,5.函数y=f(x)

19、与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常数 函数，对定义域中任意x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x) =1,且x0,g(x)1,则F(x)= ( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数,解析 由条件知f(-x)=-f(x), 答案 B,6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时， f(x)=1-2-x,则不等式f(x) 的解集是 （ ） A.(-,-1) B.（-，-1 C.（1，+） D.1，+）,解析 当x0时，1-2-x= 0与题意不符， 当x0，f（-x）=1-2x， 又f（x）为R上的奇函数

20、， f（-x）=-f（x）， -f（x）=1-2x，f（x）=2x-1， f（x）=2x-1 2x x-1, 不等式f(x) 的解集是（-，-1）. 答案 A,二、填空题 7.已知定义在R上的函数f（x）满足f(x+5)=-f(x)+2, 且当x(0,5)时，f(x)=x，则f(2 008)的值为 _. 解析 f（x+10）=f（x+5）+5 =-f（x+5）+2=-f（x）+2+2=f（x）， f（x）的一个周期为10. f（2 008）=f（10200+8）=f（8）=f（3+5） =-f（3）+2=-1.,-1,8.定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+1）=-f（x）,且在 -1，0上

21、是增函数，给出下列关于f（x）的判断： f（x）是周期函数； f（x）关于直线x=1对称； f（x）在0，1上是增函数； f（x）在1，2上是减函数； f（2）=f（0）， 其中正确的序号是_.,解析 f（x+1）=-f（x）， f（x）=-f（x+1）=f（x+1+1）=f（x+2）， f（x）是周期为2的函数，正确. 又f（x+2）=f（x）=f（-x）， y=f（x）的图象关于x=1对称，正确. 又f（x）为偶函数且在-1，0上是增函数， f（x）在0，1上是减函数. 又对称轴为x=1， f（x）在1，2上为增函数，f（2）=f（0）， 故错误，正确. 答案 ,9.设函数 为奇函数，则a= . 解析 则函数g(x)=(x+1)(x+a)=x2+(a+1)x+a 应为偶函数，则g(-x