随机变量的数学期望

1、概率论与数理统计,4.1 数学期望的定义及性质,第四章,概率论与数理统计,主要内容,二、几种常用分布的期望,一、数学期望的概念,三、随机变量函数的数学期望,四、数学期望的性质,一、数学期望的概念,我们知道离散型随机变量的分布列全面地描述了这个随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，这样的“全面描述”有时并不使人感到方便，举例来说，一个班级的学习成绩是一个随机变量，如果要比较不同班级的学习成绩，通常只要比较两个班级的平均成绩就可以了。平均值大就意味着这个班级的学习成绩较好，这时如果不去比较它的平均值，而只看它的分布列，虽然“全面”，却使人不得要领，既难以掌握，又难以迅速作出判断，这样的例子可以举

2、出很多。,1.、离散型随机变量的数学期望,试问哪个射手技术较好?,例1 谁的技术比较好?,乙射手,甲射手,解,故甲射手的技术比较好.,设甲乙射手击中的环数分别为,设离散 r.v. 的可能取值为 ，其分布列为,则当 时，,并且数学期望为,称 存在数学期望（均值），,而当 时，,称 的数学期望（均值）不存在。,定义,(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.,(1) E( )是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 取可能值的真正平均值, 也称均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是

3、因为数学期望是反映随机变量 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,关于定义的几点说明,例2 设一个盒中有5个球，其中有3个黄球，2个白球，从中任取两个球，问平均取到的白球数是多少？,解 设 为任取两个球中的白球数， 的分布列为,则,故平均取到的白球数是0.8个。,数学期望的本质 加权平均它是一个数不再是r.v.,2.、连续型随机变量的数学期望,定义,二、几种常用分布的期望,1、退化分布,设 的分布列为 ，则,2、两点分布,设 的分布列为 ，则,事实上，,事实上，,则有,事实上，,3、二项分布,设 的分布列为 ，则,则两点分布b(1,p)的数学期望为 p.,=np,则有,4、Poi

4、sson分布,设 的分布列为 ，则,事实上，,则有,4、几何分布,设 的分布列为 ，则,事实上，,6. 均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,7. 指数分布,则有,8. 正态分布,则有,常见离散型随机变量的数学期望,若 为离散型r.v.，分布律为,又g (x)为实变量x的单值函数，如果 (即绝对收敛)，则有,三、随机变量函数的数学期望,定理1,若 ，为离散型r.v.，分布律为,又g (x, y)为实变量x, y的单值函数，如果 则有,定理2,1、离散型随机变量函数的数学期望,解,例7 设,求,解,例8 设 的分布律为,的分布律为,由于,的分布律为,因此，,由于,因此，,2、

5、连续型随机变量函数的数学期望,(1) 若 是连续型的,它的分布密度为 p(x) ，则,这里同样要求 绝对收敛.,这里同样要求 绝对收敛.,1. 设C是常数, 则有,证,2. 设 是一个随机变量,C 是常数, 则有,证,例如,四、数学期望的性质,则,3. 设 、是两个随机变量, 则有对任意实数 , 有,证,推广,4. 设 、 是相互独立的随机变量, 则有,证,推广,4. 设 是相互独立的随机变量, 则有,性质 4 的逆命题不成立，即,若 不一定独立,反例 1,p j,pi,但,解,例9 设,求,例10 若,求：,解,引入随机变量 ，则,相互独立，,故,第i次试验事件A发生，,第i次试验事件A不发生，,又,而,例11 设 的分布列为 ，求,解,解,例12 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 表示