初二数学《一次函数》

1、.,一次函数的概念,.,什么是函数？,在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也就是说x是自变量，y是因变量。,什么是一次函数？,y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数） 当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个 值与x对应时，就不是一次函数。 x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。 特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但K0）正比例函数图像经过原点。,定义域（函数值）：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。

2、常用的表示方法：解析法、图像法、列表法。,.,1.下列函数中，不是一次函数的是 （）,2.如图，正比例函数图像经过点A，该函数解析式是_,4.点P（a,b）点Q（c,d）是一次函数y=-4x+3图像上的两个点，且ac，则b与d的大小关系是_,3.一次函数y=x+2的图像不经过第_象限,A,EX,.,5.一次函数 y 1=kx+b与y 2=x+a的图像如图所示，则下列结论（1）k0;(3)当x3时，y 1y 2中，正确的有_个,6.如图，已知一次函数y=kx+b的图像，当x1时，y的取值范围是_,7.一个函数图像过点（1，2），且y随x增大而增大，则这个函数的解析式是_,.,8.如图所示，三峡工

3、程在6月1日至6月10日下阐蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间.假设水库水位匀速上升，那么下列图像中，能正确反映这10天水位h(米)随时间t(天)变化的是( ),B,.,典型例题分析,例1. 求直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积？,.,例2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4,求m的值。,A,y,x,o,P,.,一次函数的图像及性质,图像作法：通过如下3个步骤： （1）列表. （2）描点；一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 一般的y=kx+b(k0）的图象过（0，b）和（-b/

4、k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 （3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.,通过描点可以猜测一次函数的图像是一条直线,.,在平面直角坐标系中画出函数 的图象。,0,同一条直线上,直线,0,原点,.,在平面直角坐标系中画出函数 的图象。,0,-2 -1,1 2,0, -1 -0.5 0.5 1 ,2,我们可以发现：函数 的图象也是一条直线。其实， 所有一次函数y=kx+b的图象 都是一条直线，

5、并且k和b的 值将决定其图象的位置和特 点哦。,.,*为什么一次函数的图像是直线呢？ 先证明y=kx是直线,再通过几何意义,将y=kx平移得到y=kx+b使得问题获得证明. 下面补充证明:y=kx是直线. y=kx过原点,而它上面的每个点的纵坐标和横坐标的比值都是定值,于是形成的直角三角形的一个锐角的正切值是不变的,于是就是直线(比较缺乏严谨,可以自己补充完整). 学了高等代数之后,问题就很简单了. 因为一次函数的导数是一个常数,所以斜率固定,所以是直线.,.,作出下列一次函数的图像，并探究下列问题： 1.从图像上看当一个点在直线上从左向右移动时点的位置是上升还是下降？ 2.该图像中y随x的变

6、化怎样变化？ 3.图像的变化趋势由谁决定？ 4.图像与Y轴的交点位置由谁决定？,思考,.,观察函数的解析式及其图象，填写下表。,k相同,b不同,k相同,b不同,倾斜度一样（平行）,都经过一、三象限,直线y=3x+2还经过第二象限,倾斜度一样（平行）,都经过一、三象限,直线 还经过第二象限,b相同,k不同,都与y轴相交于点（0，2）,都经过一、二、三象限,倾斜度不一样（不平行）,.,1,-1,2,3,4,5,-4,-3,-2,-5,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,-5,0,观察:这些函数的图像 有什么特点?,x,y,在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象: 1. 2. y=3x

7、y=3x+2,从图中可以看出: 1.当一次函数的k值相等时,直线互相平行.,2.当一次函数的b值相等时,直线在y轴交于一点.,.,*可不可以左右平移呢？,特殊位置关系平行,.,特殊位置关系垂直,在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：,y=2x与y=2x+3,y=2x+1与,0 1 0 2,0 -1 3 1,0 1 1 3,0 2 1 2,.,在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有 什么关系：, y= 2x, y= 2x 4,0 0,1 2,0 4, 2 0,观察直线y=2x与y= 2x 4， 可以知道，它们_， 并且第二条直线可以看作由第一条 直线向_平移_个单位得到。,互相平行,

8、下,4,.,一次函数的图像及其性质总结,1.（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 2函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 3k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 当k0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0,b0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 当 k0时，直线必通过第一、二象限； 当b0时，直线只通过第一、三象限，不

9、会通过第二、四象限。当k0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。,.,4、特殊位置关系： 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） ） 点斜式y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）两点式(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点） 截距式（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）实用型 （由实际问题来做）,.,一次函数的应用,生活中的应用 1.当时间t一定，距离s是速

10、度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）,.,龟兔赛跑,乌龟,兔子,时间(分),起点 0,终点 1200,路程(米),20,60,40,70,关于这个故事你能提出那些数学问题?并解答自己的问题.,小树 800,注意图像所给数据,.,新龟兔赛跑,我让你从小树处跑,.,新龟兔赛跑故事大家说,乌龟,兔子,时间(分),起点 0,路程(米),注意起跑时存在路程差,小树 800,终点 1200,.,这一

11、次,兔子让乌龟先跑若干分钟,然后它开始追赶,结果它们同时到达终点.,你也能用函数图象表示吗?试试看.,.,乌龟,兔子,时间(分),起点 0,终点,路程(米),起跑时存在时间差,.,某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为_。 解：由题意得 ，即 故所求函数的解析式为 （ ） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。,.,一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.,分析：此题由物理的定性