高中数学 3.2 综合法证明不等式 教案北师大版必修1（通用）

1、3.2 综合法证明不等式教学目标一、知识目标： 综合法证明不等式二、能力目标：1、理解综合法证明不等式的意义。2、熟练掌握过去学过的重要不等式，并用这些不等式来证明新的不等式。三、情感目标：掌握综合法证明不等式，培养学生严谨周密的逻辑思维习惯，加强学生实践能力的训练，由因导果，进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育，确实提高学生的思想道德品质。教学重点一、掌握综合法证明不等式的基本思路，即“由因导果”，从已知条件及已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论。二、理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系，即A（已知）B1B2BnB（结论）教学难点 “由因导果”时，从哪个不等

2、式出发合适是综合法证明不等式的难点。教学方法一、针对本节课需要学生严谨周密的逻辑思维的特点，整堂课实行引导，探索，综合，归纳四步教学法。力求做到以创造发展为目的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段，以推理判断为特征。二、采用多媒体教学手段，增大教学容量和感官性。教学过程一、导入回顾与反思 例1例1 对于a，b，cR 求证：a2+b2+c2ab+bc+ca证法一： 当且仅当a=b=c时等号成立比较法证明不等式是一种很好的方法，但是是否还有其他的方法呢？引导学生思考可否用其他的方法证？仔细观察：左边是三项平方和形式，右边是两两乘积之和形式，我们可以联想到前面所学的定理2： 但两者项数不同，要动

3、动脑筋，做一些适当的变形，二、例题1、证法二：由定理2知：对a,b,cR,有由不等式性质2的推论可知：以上三个同向不等式可以相加再将以上不等式两边同时除以2，得当且仅当a=b=c时，等号成立。2、归纳简明思路当且仅当a=b=c时，等号成立3、与学生共析：“综合法”证明不等式实质上是“由因导果”的直接推理论证。其要点是：由已知性质定理出发，逐步导出其“必要条件”，直到最后的“必要条件”是所要证的不等式为止。4、提醒！在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧。证明不等式的常用关系同学们，前面在1.3节我们学习了两个正数的算术平

4、均值与几何平均值的关系定理及其几个重要的不等式。这些都是在证明不等式过程中常用的关系： 当且仅当a=b时等号成立5、例5：若x,y,z是三个不尽相等的正实数，且 x+y+z=1 求证: (1-x)(1-y)(1-z)8xy 证明：由已知条件x+y+z=1 及定理4可以知 1-z=x+y2 1-y=x+z21-x=y+z2分析，但由于x,y,z不尽相等，就是说其中至少有两个数不相等，故以上三个不等式至少有一个不等式是严格不等式（不含等号）所以以上三个同向不等式相乘就得出 (1-x)(1-y)(1-z) 即 (1-x)(1-y)(1-z)8xyz三、随堂练习 1）若a,bR+ 则 2) 若a,bR

5、+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) 8a3b33) 若 a,b R+ 且ab 则(a+b)(a3+b3) (a2+b2)24) 若a,b R 则 a2+b2+c2 +3 2(a+b+c)酌情让学生演板，与学生一起分析各题，最后总结简明思路。视学生的反馈情况酌情向学生提供各题简明思路。题1：若a,bR+ 则 简明思路：题2：若a,bR+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) 8a3b3简明思路： (a+b)(a2+b2)(a3+b3) 8a3b3题3：若 a,b R+ 且ab 则(a+b)(a3+b3) (a2+b2)2简明思路： (a+b)(a3+b3) (a2+b2)2题4 ：若a,b R 则 a2+b2+c2 +3 2(a+b+c)简明思路： 四、课时小结 本节课我们学习了“综合法”证明不等式。其核心是引导我们运用已有知识（已知或已证成立的不等式或定理）进行逻辑思考和推理论证，启发我们大家从不同角度去思考问题，去主动获取新知识。 教材中主要讲授了运用均值不等式来证明不等式，因而要加强对这个定理及它的各种各样的变形形式的理解。五、布置作业 1、习题23 （课本P86）第5，6，7，8题 2、思考题：设a,b,c为一个不等边三角形的三边边长，求证： abc (b+c-a)(a+