中考数学复习知识概要

1、初中数学知识概要 本部分内容是在对比“九义教材与“新课标基础上结合长期的教改实践，较为详实地提炼出了整个初 中数学中关于“数与代数” 、 “统计与概率-“生活中的图形、 “平面图形与三角函数”四个领域的双基内容， 以供同学们在演练中备查基础知识 第一部分数与代数第一部分数与代数 主要内容包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们主要内容包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们 从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界，以下分别将各模块知识点加以整理收集从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述

2、和把握现实世界，以下分别将各模块知识点加以整理收集 一、实数一、实数 (一)实数的组成 1有理数：任意一个有理数都可以写成分数 p 的形式，其中p 与 q 是整数且最大公约数是 1，这是有理数的 q 重要特征，例： 2无理数 是无理数而不是分数 3 (1)它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环二者缺一不可 (2)它有三种形式： 开不尽方根，如 3 特殊常数，如圆周率 特定结构的无限小数，如 01010010001(每两个 1 之间依次多一个 0) 3判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断要注意： “神似”或“形 似”都不能作为判断的标准 (二)实数中的几个概念

3、 1相反数 (1)实数a的相反数是a(2)a和b互为相反数 ab 0 2倒数 (1)实数a(a0)的倒数是 1 (2)a和b互为倒数 ab 1。(3)注意 0 没有倒数 a 3绝对值(1)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0即 1 / 25 a ( a 0) a 0 ( a 0) a ( a0) (2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离 (3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零。 如：若 a b c2 0 ，则a 0，b 0，c 0 4n 次平方根 平方根，算术平方根：设被开方数a 0，称

4、a 叫a的算术平方根， a叫a的平方根 正数有两个平方根，它们互为相反数0 的平方根是 0负数没有平方根 （2）立方根： 3a 叫实数a的立方根 一个正数有一个正的立方根0 的立方根是 0一个负数有一个负的立方根 （3）算术平方根与绝对值的联系： a2 a （4）算术平方根的估算方法：两端逼近法 例如：估算 22 6 (精确到 01) 6 322 6 3 2 又2.4 5.76，2.52 6.25 又6 更靠近 576， 6 2.4 （三）近似数与科学记数法 1.科学记数法：把一个数写成a10的形式（其中1 （1）确定a：a是只有一位整数数位的数 （2）确定n：当原数1时，n等于原数的整数位数

5、减 1； ；当原数0，y0点 P(x，y)在第二象限x0 点 P(x，y)在第三象限x0，y0，y0 k0 时， y 随 x 增大而增大； 当k0 k0直线与 y 轴交点在 x 轴的上方0直线过原点b0抛物线与 x 轴有两个不同交点 =0抛物线与 x 轴有唯一的公共点(相切) 0 时，抛物线有最低点，函数有最小值 当 a0图象在一、三象限内(2)k0图象在二、四象限内 第二部分统计与概率第二部分统计与概率 主要内容是学习现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据的收集、整理、描述和分析 以及对事件发生的可能性的刻画，来帮助人们做出合理的推断和预测，以下分别从各个知识点加以整理概述 一

6、、统计初步一、统计初步 (一)总体和样本 1总体和个体：在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体 2样本和样本容量：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量样 本容量没有单位。 3数据收集与处理的有关概念 (1)普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查； (2)从总体中抽取一部分个体进行调查称为抽样调查。 (3)利用抽样收集数据时应注意考虑以下三点： 被调查的对象不得太少 被调查的对象应有随机性 被调查的数据应是真实的 (二)反映数据集中趋势的特征数 1平均数 13 / 25 (1)x1，x2，xn的平均数：x 1

7、(x 1 x 2 . x n ) n x 1 出现 f 1 次， x 2 出现(2)加权平均数：如果 n 个数据中， f 2 次， x k 出现 f k 次(这里 f 1 f 2 . f k n )，则 x x 1 f 1 x 2 f 2 . x k f k f 1 f 2 . f k (3)平均数的简化计算： 当一组数据x1，x2， xn中各数据的数值较大， 并且都与常数a接近时， 设x1 a ， x 2 a ，xn a的平均数为x ，则x x a 2中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据 的个数为偶数，中位数就是处在中间位置上两个数据的

8、平均数 3众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据的众数可能不止一个 4极差：最大值减去最小值的差 (三)反映数据波动大小的特征数 1方差 (1)x1，x2，xn的方差： (x 1 x)2(x 2 x)2.(x n x)2 s n 2 （2）s2 1 22(x 1 2 x 2 . x n )nx2 n 说明：当x1，x2，xn为较小的整数时，用该公式计算方差较简便 (3)x1，x2，xn方差为s，设a、b为常数， 则x1 2 b，x 2 b ，xn b 的方差为s2；ax1b，ax2 b，ax n b的方差为a2s2 说明x1，x2，xn各数据较大且与常数a较接近时，

9、用该法计算方差较简便 2标准差：方差(s)的算术平方根叫做标准差(s) (四)频率分布 1有关概念 (1)分组：将一组数按照统一的标准分成若干组，称为分组，当数据在 100 个以内时，通常分成 512 组 (2)频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数，各个小组的频数之和等于数据总数 n (3)频率：每个小组的频数与数据总数 n 的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为 l (4)频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表 2 14 / 25 (5)频率分布直方图：将频率分布直方表中的结果， 以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的 直方图，叫做频

10、率分布直方图 图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。 每个小长方形的面积等于该组的频率。 所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于 1 样本的频率分布反映样本中各数据的个数分另占样本容量 n 的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据 的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布 2研究频率分布的方法：得到一组数据的频率分布的方法，通常是先整理数据，后画频率分布直方图其步 骤是： 计算最大值与最小值的差 决定组距与组数 决定分点 列频率分布表 绘频率分布直方图 (五)各种统计图的特点 1条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目 2折线统计图：能清楚地反

11、映事物的变化情况 3扇形统计图：能清楚表示出各部分在总体中所占的百分比 二、概率二、概率 1必然事件：对于一个事件，如果每一次都能发生或者百分之百发生的事件称为必然事件不可能事件：对 于一个事件，一定不能发生的事件称为不可能事件 2等可能事件：一个事件只有两种结果，即一正一反，并且他们的可能性相同则称为等可能事件等可能事 件必须具备条件均等及随机性 3概率 P(关注事件) 4几种概率 关注事件可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 简记作P=关注数目 所有数目 (1)必然事件概率为 1，记作 P(必然事件)=1 (2)不可能事件概率为 0，记作 P(不可能事件)=0 (3)如果 A 为不确定事

12、件，那么 0P(A)1 5几何型概率= 关注事件所有可能结果所组成的图形面积 所有可能结果组成的图形的面积 6余事件概率：一个事件 A 的余事件的概率=1P(A) 7实验频率与理论的关系 当实验次数很大时，实验频率稳定在相应的附近但这并不意味着实验次数越大，就越为靠近 8游戏规则公平性的标准是各方获胜的概率相同 9计算概率的常用方法：一是画树状图；二是列表 10求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率即正难则反易 第三部分生活中的图形第三部分生活中的图形 15 / 25 一、空间图形一、空间图形 1图形是由点、线、面构成的点动成线，线动成面，面动成体面与面相交得线，线

13、与线相交得点 2常见的几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球 3棱柱的有关概念和特征 (1)在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱 (2)棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形 4截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面 5几何体的三视图：把从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视 图 二、图形的平移与旋转 (一)平移 1概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移 2平移的特征 (1)平移不改变图形的形状和大小 (2)经过平移，对应点所连的线段平行且相等

14、，对应线段平行且相等 (二)旋转 1概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点 称为旋转中心，转动的角称为旋转角 2旋转的特征 (1)旋转不改变图形的大小和形状 (2)经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿同方向转动了相同的角度任意一对对应点与旋转中心的连线 所成的角度都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 (三)位似变换 1位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图 形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等

15、于位似比 (四)空间的垂直关系 1棱与平面的垂直：在长方体中，一条棱垂直于一个面内两条相交的棱，这条棱与这个面就互相垂直 2面与面垂直：一个面经过另一个面的一条垂直的棱，这两个面就互相垂直 第四部分第四部分平面图形与三角函数平面图形与三角函数 主要内容涉及到现实世界中的物体，几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更 好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具以下分别从各个知识点加以整理收集 一、线段、角与三角形一、线段、角与三角形 (一)命题、定理、逆定理 1基本作图 (1)作一条线段等于已知线段 (2)作一个角等于已知角 (3)平分已知角 (4)经过一点作已知直线的垂线 1

16、6 / 25 (5)作线段的垂直平分线 2等腰三角形的性质定理： (1)等腰三角形的两个底角相等简写成：等边对等角 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边， 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合简写成：等腰三角形底边上三线合一 推论 2：等边三角形的各角都相等，且每一个角都等于 60 (2)等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成：等角对 等边 推论 1：三边都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角等于 60。的等腰三角形是等边三角形 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30那么官所对的直角边等于斜边

17、的一半 3线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等 逆定理：和一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 4勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方即：a 逆定理：如果三角形边长 a，b，c 有关系：a (二)线段与角 1直线、射线、线段、角的有关概念 2两点间的距离：连接两点的线段的长度 3直线公理和线段公理 (1)直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线简写成：过两点有且只有一条直线 (2)线段公理：两点之间，线段最短 4余(补)角性质：同角或等角的余角(补角)相等 (三)相交线与平行线 1同一平面内两条直线的位

18、置关系 (1)平行线：在同一平面内，没有公共点的直线叫做平行线 (2)相交线：在同一平面内，只有一个公共点的两条直线叫做相交线 2点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 3对顶角性质：对顶角相等 4垂线性质 (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短简写成：垂线段最短 5平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 6平行线的判定公理和定理 (1)判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简写成：同位角相等， 两直线平行

19、(2)判定定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简写成：内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角角互补，那么这两条直线平行简写成：同旁内角互补，两直 线平行 2 2b2 c2 b2 c2 ，那么这个三角形为直角三角形 17 / 25 7.平行线的性质公理和定理 (1)性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简写成：两直线平行，同位角相等。 (2)性质定理 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简写成：两直线平行，内错角相等 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简写成：两直线平行，同旁内角互补 (四)三角形 1(1)三角形的知识结构

20、内角和定理及推论 概念一般三角形性质 三边关系定理及边 角之间的关系 三角形全等三角形全等应用 角平分线 线段中垂线 不等边三角形 按边分 等腰三角形等边三角形 一般等腰三角形 分类 直角三角形 按角分 斜三角形钝角三角形 锐角三角形 (2)三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边 推论：三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 推论 l：直角三角形的两个锐角互余 推论 2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 2全等三角形 (1)定义：能够完全重合的两个三角形 (2)性质：全等三角形的对应边

21、相等，对应角相等 (3)判定 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(公理) 角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(定理) 推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(推论) 边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等(定理) 斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(定理) 4角的平分线 (1)定理 l：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 (2)定理 2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上 二、四边形二、四边形 (一)四边形 1定理：四边形的内角和等于 360，外角和等于 360 2多边形内角和定理：多边

22、形的内角和等于(n-2)180 （二）平行四边形 0 18 / 25 1.平行四边形的性质和判定 性质对边平行 对边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 判定两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边分别平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分的四边形 2.特殊平行四边形的性质和判定 名称矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 于斜边一半 菱形 对边平行 四条边都相等 对角相等 平分一组对角 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相 等 性质 直角三角线斜边上的中线等对角线互相垂直平分，且 有三个角为直

23、角的四边形 对角线相等的平行四边形 判定 四条边都相等的四边形 形 对角线互相垂直的平行四 边形 有一个角为直角的菱形 有一个角为直角的平行四边形一组邻边相等的平行四边有一组邻边相等的矩形 S 菱形 对角线对角线 2 3中点四边形 顺次连接四边形四边中点构成的四边形叫中点四边形。 任意四边形的中点四边形是平行四边形， 矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 (三)轴对称和中心对称 定义轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如 性质 果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称，这 条直线叫做对称轴 中心对称 把一

24、个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 称，这个点叫做对称中心 19 / 25 关于某条直线对称的两个图形全 判定 等对应点连线被对称轴垂直平分关于中心对称的两个图形全等 如果它们的对应线段或其延长线对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分 相交，那么交点在对称轴上 如果两个图形的对应点连线被同一 判定条直线垂直平分，那么这两个图形关 于这条直线对称 (四)梯形 轴对称图形 如果两个图形的对应点连线都经过某一点且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 中心对称图形 1概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 2等腰梯形 (

25、1)性质定理：等腰梯形在同一底上的两个底角等，等腰梯形的两条对角线相等 (2)判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形为等腰梯形 3平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相 等 (1)推论 l：经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰 (2)推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 4中位线 (1)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段 (2)性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 三、相似形三、相似形 (一)比例线段 1线段的比和比例线段 acab ad bc 推论： b2 ac bdbc aca

26、bcd (2)合比性质： bdbd (1)比例的基本性质： (3)等比性质： acmac.ma . bdnbd .nb 其中bd .n 0。 2平行线分线段成比例 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 (3)逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边 20 / 25 (二)相似三角形 1概念：对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形

27、2相似三角形的判定 (1)定理 l：平行于三角形_边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 (2)定理 2：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简单说成： 两角对应相等，两三角形相似 (3)定理 3：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角 形相似简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 (4)定理 4：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简单说 成：三边对应成比例，两三角形相似 (5)定理 5：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角

28、形和原三角形相似 (6)定理 6： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似 （7）射影定理 AC2 AD AB BC2 BD AB CD2 ADBD 3相似三角形的性质 (1)定理 l：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 (2)定理 2：相似三角形周长的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方 C A D B 四、解直角三角形四、解直角三角形 (一)锐角三角函数 1三角函数定义 1 在中，若90 sinA A的对边a 斜边c cos A A的邻边b 斜边c tan A A的对边a A的邻边b 2、

29、同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2Acos2A1（2）商数关系：tanAsinA cosA 3、互为余角的三角函数关系 sin(90 A)cos A，cos(90 A)sin Atan(90 A)cot A 或者：若90，则， ， 4、特殊角的三角函数值 （二）解直角三角形 1、直角三角形中边角关系 在直角三角形中，如果90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，那么 （1）三边之间的关系为a2 b2 c2 （勾股定理） （2）锐角之间的关系为90 （3）30角所对直角边等于斜边的一半。 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 21 / 25 （5）边角之间的关系为： （三角

30、函数定义） 2、其他有关公式 111 absinCbcsin AacsinB 222 11 （2）面积公式：S ab ch 22 （1）S （3）直角三角形外接圆的半径R，内切圆半径rabc 2 c 2 结论：直角三角形斜边上的高h 3、几个概念： ab c (1)在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫 做俯角。 (2)坡度：如图 3，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比） ，用 字母 i 表示，即i h . l 坡角：坡面与水平面的夹角； 坡度与坡角（用表示）的关系：.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。. 4应用解直角三角形的知识，可以解决：

31、 (1)测量物体高度 (2)有关航行问题 (3)计算坝体或边路的坡度等问题 5测底部不可到达物体的高度如右图， 在中， 在中， 8Q， 即 Q P A x B 五、圆五、圆 知识结构 圆的定义 圆的概念确定圆的条件：不在同一直线上的三点共圆 圆的性质 旋转不变性：四关系定理 圆内接四边形的性质圆周角定理 圆 切线的判定圆的切线和作法 直线和圆的位置关系切线的性质 圆与圆的位置关系：圆与圆的五种位置关系及判定方法 园与正多边形的关系：圆的有关计算扇形、弓形的弧长和面积 圆柱、圆锥的侧面展开图 (一)圆的概念 1圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合 2定理： ，不在同一直线上的三个点确定一

32、个圆 3作三角形外接圆的方法：先作三角形两边的中垂线得到三角形外心，再以外心为圆心，外心到三角形一个 22 / 25 顶点的距离为半径作圆 (二)圆的性质 1圆为轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 (4)圆的两条平行弦所夹的弧相等 2圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组相等时，那么它们所 对的其余各组量都分别相等 3圆周角 (1)定义：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角 (2)定理：一条弧所对的圆周角等于