2015高考数学必做100题(含答案详解)

1、2015高考数学必做100题(含答案详解）一、选择题1.【2013成都二诊】命题“.，都有ln(x2+1)0”的否定为 （ ） (A) ，都有ln(x2 +1)0(B) ，使得ln(x02+1)0(C) ，都有ln(x2+l)bc Bbac Caccb【答案】D13、【2013梅州3月质检】下列命题中假命题是A、0，有ln2x+lnx10B、R，使C、“a2b2”是“ab”的必要不充分条件D、，使是幂函数，且在（0，）上递减【答案】C14. 【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】 已知的三个顶点及所在平面内一点满足，则点与的关系 A在内部 B在外部 C在边上 D在边上【答案】D15. 【201

2、3蚌埠二检】ABC的外接圆的圆的加以为O,半径为1,若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为( )A. B. C. 3 D.-【答案】A16【2013宝鸡二模】下列命题中，真命题是（）【答案】D17.【2013汕头一模】设、为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，,有两个命题：P ：若/、则m/n; q:若n丄,则丄;那么（)A. “p或q是假命题B. “ P且q”是真命题C. “非p或q是假命题D. “非p且q是真命题【答案】D18【2013烟台3月诊断】已知函数f(x)=，则ff（2013）= A B- C1 D -1【答案】D19、【2013梅州3月质检】某程序框图如右图所示，若输出的

3、S57，则判断框内填A、k4？B、k5？C、k6？D、k7？【答案】A20.【2013郑州二模】个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 【答案】C21【2013西安五校二模】已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2ASC=BSC=45则棱锥SABC的体积为A B C D【答案】C22【2013西安一模】若向量则= A（2，4） B（34） C（6，10） D（610）【答案】A23【2013东北三校3月联考】已知全集,集合，则集合 （ ）AB CD【答案】C。，故选C24【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】设m、n为空间的两条不同的直线，、为空

4、间的两个不同的平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn上述命题中，所有真命题的序号是A. B. C. D. 【答案】D25【2013西安一模】要得到函数y= cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象 A向左平移1个单位 B向右平移1个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位【答案】C26【2013烟台3月诊断】函数f（x）=1nx的图像大致是【答案】C27. 【2013宝鸡二模】现在定义直角坐标系内任意两点之间的一种“距离”：，给出下列三个命题： 若点C在线段AB上，则； 在ABC中，若C=,则； 在ABC中，。其中真命题的个数为（ ）

5、A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B28【2013东北三校3月联考】已知向量是夹角为60的两个单位向量，向量（R）与向量垂直，则实数的值为（）A、1B、1C、2D、0【答案】D29【2013黄冈3月质检】如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数：；.其中是“同簇函数”的是A.B.C. D. 【答案】C30 【2013青岛一模】定义区间，的长度均为. 用表示不超过的最大整数，记，其中.设，若用表示不等式解集区间的长度，则当时，有 A B C D 【答案】A二、填空题31. 【2013汕头一模】函数 的定义域是_【答案】32. 【2013广西四市

6、3月联考】已知球O是棱长为的正方体ABCD的内切球，则平面截球O的截面的面积为_。【答案】15. 33.【2013成都二诊】在某大型企业的招聘会上，前来应聘的本科生、硕士研究生和 博士研究生共2000人，各类毕业生人数统计如图所示，则博士研究生 的人数为_.【答案】24034. 【2013江苏四市二调】某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练S0For I From 1 to 28 Step 3 SS +IEnd ForPrint S（第34题）6 4 5 77 2 5 8 0 1 （第33题）时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员

7、这7天的平均训练时间为 分钟【答案】7235. 【2013江苏四市二调】根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 【答案】14536【揭阳一模】计算：= 【答案】237.【2013江苏盐城二模】定义运算，则关于非零实数的不等式的解集为 。【答案】38【2013北京石景山3月统一测试】观察下列算式：l3 =1,23 =3+5,33 = 7+9+11,43 =13 +15 +17 +19 ， 若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n= 【答案】4539【2013开封二模】设变量x，y满足约束条件的取值范围 。【答案】1/4,540、【2013梅州3月质检】在极坐标系中，

8、圆2上的点到直线3的距离的最小值是【答案】141. 【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”已知、是一对“黄金搭档”的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 【答案】42【2013蚌埠二检】计算：i+2i2+3i3+359i359= 。【答案】-180-180i43. 【2013北京东城区3月联考】对于函数，若存在区间，使得 ，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列三个函数：；. 其中存在稳定区间的函数有_.（写出所有正确的序号）【答案】44【2013江苏苏锡常镇四市3月调研】已知，则的值为

9、【答案】7/945【2013吉林市二模】已知函数 则【答案】46【2013黄冈3月质检】已知向量，若函数在区间上存在增区间，则的取值范围是.【答案】 47【2013揭阳一模】给出下列等式：，请从中归纳出第个等式： 【答案】48【2013青岛一模】给出以下命题： 双曲线的渐近线方程为； 命题“，”是真命题； 已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位； 已知，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）【答案】49【2013湖北八校二次联考】基尼系数是衡量一个国家贫富差距的标准。图中横轴表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分比，纵

10、轴表示收入的累积百分比，弧线(称为洛伦兹曲线)与对角线之间的面积叫做“不平等面积”，折线段与对角线之间的面积叫做“完全不平等面积”，不平等面积与完全不平等面积的比值为基尼系数，则：(1) 当洛伦兹曲线为对角线时，社会达到“共同富裕”,这是社会主义国家的目标，则此时的基尼系数等于 .(2)为了估计目前我国的基尼系数，统计得到洛伦兹曲线后，采用随机模拟方法：随机产生两个数组成点,共产生了1000个点，且恰好有300个点落在区域中。则据此估计该基尼系数为： .【答案】 0 0.4 50【2013枣庄一模】已知一个半径为Im的半圆形工件，未搬动前如图所示（直径平行于地面放置），搬动时为了保护圆弧部分不

11、受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移40m，则圆心D所经过的路线长是 m 【答案】+4051、【2013焦作一模】下面有五个命题：函数的最小正周期是；终边在y轴上的角的集合是；在同一坐标系中，函数ysinx的图象和函数yx的图象有三个公共点；把函数y3sin（2x）的图象向右平移得y3sin2x的图象；函数ysin（x）在（0，）上是减函数。其中真命题的序号是【答案】52【2013潍坊一模】现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为 10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n= 。

12、【答案】1653【2013洛阳3月二练】已知数组（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），（an，bn，cn），则c10= 。【答案】103454【2013浙江六校】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 . 侧视图2主视图22俯视图_开始S=0,i=0结束是否S=S+i输出Si=i+2i100? 【答案】 ；55【绵阳南山中学3月月考】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米， 水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米【答案】57【2013银川二中6次月考】双曲线的两个焦点为, 为双曲线上一点, , 成等比数列,则【答案】

13、158【2013北海一模】的展开式中的系数是 .【答案】59.【2013石家庄质检】16、当时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如则S（5）。【答案】 三、解答题60.【2013江南十校联考】(本小题满分12分）己知现将f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数g(x)的图象(I)求+的值；(II)若a、b、C分别是ABC三个内角A、B、C的对边，a + c = 4，且当x = B时， g(x)取得最大值，求b的取值范围.【解】：（） 2分 5分（） 当即时，取得最大值.时取得最大值，又， 7分而 10分, 又 的取值范围是 12分61【2013南昌一模】（本小题满分12分）

14、设角A，B，C为ABC的三个内角，已知 （1）求角A的大小； （2）若BC边上的高AD长的最大值。【解】（1），因为，所以6分（2）由知， 8分所以，而10分，当且仅当时，上式取等号11分所以边上的高的最大值为.12分62.【四川省凉山州二诊】（12分）锐角ABC中，a，b，c为其内角A、B、C所对边长，向量，若= 12。（1）求角A;（2）若a=7，求b，c（其中b0），g（x）=x3+bx。 （1）若曲线y=f（x）与曲线y= g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值； （2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其中在区间（-，-1）上的最大值。78【

15、2013南昌一模】（本小题满分12分）设正项数列都是等差数列，且公差相等，（1）求的通项公式；（2）若的前三项，记数列数列的前n项和为【解】设的公差为，则,即，由是等差数列得到：2分，则且，所以，4分，所以：5分，6分（2）由，得到：等比数列的公比，所以：， 8分所以10分12分79【2013湖北八校二次联考】（本小题满分12分）如图直三棱柱的侧棱长为，且，点分别是棱上的动点，且.()求证：无论在何处，总有 ；()当三棱锥的体积取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值.（79题图）【解】 () 是正方形， 2分又， 4分，又 6分 ()设三棱椎的体积为.当时取等号 8分故当即点分别是棱上的中点

16、时，体积最大，则为所求；， 12分80、【2013焦作一模】（本小题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段90,100），100,110），,140,150）后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在120,130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为110,130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段120,130）内的概率。【解】81.【

17、2013郑州二模】(本小题满分12分）已知椭圆C: 的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切.(I)求曲线D的方程；(II)设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的APM?点M在椭圆C上;点O为APM的重心.若存在，求出点P的坐标；若不存在,说明理由.（若三角形 ABC的三点坐标为A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3，y3)，则其重心G的坐标为，)【解】（）设，由题知，所以以为直径的圆的圆心， 则， 整理得为所求 4分（）不存在，理由如下： 5分若这样的三角形存在，由题可设，由条件知，由条件得，又因为点，所以即，故，9分解之得或（舍），当时，解

18、得不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在 12分82【2013揭阳一模】（本小题满分14分）如图（3），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，,现将梯形沿CB、DA折起，使EF/AB且，得一简单组合体如图（4）示，已知分别为的中点（1）求证：平面； （2）求证：平面；（3）若,求四棱锥F-ABCD的体积. 图（3） 图（4）【解】证明：连结，四边形是矩形，为中点，为中点，-1分在中，为中点，故-3分平面，平面，平面；-4分（2）依题意知 且平面平面，-5分为中点，结合，知四边形是平行四边形，-7分而， ，即-8分又 平面，-9分（3）解法一：过F点作交AB于Q点，由（2）知PAE为

19、等腰直角三角形，从而,-10分，-11分又由（2）可知平面ABCD，-12分,-14分【解法2：三棱锥F-CBD与F-ABD等底等高，,-10分,-11分由（2）知PAE为等腰直角三角形，,从而-12分故-14分】83【2013东北三校3月联考】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA2底面ABC，ACB = 90，E是棱CC1的中点，F是AB中点，AC BC =1，AA1 = 1。（1）求证：CF平面AEB1；（2）求三棱蕉CAB1E在底面AB1E上的高。【解】（）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG，F、G分别是AB、AB1中点，为侧棱的中点，FGEC，FGEC，所以

20、四边形FGEC是平行四边形 4分G，CF平面AB1E，平面AB1E 平面AB1E. 6分 （）三棱柱ABCA1B1C1的侧棱，面ABC.又AC平面ABC， ， ACB90, ，平面EB1C, 8分 10分三棱锥的高为 12分84（本小题满分1 2分） 如图，四边形ABCD中，,ADBC，AD =6，BC =4，AB =2，点E、F分别在BC、AD上，EFAB现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD平面EFDC，设AD中点为P ( I )当E为BC中点时，求证：CP/平面ABEF()设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值。【解】85【2013南京二模】（

21、本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由【解】86、【2013湖南湘西自治州二次联考】（本小题满分13分）已知椭圆,的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底作等腰三角形，顶点为 （1）求椭圆的方程； （2）求的面积。【解】87【2013青岛一模】（本小题满分12分）已知,数列满足,数列满足；数列为公比大于的等比数列，且为方程的两个不相等的实根.（）求数列和数列的通项公式

22、；（）将数列中的第项，第项，第项，第项，删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.【解】（） ， 3分因为为方程的两个不相等的实数根. 所以，4分解得：，,所以：6分（）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，公比均是 9分 88【2013江苏苏锡常镇四市3月调研】(本小题满分16分)某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为，半径为（米）的球形灯泡该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，所在圆的圆心都是、半径都是（米）、圆弧的圆心角都是（弧度）；灯杆垂直于地面，杆顶到地面的距离为（米），且；灯脚，是

23、正四棱锥的四条侧棱，正方形的外接圆半径为（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为（弧度）已知灯杆、灯脚的造价都是每米(元)，灯托造价是每米(元)，其中，都为常数设该灯架的总造价为(元) （1）求关于的函数关系式；（2）当取何值时，取得最小值？【解】89. 【北京东城区3月联考】（本小题共14分）已知函数，当时，的值中所有整数值的个数记为.（）求的值，并求的表达式；（）设，求数列的前项和；（）设，若对任意的，都有成立，求的最小值.【解】（）当时，在上递增，所以，.-2分因为在上单调递增，所以，从而.-4分（）因为，-5分所以.-6分当是偶数时，-7分；-8分当是奇数时，.-10分（），-11分，

24、错位相减得，-12分所以，.-13分因为,若对任意的，都有成立，则，所以，的最小值为.-14分90.【2013郑州二模】已知函数f(x)=|xa|(I)若不等式f(x)3的解集为x|-1x5，求实数a的值；(II)在（I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.【解】（）由得，解得又已知不等式的解集为，所以，解得.4分（）当时，设，于是6分所以当时，；当时，；当时，综上可得，的最小值为59分从而若，即对一切实数恒成立，则的取值范围为（-，510分91. 【2013吉林市二模】（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知关于的不等式（）当时，求此不等式的解

25、集；（）若此不等式的解集为，求实数的取值范围【解】（）解：当时， 不等式为.由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点到1，2的距离之和大于于2.或 不等式的解集为. 5分注 也可用零点分段法求解（）解：，原不等式的解集为R等价于， 或，又，. 92（本小题满分14分）已知函数.()若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值.()若，求的最小值；()在()上求证：.【解】（）的定义域为，根据题意有，所以解得或. 4分（）当时，因为，由得，解得，由得，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增； 6分（）由（2）知，当a0, 的最小值为令 当 。 14分93【2013南京二模】（本小题满分

26、16分）在平面直角坐标系中，椭圆C：过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知点在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线的方程为求证：直线与椭圆C有唯一的公共点；若点F关于直线的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标【解】94.【北京东城区3月联考】（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离等于3()求椭圆的方程；()是否存在经过点，斜率为的直线，使得直线与椭圆交于两个不同的点，并且？若存在，求出直线的方程；若不存在,请说明理由【解】（）设椭圆的方程为，其右焦点的坐标为.由已知得.由得，所以.-4分所以，椭圆的方程为.-5

27、分（）假设存在满足条件的直线，设，的中点为.-6分由得，-8分则，且由得.-10分由得，所以，-11分即，所以，将代入解得，所以.-13分故存在满足条件的直线，其方程为.-14分【注】其它解法酌情给分.95. 【2013汕头一模】(本小题满分14分）数列an的前Sn项和为存在常数A,B,C,使得an+Sn=A2 +Bn + C对任意正整数 n都成立.(1)若，C = 1，设bn=an+n,求证：数列bn是等比数列；(2)在（1)的条件下，cn=(2n+1)bn，数列cn的前n项和为Tn；,证明：Tn 5;(3)若C= 0, an是首项为1的等差数列，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围.（注：）【解】96【2013洛阳3月二练】（本题满分 12 分）已知函数（1）判断函数是否存在斜率为3的切线，若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由；（2）设函数在点处的切线方程为，求使恒成立的点P的坐标。【解】97.【2013南平质检】（本小题满分14分）如图，设椭圆C:（）的离心率，顶点M、N的距