3.1.2复数的基础知识

1、复数的基础知识,一、 复数的产生,新课引入,数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。,我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当b24ac0时，没有实数根。如果要解决这一问题，其最根本的就是要解决1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于1。,2,贺君敬,（1）i21；,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.,新课教学,二、 复数的定义,（2）实数可以与

2、 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率仍然成立。,这样就解决了前面所提出的问题，即1可以开平方，且1的平方根为i.,现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：,全体复数所成的集合叫做复数集.,复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，,当b=0时，a+bi就是实数，,当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数。,3,贺君敬,新课教学,由前面的定义我们便可知道：实数集就是复数集的一个子集。 其关系如下：,规定： 0i=0 0+bi=bi,实数集R是复数集C的真子集，即R C

3、,4,贺君敬,三、复数相等的定义,根据两个复数相等的定义，设a, b, c, dR，两个复数a+bi和 c+di 相等规定为a+bi =c+di . 由这个定义得到 a+bi=0 . 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。,如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.,新课教学,例.已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y.,解得 x= , y=4.,解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部，虚部等于虚部，得方程组，,5,贺君敬,例.实数m取什么数值时，复数z=m +1+(m1)i是： （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？,解：复

4、数z=m+1+(m1)i 中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，, （1）m=1时，z是实数；,（3）当 时，即m=1时，z是纯虚数；,例题讲解,对上题中的虚数Z，若实部是虚部的两倍，求实数m的值。,练习.当m为何实数时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）0,（2）m1时，z是虚数；,6,贺君敬,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,我们都知道实数可以用

5、数轴上的点来表示。实数与数轴上的点形成了一一对应的关系。那么我们如何来找到表示复数的几何模型？,7,贺君敬,实数绝对值的几何意义:,能否把绝对值概念推广到复数范围呢？,a,| a | = | OA |,实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。,z=a+bi,|z| = |OZ|,复数的绝对值(复数的模)的几何意义:,复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。,Z (a,b),复数的模,8,贺君敬,例 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i,(3)上述题中这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,思考：,(2)满足|z|=5(z

6、R)的z值有几个？,(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0),(1)复数的模能否比较大小？,例题讲解,设z=x+yi(x,yR),9,贺君敬,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。,1下列命题中的假命题是（ ）,D,例题讲解,2“a=0”是“复数a+bi(a,bR)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件,C,3.已知复数z=(m2+m-6)

7、+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,10,贺君敬,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,例题讲解,3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,不等式解集为空集,所以复数所对应的点不可能位于第四象限.,11,贺君敬,1、为了解决负数开方问题，引入新数 i,叫虚数单位。,规定： i2= -1,定义了复数的加法和乘法运算后的复数集,复数全体所组成的集合叫复数集，一般用字母C表示,复数Z表示成a+bi,叫做复数的代数形式,a叫复数Z的实部,b叫复数Z的虚部,复数集