第一章矩阵.PPT

1、线性代数及其应用,刘剑平,教材:线性代数及其应用 主编 刘剑平 华东理工大学出版社,参考教材: 线性代数精析与精练主编 刘剑平 华东理工大学出版社,代数由费马和笛卡尔的工作产生于17世纪,关孝和或莱布尼兹引入行列式,雅可比和范德蒙发展,詹姆斯或凯莱引入矩阵,克莱姆,高斯,若当引入方程组,我国九章算术中有一章方程,历史背景,1859 (清朝)李善兰翻译成“代数学”,线性代数课程在高等工业 学校的教学计划中是一门重要 的基础理论课，也是考研究生 的必考课程，尤其在计算机高 速发展的今天，更显示出其重 要性和应用性。,矩 阵,线性方程组,行列式,向量组,一一对应,一 一 对 应,特征问题与二次型,线

2、性方程组求解为核心,矩阵运算为主线,核心,第一节 矩阵,第一章 矩阵,1. 线性方程组,的解取决于,系数,常数项,一、矩阵概念的引入,对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,线性变换,这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换.,二、矩阵的定义,由 个数 排成的 行 列的元数表,称为 维矩阵.简称 矩阵.,记作,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行元素的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,

3、方阵.也可记作,主对角线,副(反)对角线,只有一列元素的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,全为零的方阵称为上三角矩阵。,称为对角矩阵 (或对角阵）.,（4）,形如 的方阵,全为零的方阵称为下三角矩阵。,记作,(5) 数(纯)量矩阵（标量矩阵）,称为单位矩阵（或单位阵）.有时也记作E.,为数量矩阵或标量阵。,当 时，记作,（6）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .,注意,不同阶数的零矩阵是不“相等”的.,例如,例如,为同维矩阵.,同维矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同维矩阵.,例1 设,解,三、小结,(1)矩阵的概念,(2) 特殊矩阵,方阵,上（下）三角

4、阵,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,行矩阵与列矩阵;,思考题,思考题解答,矩阵 是对角阵。 答:错.,矩阵棣属关系: 单位阵,数量阵,对角阵,三角阵,方阵,矩阵。,答:对.,第二节 矩阵的运算,第一章 矩阵,、定义,一、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,说明 只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进 行加法运算.,例如,2、 矩阵加法的运算规律,1、定义,二、数与矩阵相乘,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,注：,三、矩阵与矩阵相乘,、定义,并把此乘积记作,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵

5、与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中,例2,设,例3,故,解,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在. 而,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,注意矩阵一般不满足交换律，即：,例4 设,则,但也有例外，比如设,则有,注意矩阵乘法一般不满足消去律，亦即：,例5 计算下列乘积：,解,解,=(,）,解,例6,由此归纳出,用数学归纳法证明,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,所以对于任意的 都有,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例,、转置矩阵,四、矩阵的转置

6、运算,转置矩阵的运算性质,例7 已知,解法1,解法2,2、对称阵与反对称阵对称阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。,说明,例8 设列矩阵 满足,证明,例9 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和.,证明,为对称矩阵.,为反对称矩阵.,命题得证.,五、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与反对称阵,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律,消去律.,（1）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能 进行加减，法运算.,注意,（3）矩阵的数乘运

7、算是该数乘以矩阵中每一个元素.,思考题,成立的充要条件是什么?,思考题解答,故 成立的充要条件为 矩阵A、B可交换。即,答,思考题,思考题解答,答,例.已知， 求,第三节 逆矩阵,第一章 矩阵,则矩阵 称为 的逆矩阵或逆阵.,一、概念的引入,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵 ，,如果存在一个矩阵 ,使得,二、逆矩阵的概念和性质,例 设,说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,例如 设,解,则,逆矩阵的运算性质,证明

8、,证明,例1,三、逆矩阵的求法,例2 设,解,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,解,例3,四、小结,1、逆矩阵的概念及运算性质.,2、逆矩阵的计算方法：,思考题,思考题解答,答,思考题,思考题解答,第四节 分块矩阵,第一章 矩阵,一、矩阵的分块,对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,例,即,即,二、分块矩阵的运算规则,例1 设,解,则,又,于是,例2 设,解,例3 设,例4 (性质) 设,三

9、、小结,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.,(1) 加法,(2) 数乘,(3) 乘法,分块矩阵之间的运算,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,(4) 转置,(5) 分块对角阵的逆阵,思考题,思考题解答,证,第五节 初等变换和初等矩阵,第一章 矩阵,引例,一、初等变换的引入-方程组 的同解变换,求解线性方程组,我们来分析用消元法解下列方程组的过程,小结：,1上述解方程组的方法称为Gauss消元法,2,（1）交换两个方程的次序；,（3）一个方程加上另一个方程的常数k倍,（2）以不等于的常数 乘上某个方程；,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所

10、以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (方程组（I）的增广矩阵）的变换,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,二、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),逆变换,逆变换,逆变换,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价关系,例如，两个线性方程组同解，,就称这两个线性方程组等价,定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,三、初等矩阵的概念,定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,四、初等矩阵的应用,特点：,例如，,标准形,定理