线性代数5.1课件

1、第5章 矩阵的对角化,1,学习交流PPT,5.1.1 特征值与特征向量的概念及计算,5.1.2 特征值与特征向量的性质,5.1 特征值与特征向量,2,学习交流PPT,注,1) 特征值与特征向量的概念,5.1.1 特征值与特征向量的概念及计算,(1) 特征向量x 0,特征值问题是对方阵而言的.,(2) 若x是矩阵A的属于特征值l的特征向量, k 0,则非零向量kx也是矩阵A的属于特征值l的特征向量.,成立,则称l为矩阵A的一个特征值.,定义5.1 设A是n阶方阵,如果存在复数l 和n维列向量,使得等式,=,非零向量x称为矩,阵A的属于特征值l的特征向量,简称为特征向量,3,学习交流PPT,例5.

2、1 若,因此,是矩阵A的特征值，,是A的属于,的特征向量,属于 的特征向量,是A的,4,学习交流PPT,的属于特征值 的特征向量.,l,是A的属于特征值l的线性无关特征向量，,例5.2,证明：对任意不全为零的,都是矩阵,证明 由已知,而,所以,是属于l 的特征向量.,5,学习交流PPT,2) 特征方程与特征多项式,为A的特征根,(特征值).,在复数域内, A有n 个特征值(可能有重复).,为,l为矩阵A的特征值,x为A的属于特征值l的特征向量.,是l 的n 次多项式,通常称为矩阵A的特征多项式,记作,或,称为A的特征方程,它的根称,的非零解.,6,学习交流PPT,3) 特征值与特征向量的求法,

3、步骤：,(1),(2),对每一特征值,求出 的一个基,l为矩阵A的特征值,x为A的属于特征值l的特征向量.,特征值l0的特征向量为,为任意一组不全为零的数).,求解 ,得A的全部特征值;,础解系,其中,计算矩阵A的特征多项式,(3),为,的非零解.,则A的属于,7,学习交流PPT,0,0,A的特征多项式为,所以A的特征值为,注 对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素.,分析,8,学习交流PPT,解 方阵A的特征多项式为,所以, 方阵A有两个特征值,解齐次线性方程组,例5.3 求出二阶方阵,的特征向量,的全部特征值和相应,当,时,得基础解系,所以属于 的全部特征向量,行,9,学习交流PPT,解齐次

4、线性方程组,当,时,得基础解系,是,所以属于,的全部特征向量,是,行,10,学习交流PPT,例5.4 求出三阶方阵,相应的特征向量,的全部特征值和,解,所以A的特征值为,A的特征多项式为,11,学习交流PPT,当 时,得基础解系,解齐次线性方程组,所以属于,的全部特征向量,是,行,12,学习交流PPT,得基础解系,说明,不同时为零.,二重根2对应着两个线性无关的特征向量.,的全部特征向量是,当 时,解齐次线性方程组,所以属于,行,13,学习交流PPT,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为,例5.5 求出三阶方阵,应的特征向量,的全部特征值和相,14,学习交流PPT,得基础解系,当 时,解方程

5、组,的全部特征向量,所以属于,是,行,15,学习交流PPT,说明,二重根1对应着一个线性无关的特征向量.,当 时,得基础解系,向量是,解方程组,的全部特征,所以属于,行,16,学习交流PPT,例5.6 求出三阶方阵,相应的特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为,的全部特征值和,17,学习交流PPT,得基础解系,当 时,解方程组,的全部特征向量,所以属于,是,行,18,学习交流PPT,得基础解系,当 时,解方程组,的全部特征向量,所以属于,是,得基础解系,当 时,解方程组,的全部特征向量,所以属于,是,19,学习交流PPT,证明,例5.7,是的特征值，,是的属于的特征向量,是 的特征值

6、，,是 的属于 的特征向量.,则:,所以,20,学习交流PPT,例,必有一个特征值为( ),则,必有一个特征值为( ),的特征值，,是,例5.7,是的特征值，,是的属于的特征向量,是 的特征值，,是 的属于 的特征向量.,则:,21,学习交流PPT,5.1.2 特征值与特征向量的性质,定理5.1 方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.,证明,是属于这两个特征值的特征向量,则有,设,由于,所以,从而,所以 线性无关.,-,分别,22,学习交流PPT,证明,设方阵A的互不相同的特征值,的特征向量为,则,即,设有常数,得,定理5.2 方阵A的m个不同特征值,特征向量 线性无关.,所对应的,所对应

7、,使,23,学习交流PPT,系数行列式,因 时,24,学习交流PPT,线性无关.,所以特征向量,25,学习交流PPT,定理5.3,称为,的迹,记,这里,证明 (1),若n阶方阵,的全部特征值是,那么:,比较等式两边多项式中,项的系数,可知,26,学习交流PPT,证明 (2),又,所以,定理5.3,称为,的迹,记,这里,若n阶方阵,的全部特征值是,那么:,27,学习交流PPT,定义5.2,对于n阶方阵A， 是A的特征值,则,的代数重数：,的几何重数:,的基础解系所含,个数,的特征向量,作为特征多项式 的根的重数.,向量,例5.8 方阵,的特征多项式为,A有一个三重特征值,解方程组,得到基础解系,

8、特征值2的代数重数是3,几何重数是1.,28,学习交流PPT,特征值1的代数重数是1,几何重数是1.,特征值2的代数重数是2,几何重数是2.,任一特征值的代数重数不小于它的几何重数.,例5.4中,的特征值为,当 时, 解,得基础解系:,得基础解系为,当 时, 解,29,学习交流PPT,定理5.4 任一特征值的代数重数不小于它的几何重数,证明 设n阶方阵A的特征值 的几何重数是,那么，,有m个线性无关的特征向量,不妨记为,再另选,构成n阶可逆方阵,个向量,则有,其中B是 矩阵，,阶方阵. 由于P是可,C是,逆矩阵, 所以满足上式的B, C总是存在的,30,学习交流PPT,的根, 所以,仍有可能是多项式,的代数重数,由于,31,学习交流PPT,(特征子空间)如果 是方阵A的特征值,则,即,特征子空间 的维数就是特征值 的几何重数,例5.9,特征值2的几何重数是1，,特征子空间为,例5.8中,方阵,的三重特征值