高中数学 二次函数的图像与性质 北师大版必修1知识精讲（通用）

1、高一数学二次函数的图像与性质北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数的图像与性质二次函数及图像 二次函数的性质 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系二. 学习目标1、进一步研究二次函数及其图像；2、理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，领会研究二次函数图像移动的方法，并能迁移到其他函数；3、能够熟练地对一般二次函数解析式配方，研究二次函数图像的上下左右移动，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值等性质及其图像的开口方向和顶点坐标；4、了解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，善于利用三个“二次”的关系进行相关问题的处理；5、培养抓住一个典型例子及化归

2、的意识，学到讨论参数的能力；三. 知识要点1、二次函数：形如yax2bxc（a0）的函数称为二次函数，其定义域是R。2、二次函数的解析式：一般式：yax2bxc（a0）；顶点式：；零点式（两根式）：ya（xx1）（xx2）（a0），其中，x1、x2是函数yax2bxc（a0）的零点（或是方程ax2bxc0的两个根）。3、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线.4、二次函数的图像的性质：开口方向：当a0时，开口向上；当a0，单调增区间为（，），单调减区间为（，）；若a0（或0）的解集的端点。【典型例题】考点一 求二次函数的解析式例1. 已知二次函数f（x）满足f（2）1，f（1）1，且f（x

3、）的最大值是8，试求f（x）。解答：法一：利用二次函数的一般式方程设f（x）ax2bxc（a0），由题意故得f（x）4x24x7。法二：利用二次函数的顶点式方程设f（x）a（xm）2n由f（2）f（1）可知其对称轴方程为，故m；又由f（x）的最大值是8可知，a25解答：函数f（x）4x2mx5在区间2，）上是增函数，则区间2，）必在对称轴的右侧，从而，故f（1）9m25。选A。说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。考点四 二次函数的性质的应用例4. 设的定义域是n，n1（n是自然数），试判断的值域中共有多少个整数？分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。解答：的对称轴为，因为n是自

4、然数，故，所以函数在n，n1上是增函数。故故知：值域中共有2n2个整数。说明：本题利用了函数的单调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。考点五 二次函数的最值例5. 试求函数在区间1，3上的最值。分析：本题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论：3。解答：函数的对称轴I、当3即时：函数在1，3上为减函数，故综上所述：当时，；当时，；当时，；当时，。考点六 方程的根或函数零点的分布问题例6. 已知二次方程 的一个根比1大，另一个根比1小，试求的取值范围。解答：设，则；例7. 当为何实数时，关于的方程（I）有两个正实根；（II）有一个正实根，一个负实根。解答：（I）设，由方程

5、有两个正实根，结合图像可知：（II）设，结合图像可知：说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合函数图像，考虑三个内容：根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置。考点七 三个“二次”的关系例8. 已知关于的一元二次不等式的解集为，试解关于的一元二次不等式。解答：法一：由题意可知，一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根是1和2，故；又即关于的一元二次不等式的解集为。法二：，即关于的一元二次不等式的解集为。考点八 二次函数的应用例9. （2020北京春招）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，

6、未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元。未租出的车每辆每月需维护费50元。（I）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（II）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解答：（I）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，故租出了88辆；（II）设每辆车月租金定为元，则租赁公司的月收益为故当月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元。四. 本讲涉及的主要数学思想方法1、函数与方程的思想：研究二次函数零点、最值等问题可以借助方程的思想，研究方程根的分布、二次函数的应用等问题可以借助函数的思想，二者相互渗透；2、

7、数形结合的思想：利用数形结合可以很方便地处理方程根的分布、函数的单调性、值域和最值及某些求参数范围的问题。3、分类讨论的思想：对含有参数的二次函数的值域或最值的求解、单调性的研究等往往要进行分类讨论。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、（2020年安徽卷）是方程至少有一个负数根的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2、二次函数满足且有两个实根，则这两个实根的和为（ ）A. 0B. 3 C. 6 D. 不能确定3、如果函数对任意实数t都有，那么（ ）4、（2020济宁调研）已知函数的图像经过点（1，3）和（1，1），若0c2或2B. 22C. 2D. 136、设函数，若，则（ ）7、（2020年江西卷）已知函数，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题8、（2020年湖北卷）已知函数，其中，为常数，则方程的解集为 . 9、二次函数的值恒为负的条件是 . 三. 解答题10、已知函数对任意都有成立.（I）求实数的范围；（II）利用单调性的定义判断函数在区间1，上的单调性.11、函数的图像与的图像关于原点对称，试求。12、已知，当时恒成立，求的范围。13、求二次函数在区间0，1上的最小