第6章IIR数字滤波器的设计.ppt

1、第六章 IIR数字滤波器的设计,中北大学信息与通信工程学院 信号课程建设组 主讲：李沅,第六章 IIR数字滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟低通滤波器的设计 6.3 模拟滤波器的数字化方法 6.4 IIR数字滤波器设计的综合实例 6.5 其它类型的IIR数字滤波器设计 6.6 全通滤波器与最小相位系统,6.1 数字滤波器的基本概念,一、数字滤波器定义 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性移不变系统。将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。,二、滤波器的分类,经典滤波器 假定输入信号x(n)中的有用成份和希望去除的成分各自占有不同的频带，这样，当x(n)通过一个线

2、性系统（即滤波器）后可将与欲去除的成份有效地去除。,其特点为： （1）频率变量以数字频率 表示，=T ， 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 为周期； （3）频率特性只限于 范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的 一半。,可分为低通、高通、带通、带阻和全通,低通,高通,带通,带阻,三、数字滤波器的性能要求（低通为例）,通带容限： 阻带容限： 通带截止频率： 阻带截止频率： 通带最大衰减： 阻带最小衰减：,四、数字滤波器频响的三个参量 1、幅度平方响应 2、相位响应 3、群延迟,五、数字滤波器设计内容 1、按任务要求确定滤波器的性能指标； 2、用IIR或FIR

3、系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。,六、IIR数字滤波器的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通滤波器的 ； 巴特沃思模拟滤波器和切比雪夫模拟滤波器 （3）将 冲激响应不变法和双线性变换法 注：如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术 指标。,6.2 模拟低通滤波器的设计,为了从模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器，也就是要把数字滤波器的指标转变成模拟原型滤波器的指标，因此我们就要设计这模拟原型滤波器。,常用的模拟低通原型滤波器有巴特

4、沃思(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式，现成的设计图表供设计人员使用。高通、带通、带阻等滤波器则可以利用变量变换方法，由低通滤波器变换得到。设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。,一、由幅度平方函数确定系统函数 1、幅度平方函数,由于 所以,模拟滤波器的系统函数： 模拟滤波器的频率响应： 模拟滤波器的幅频特性：,2、 的零极点分布特点,（1）,（2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为 是实数时的 的零极点以共轭对存在；

5、（3）由于滤波器是稳定的，所以 的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为 的零点。,3、由 确定 的方法 (1) 由 可确定出 ， (2)根据零极点可确定出 ，稳定可实现的滤波器的极点一定在S平面的左边，零点根据与 对称关系取其中一个。 （3)按频率特性确定增益常数。,二、巴特沃斯低通滤波器 1、幅度平方函数,其中，N为滤波器的阶数； 为截止频率(3dB)。 当 时，则,即,2、巴特沃斯滤波器的系统函数,由于 所以其零点全部在 处；即所谓全极点型，它的极点为,也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布 在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有2N点。,

6、N=4 N=5,取 左半平面的极点为 的极点， 这样极点仅有N个，即 其中，常数 由 的低频特性决定。,则,例：导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，,幅度平方函数:,所以,由 三个极点构成系统函数 代入 可得，,3、归一化的系统函数 如果将系统函数的 , 用滤波器的截止频率 去除，这样对应的截止频率变为1rad/s，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作,在系统函数形式不变的情况下，如果需要将截止频率为 的滤波器 ，转变成截止频率为 的滤波器,4、滤波器的阶数和截止频率的确定,已知巴特沃思模拟滤波器的指标,N的推导,N的推导,返回,三、切比雪夫模拟低通滤波器,1、切比雪夫模拟低

7、通滤波器的提出 巴特沃思滤波器的幅度特性无论在通带与阻带都随频率变化而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在阻带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，因而并不经济，所以更有效的办法是将指标的精度均匀地分布在通带内，或均匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。,切比雪夫滤波器的幅度特性就在一个频带中（通带或阻带）具有这种等波纹特性。 （1）切比雪夫型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的； （2）切比雪夫型：在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的。,2、切比雪夫型低通滤波器,幅度平方函数

8、 幅度频响函数,切比雪夫滤波器的三个参数： （1） 是通带宽度；（给定） （2） 是与通带波纹 有关的一个参数。 （3）N 等于通带内最大值和最小值的总数。,在阻带内,当 即为3dB截止频率,四、归一化原型滤波器的设计 不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的滤波器，都有自己的归一化原型滤波器（ ），而且它们都有现成的数据表可查和设计公式（见书187的表6.2.1和表6.2.2） 例如，归一化低通滤波器的系统函数为 当 ,增益为1，则有 。 * 由归一化系统函数 得 ，只需将s代 入 即可。,滤波器的设计举例,一低通模拟滤波器的指标：在 的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在 的阻带范围，衰减大于

9、15dB；试用巴特沃思设计满足要求的模拟滤波器。,1、技术指标 2、计算所需的阶数及3dB截止频率 将技术指标，代入上式，可得,解上述两式得：,得N=6，则,将s用 代入，可得,3、 的求得 查表（P261）可得N=6时的归一化原型模拟巴特沃斯低通滤波器的系统函数为,6.3 模拟滤波器的数字化方法,转换关系的两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。因此转换关系应是S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内部。 (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，也就是S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。 数字化方法： 冲激响应不变法 双线性变换法,一、冲激响应不

10、变法,1、变换原理 思想： 如果 则有 上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过 的映射关系映射到Z平面。,2、混叠失真 数字滤波器的频响并不是简单的重复模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓，即 只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率内重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠现象失真，即,但是，任何一个实际模拟滤波器的频响却不是严格带限的，就会产生混叠失真,3、模拟滤波器的数字化 （1）一般方法 先 再对 抽样，使 最后 这个过程比较复杂,（2）方法的简化 设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次， 可展成如下的部分公式

11、,因为,对比式：,对应关系式：,所以,（3）特点 频率的线性关系好=T； 时域模仿特性好； 会产生混叠失真； 频率响应与采样间隔T成反比,（4）修正的H(z) 由于数字滤波器的频响与T成反比，当T很小时，数字滤波器的增益过高，为此做如下修正：,二、双线性变换法,针对冲激响应不变法的混叠失真现象，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 之间，再用 转换到Z平面上,1、变换原理,设 经过非线性频率压缩后用 表示，这里用正切变换实现频率压缩：,2/T由待定系数得出,待定系数的考虑,考虑当很小时， 即 此时滤波器的低频特性得到很好的近似 考虑滤波器的截止频率 可以较准确的控制模拟截止频

12、率的位置,C待定系数,S平面的压缩,实现频率压缩： 实现S平面压缩： 转换到Z平面：,2、 S平面与Z平面的映射关系,得：,则：,由,（1）当 时， ；这就是说，S平面的 轴映射Z平面的单位圆上。 （2）当 时，则有 ；这表明S左半平面映射到Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。 （3）当 时，则有 ；这表明S右半平面映射到Z平面的单位圆外。,得：,满足S平面的虚轴与Z平面的单位圆对应,由,3、模拟滤波器的数字化,系统函数 频率响应,与的关系,4、双线性变换的特点,模拟滤波器Ha(s)中最大和最小值将保留在数字滤波器中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器的通带或阻带。 如果模拟滤波器是稳定

13、的，则通过双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 由于S平面的整个j轴映射为Z平面上的单位圆，因此双线性变换法确实消除了冲激响应不变法所存在的混叠误差，所以逼近是良好的。 在和间存在着严重的非线性。,5、表格设计,模拟系统函数： 关系式： 数字系统函数 查书198页表6.3.1可得对应的系数,6.4 IIR数字滤波器设计的综合实例,IIR数字滤波器的设计步骤： （1） 确定DF技术指标：p、s、ap和as。 （2）转换成AF的技术指标(边界频率的变换) 采用冲激响应不变法： 采用双线性变换法： （3）根据转换后的指标设计AF （4）将AF的 DF的 。,例1（书例6.3.1）：模拟滤波器

14、的系统函数为 ，试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器，T=1 解：,模拟滤波器的频响于数字滤波器的频响,产生失真,解：对应模拟低通滤波器德3dB截止频率 模拟系统函数： 数字系统函数：,例6.3.2：设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截止频率为c=0.25 ，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。,例6.3.3：以 为模型，分别用冲激不变法和双线性变换法设计数字低通滤波器，要求： （1）截止频率为100HZ； （2）系统采样频率为1KHz。,如果给定的模型不是归一化函数，那么要先求原模型的截止频率，如 则,求解,解：（1）冲激不变法,所以,（2）双线性变换法,返回,例6.3.4：某一低通滤

15、波器的各种指标和参量要求如下： （1）巴特沃思频率响应，分别采用双线性变换法和冲激不变法设计； （2）当0f2.5Hz时，衰减小于3dB； （3）当f50Hz时，衰减大于或等于40dB； （4）采样频率为200Hz。,如果以上的指标改为： （1）通带截止频率p=0.025时，通带最大衰减为3dB； （2）阻带截止频率st=0. 5 ，阻带最小衰减为40dB； （3）方法不变,求解,解：双线性变换法,（2）数字截止角频率转变为模拟截止角频率,（1）得到滤波器的数字截止角频率,（3）根据指标列出关系式,代入数据得,或,（4）根据指标关系式求解得N和,（5）查表得归一化二阶模拟滤波器系统函数,（6）

16、代入截止频率得到设计的系统函数,（7）双线性变换法转换为数子滤波器,解：冲激不变法：,（1）模拟截止角频率,（2）代入指标得,或,，,（3）根据指标关系式求解得N和,（4）查表得归一化三阶模拟滤波器系统函数,（6）冲激不变法转换为数子滤波器,（5）代入截止频率得到设计的系统函数,返回,6.5 其它类型IIR数字滤波器设计,数字频带变换法映射关系见书212页表6.4.2,模拟频带变换法映射关系见书208页表6.4.1,表6.4.1 利用双线性变换从LAF变换DF (P208),表6.4.2数字频率变换设计公式表 (P212),Matlab软件设计滤波器 1、滤波器的设计（ap表示模拟） butt

17、ap、butter巴特沃思滤波器 Cheb1ap、cheby1切比雪夫型 Cheb2ap、cheby2切比雪夫型 2、阶数的获得（适用于模拟和数字） Buttord 巴特沃思滤波器 Cheb1ord 切比雪夫型 Cheb2ord 切比雪夫型,3、模拟到数字的变化 Impinvar 冲击不变法 Bilinear 双线性变换法 4、模拟低通到各型滤波器的变换 Lp2lp 低通到低通 Lp2bp 低通到带通 Lp2bs 低通到带阻 Lp2hp 低通到高通,5、零极点增益模型与传递函数模型的转化（模拟） Zp2tf 零极点增益模型到传递函数模型 Tf2zp 传递函数模型到零极点增益模型 6、频响特性

18、Freqz 数字滤波器的频响特性 Freqs 模拟滤波器的频响特性,6.6 全通滤波器与最小相位系统,一、全通滤波器 如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或 1， 即 则该滤波器称为全通滤波器。 全通滤波器的频率响应函数可表示成,全通滤波器的系统函数一般形式如下式：,或者写成二阶滤波器级联形式：,证明上面表示的滤波器具有全通幅频特性。 式中， 由于系数 是实数， 所以,如果 为全通滤波器的零点， 则 必然是全通滤波器的极点，同样 也为极点。因此，全通滤波器的零极点成共轭倒易（反演）出现，其系统函数也可以写成：,全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡。 如果设计一个线性相位的滤波器，可以设计及一个具有线性相位的FIR滤波器；也可以先设计一个满足幅频特性的IIR滤波器，再级联一个全通网络进行相位校正，使总的相位特性是线性的,二、最小相位（延时）系统 所有零点都