第九节　函数与方程.pptx

1、,1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.,2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.,1.函数的零点,(1)函数零点的定义,对于函数y=f(x)(xD),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.,(2)几个等价关系,方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.,函数的零点是函数y=f(x)的图象与x轴的交点吗?,提示:不是.函数的零点是一个实数,是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.,思考感悟,提示,(3)函数零点的判定(零点存在性定理),如果函数y=f(x)

2、在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.,若函数f(x)在a,b内有零点,一定有f(a)f(b)0吗?反之若f(a)f(b)0, 则在(a,b)内有唯一零点吗?,提示:不一定.如函数f(x)=x2-1在-2,2内有两个零点,但f(2)f(-2)0.所以f(a)f(b)0是f(x)在a,b上有零点的充分不必要条件,反之时,f(x)在a,b内一定有零点,但不能确定个数.,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,思考感悟,提示,3.用二分法

3、求函数f(x)零点近似值的步骤,第一步,确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度.,第二步,求区间(a,b)的中点x1.,第三步,计算f(x1):,(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;,(2)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1);,(3)若f(a)f(x1)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b).,第四步,判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.,考点一,函数零点的求解和判断,1.方程x2+ax-2=0在区间1,5上有一解,则实数a的取值范围为(),解析,解析,解析,解析,判定函数零点个数的几种方

4、法:,(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.,(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在a,b上是连续的曲线,且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.,(3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.,二分法,1.(密码原创)用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)0,可得其中一个零点x0,第二次应计算,以上横线上应填的内容为(),考点二,解析,解析,解析,由于区间0.273 43,0.281 25的长度为0.007 820.01,所

5、以这一区间的两个端点的近似值0.28就是方程根的近似值,即原方程的正根是0.28.,1.用二分法求函数零点近似值:,要使:区间长度尽量小;f(a),f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0.,2.求函数y=f(x)-g(x)的零点,求方程f(x)-g(x)=0的实根的个数问题都可转化为求函数y=f(x)与y=g(x)的交点个数问题来解决.,函数零点的综合问题,考点三,解析,解析,解析,f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.,故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f

6、(x)=0有两个相异实根.,m的取值范围是(-e2+2e+1,+).,此类问题是以零点为背景求参数的范围,可考虑解方程,但有时不易甚至不可能解出,这时可构造两函数利用图象求解,使得问题简单明了.这也体现了数形结合的解题思想.,【真题模拟】 1.(2011山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0 x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为,(),A.6B.7C.8D.9,规范解答:当0 x2时,令f(x)=x3-x=0,得x=0或x=1.,根据周期函数的性质,由f(x)的最小正周期为2,解析,可知y=f(x)在0,6)上有6个零点,又f(6)=f(32)=f(0)=0,所以f(x)在0,6上与x轴的交点个数为7.,答案:B,2.(2011全国高考)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(),A.(-,0)B.(0,)C.(,)D.(,),解析,命题探究:从近两年的高考试题来看,函数的零点、方程的根的问题是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题.客观题主要考查相应函数的图象与性质,主观题考查较为综合.在考查函数的零点,、方程的根的基础上,又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法.,【原创预测】 设aR,若函数y=ae