向量组的秩课件

1、第四节向量组的等级、线性代数、向量组的等价、向量组的等级、矩阵的秩与向量组的等级的关系、向量组的最大不相关组、1 .向量组的等价、定义1设置向量组，如果向量组a中的各向量能够由向量组b线性表示， 向量组a被称为向量组b可线性表示的这两个向量组的等价，很明显，向量组的等价具有自反性、对称性和传递性。 1 .定义、自反性：的各向量组与自等价。 另外，如果对称性：向量组a与b等价，则向量组b与a等价。 另外，如果传递性：向量组a与b等价，向量组b与c等价，则向量组a与c等价。 如果描述向量组，则b可以用a线性表示，即每个向量存在数量，2 .判定，因此矩阵，矩阵称为向量组用向量组的线性表示的系数矩阵，

2、结论：如果是由1有限个列向量构成的向量组， 群能够用线性表示的一盏茶条件是矩阵方程具有解，如果b能够用a线性表示，即假设每个向量的存在数定理1向量群都是由列向量构成的向量群，则向量群b能够用向量群a线性表现的一盏茶的必要条件是(P102定理1的推进) 推断向量组，等价的一盏茶的必要条件可以是其中a和b是由向量组a和向量组b构成的矩阵，例子1可以证明向量组和向量组等价，分析：可以证明证明向量组等价的方法3360，2，2 .如果是由结论1有限个列向量构成的向量组，则组能够线性地表现的一盏茶的必要条件是矩阵方程具有解，等价的一盏茶的必要条件由3 .推论向量组通过1 .定义来证明。 非线性向量组中的任

3、何向量都可以用线性表示。 2 .向量组中的最大无关群组是中心向量，假定它是所有维度的整个行向量。 我知道这个向量不是线性的。 现在任意取维向量，有。 这描述了线性相关联的向量组，使得该向量组具有两个特征： 一个是其本身不是线性的，两个是在添加了向量时，得到的向量组是线性相关的。 在这种情况下，是我们所说的最大的线性关系组。 定义2是满足能够从向量组(包含有限个和无限多个向量)中选择的向量，(1)与向量组的线性无关地、1 .与最大的线性无关地定义向量组， 向量群中的任何向量都可以线性表示，而与最大线性无关。1 .包含非零向量的向量群中一定存在最大的无关群组，2 .线性无关的话，其最大的无关群组是

4、自各儿，4.1个向量群组例如，为了说明在：个向量组中包括的向量的数目相同，定理2将向量组定义为具有相同数目的向量如果向量组能够用向量组线性地表现，则介绍(b中向量的个数中的向量的个数)、b能够用a线性地表现，则向量组b与线性无关，即，向量组b能够用向量组a线性地表现，并且向量组线性地相关如果推论的一个线性不相关向量组相等，则必须包括相同数量的向量，而推论的两个向量组的任意两个最大不相关性组包括相同数量的向量。 定义3向量组的最大无关组中包含的向量个数称为该向量组的等级。 2 .向量组的秩和矩阵的行秩列秩、仅包含零向量的向量组中没有最大无关组，将该秩规定为0 . 如果向量组没有线性关系，则该向量

5、组的最大无关组、该向量组的等级.如果向量组a的等级为r，则向量组中具有包含r个向量的线性关系的部分组全部为a的最大无关组向量组的秩是描述与向量组相关联的“程度”的数量概念，指示与向量组中的线性无关的部分组最多包含多少个向量。 向量组的线性相关是向量组的线性关系的定性描述，秩是定量描述。 如果a是矩阵，则将a视为由该行向量构成的向量组，将该向量组的等级称为矩阵a的行等级，同样，将a视为由该列向量构成的向量组， 例2求矩阵的行秩和列秩，解：难以验证向量，与线性无关，能够将a的所有行向量表示为第一、两个行向量的线性组合，即与最大线性无关的组三、矩阵的秩和向量组的秩之间的关系从上述证据中可以明确，但当

6、时非零阶的具有子式的行(列)构成了行(列)向量组的最大线性关系组，因此向量组的在矩阵a中将初等行变换为矩阵b时，如果对a和b的列向量组间具有相同线性关系的矩阵a进行初等列变换而设为矩阵b，则a和b的行向量组间具有相同的线性关系例3设置了向量组，(1)求出向量组的等级而判定的线性相关性(2)求出向量组的最大线性非依存组，(3)求出的剩馀向量用最大线性非依存向量组表示，通过矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，且改变矩阵向量间的线性关系通过初等行变换使成为列向量的矩阵成为行阶梯形，然后在各阶梯中选择一个“要素”，即构成该向量组的最大非依存组，同时求出向量组的等级。 在阶梯形成为最简单形时，还能够直接得到该

7、馀数向量用的最大不相关组的线形式，能够将解(1)列向量作为矩阵，通过初等行变换将矩阵选择为行阶梯形，将向量组的等级选择为3，选择向量组的线性相关， (2)对每个阶梯形选择“要素”，能够分别取零以外的最初的要素，所以能够与向量组对应，继续进行初等行的变换，成为行的最简单的形式时，可以使用、对应，1 .最2 .在行向量的情况下，结构具有相同的线性关系：行的初等行的变换不改变列向量之间的线性关系；3 .根据本题的线性关系导出，只能进行初等行的变换；练习：设定向量组A:确定： (1)的向量组a的秩导出最大不相关群，用该最大不相关群线性地表示其馀向量，解3360对a实施了初等行变换：因此该向量组的等级为

8、3 .事实上，在问题仅要求向量组的最大不相关群或向量组的等级的情况下，仅将矩阵设为阶梯形矩阵推论，四，向量组秩的重要结论，定理2 (两个等价向量组的最大不相关组包含相同个数的向量)，讨论向量组秩的基本方法1 .根据向量组秩的定义进行化学基讨论2 .变换为矩阵的秩进行讨论3 .等价向量组具有相同的秩矩阵相加的相乘秩的关系、性质1、性质2、设定、一个层次式不等于0、所有的层次式等于0、经过一些初等变换，行秩、列秩以及、的行(列)向量组与某行(列)向量的线性无关的列向量组中，任意的列向量的线性无关，在的列向量组中，任意的向量能够由其馀的列向量的线性表示，在的行向量组中，任意的行向量的线性不为0，存在任意的次数式都不是0. 5的次数式，所有的最大无关向量群的概念：最大性、线性矩阵的秩与向量群秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量群的秩矩阵行向量群的秩、关于向量群秩的一些结论、求向量群秩和最大无关群的方法：将向量群中的向量作为列向量最大的无关群一般不是唯一的，但表现法是唯一的。 总之，矢量群的等价和矩阵的等价是两个相同的概念吗？ 实际上，如果与其他行(列)向量组的行(列)向量组等价，则因为这两个向量组