新北师大版1.3正方形的性质与判定(二)

1、2002年世界数学大会会标,1.3正方形的性质与判定(二),菱形,矩形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,角 ：四个角都是直角,图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.,正方形的性质,一、课前自主学习 1、矩形的判定方法是 2、菱形的判定方法是,你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）,正方形的判定方法：,(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）,定义法,对角线 相等,对角线垂直,四条边相等，四个角都是直角,对角线互相垂直、平分且相等,以四边形为基础：,既是菱形又是矩形的四边形是正方形。,1、 叫正方形。 2、有 的矩

2、形是正方形。 3、对角线 的矩形叫正方形 4、有 的菱形是正方形。 5、对角线 的菱形叫正方形 6、有 ，有 的平行四边形是正方形 7、对角线 的平行四边形是正方形 8、对角线 的四边形是正方形,正方形的判定,5种识 别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,做一做,现在请大家做一做这样一个实验：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？,例1：已知：如图，在矩形abcd中，be平分 abc，

3、 ce平分 dcb，bfce，cf be. 求证:四边形becf是正方形,证明: bfce，cf be 四边形becf 是平行四边形,be平分 abc, ce平分 dcb,四边形abcd是矩形, abc=90, dcb =90, ebc=45, ecb =45, ebc= ecb, eb=ec, becf是菱形,在ebc中, ebc=45 , ecb =45,菱形becf是正方形, bec =90,(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（ ） (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ） (3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （ ） (4)如果一个矩

4、形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ ） (5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（ ）,快速反应,判断题:,（6）正方形一定是矩形（ ） （7）正方形一定是菱形（ ） （8）菱形一定是正方形（ ） （9）矩形一定是正方形（ ） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形 （ ）,（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( ),(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( ) (14)四条边都相等的四边形是正方形 ( ),1、下列命题正确的是（ ） a、四个角都相等的四边形是正方形 b、四条边都相等的四边形是正方形 c、对角线相等的平行四边形是正方形 d、对角线互相垂直的矩形

5、是正方形,d,选择题:,2四个内角都相等的四边形一定是（ ） a、正方形 b、菱形 c、矩形 d平行四边形,3在四边形abcd中，o是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）aaobocodo，acbd badbc ac caocobodoabbc dacbd,c,a,5 四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（ ） a正方形 b菱形 c矩形 d平行四边形,a,4. 已知在abcd中， a=90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） ad=90 b.ab=cd c. ad=bc d. bc=cd,d,6、顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一

6、定是 （ ） 正方形 菱形矩形梯形,顺次连结菱形的各边中点，所得的四边形一定是（ ） 正方形 菱形 矩形 平行四国边形,顺次连结正方形的各边中点，所得的四边形一定是（ ） 正方形 菱形 矩形 平行四国边形,b,c,a,以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线 段有关系？有怎样的关系？,例2：已知：如图(2)，点a、b、c、d分别是正方形abcd 的边ab、bc、cd、da的中点，求证：四边形abcd是正方形。,分析:你能先证明四边形是矩形吗？,应用举例：,1 已知：如图点a 、 b 、 c、d分别是正方形abcd 四条边上的点，并且aa=bb=cc=dd 求证：四边形abcd是正方

7、形,、由已知正方形证三角形全等； 、证得菱形； 、再证直角； 、是正方形,证题思路分析,上一页,例3:已知：如图，在正方形abcd中，aa=bb=cc=dd 。 求证：四边形abcd是正方形。,证明：四边形abcd是正方形 ab=bc=cd=da,又aa=bb=cc=dd da=ab=bc=cd,a=b=c=d=90 aadbbaccbddc,四边形abcd是菱形,又ada=bab， aad+ada=90 aad+bab=90 ,dab=180（aad+bab）=90 四边形abcd是正方形。,思考题： 如图正方形abcd的对角线相交于点o，o又是另一个正方形oefg的一个顶点，若正方形oef

8、g绕点o旋转，在旋转的过程中.,探究二:若正方形oefg与正方形abcd两边分别相交于m n，试判断线段am于bn之间的关系.,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。,探究四： 如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？,探究三: 若正方形oefg继续旋转时，am 与 bn之间的关系是否还成立？,3、 直角三角形abc中，cd平分acb交ab于d，deac，dfab。求证：四边形cedf是正方形。,四边形abcd是正方形（ ), de=df( ),deac， dfbc, cd平分acb, 四边形abcd为矩形( ),而acb=90, dec=90， dfc=90,证明： deac，dfab,有三个角是直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,1、如图，在ab上取一点c，以ac、bc为正方形的一边在同一侧作正方形aedc和bcfg连结af、bd延长bd交af于h。求证：(1) acfdcb (2) bhaf,练一练,2、如图(6)，abc的外面作正方形abde和acfg，连结bg、ce，交点为n。求证：ceaabg