随机过程的基本概念课件

1、第二章 随机过程的基本概念,1,PPT学习交流,自然界变化的过程可以分为确知过程和随机过程两大类,每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定的函数，具有确定的变化规律。,每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。,确知过程,随机过程,随机过程,2,PPT学习交流,随机过程的基本概念,2.1 随机过程的基本概念及定义,2.2 随机过程的统计描述,2.3 平稳随机过程,2.4 随机过程的联合分布和互相关函数,2.5 随机过程的功率谱密度,2.6 典型的随机过程,3,PPT学习交流,2.1 随机过程的基本概念及定义,实际过程,4,PPT学习交流,接

2、收机噪声,随着时间t而改变的随机变量-随机变量的集合,2.1 随机过程的基本概念及定义,x1(t),x2(t),x3(t),x4(t),5,PPT学习交流,2.1 随机过程的基本概念及定义,接收机噪声,一簇样本函数的集合。,x1(t),x2(t),x3(t),x4(t),6,PPT学习交流,2.1 随机过程的基本概念及定义,1、随机过程定义,定义2：设有一个过程 ，若对于每一个固定的时刻 ， 是一个随机变量，则 称为随机过程。,随机过程是样本函数的集合！,随机过程是随机变量的集合！,7,PPT学习交流,2.1 随机过程的基本概念及定义,1、随机过程定义,随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义

3、：, 当t固定，e固定时， X 是一个 确定值；, 当t固定，e可变时， X(e) 是一个 随机变量；, 当t可变，e固定时， X(t) 是一个确定的 时间函数；, 当t可变，e可变时， X(t,e) 是一个 随机过程；,8,PPT学习交流,2.1 随机过程的基本概念及定义,2、随机过程分类, 按时间和状态的类型分：,9,PPT学习交流,2.1 随机过程的基本概念及定义,2、随机过程分类, 按随机过程的样本函数的形式分：,10,PPT学习交流,2.1 随机过程的基本概念及定义,随机相位信号,11,PPT学习交流,2.1 随机过程的基本概念及定义,2、随机过程分类, 按随机过程有无平稳性分： 平

4、稳随机过程、非平稳随机过程；, 按随机过程有无遍历分： 遍历随机过程、非遍历随机过程；, 按随机过程功率谱特性分： 宽带随机过程、窄带随机过程；,12,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描述,一、随机过程的概率分布,对于连续随机过程：,对于随机序列：,1、一维概率分布,13,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描述,1、一维概率分布,例1、 设随机振幅信号 其中 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，求 时X的概率密度。,14,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描述,2、二维概率分布,注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。,定义：对于任意的时刻t1，t2以及

5、任意的两个实数x1，x2，定义,为随机过程X(t)的二维概率分布。定义,为随机过程X(t)的二维概率密度。,15,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描述,2、二维概率分布,其中 ，且取值概率各为1/2, 求 ， 时的一维和二维概率分布。,例2、设随机相位信号,16,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描述,二、随机过程的数字特征（连续）,均值,方差,均值与方差的物理意义：,表示消耗在单位电阻上的总的平均功率。,17,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描述,二、随机过程的数字特征（连续）,相关函数,18,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描述,二、随机过程的数字特征（连续）,协方差

6、函数,19,PPT学习交流,二、随机过程的数字特征（离散）,均值,方差,协方差函数,自相关函数,20,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描述,二、随机过程的数字特征,例3、设随机相位信号为 其中 为常数， 是 上均匀分布的随机变量。 求该随机信号的均值、方差、自相关函数和协方差函数。,例4、求半二元传输信号的均值和自相关函数。,21,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描述,二、随机过程的数字特征,例5、设有一随机过程 ，由4条样本函数组成，且每条样本函数出现的概率相等， 在t1、t2的取值如下表所示，求 。,1,2,6,3,5,4,2,1,22,PPT学习交流,2.2 随机过程的统计描

7、述,三、随机过程的特征函数,离散形式：,23,PPT学习交流,2.3 平稳随机过程,一、定义,一维概率密度：,二维概率密度：,(1)严格平稳随机过程,24,PPT学习交流,2.3 平稳随机过程,一、定义,(2) 广义平稳随机过程,如果随机过程X(t)的均值为常数，自相关函数只与 有关，即,25,PPT学习交流,2.3 平稳随机过程,例1、 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？,例2、 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-t 。其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。,26,PPT学

8、习交流,二、平稳随机过程自相关函数性质,相关函数示意图,（1）,（3）,（2）,（4）若随机过程不含周期分量，,2.3 平稳随机过程,27,PPT学习交流,二、平稳随机过程自相关函数性质,（5）若平稳随机过程X(t)满足X(t)= X(t+T)，称其为周期平稳过程，则其自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。,28,PPT学习交流,二、平稳随机过程自相关函数性质,例3、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 求X(t)的均值和方差。,例4、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 求X(t)的均值、均方值和方差。,29,PPT学习交流,也称为归一化协方差函数或标准协方差函数。,相关时

9、间示意图,2.3 平稳随机过程,三、相关系数及相关时间,相关系数：,相关时间：,30,PPT学习交流,两个不同相关时间随机过程的样本函数,2.3 平稳随机过程,三、相关系数及相关时间,31,PPT学习交流,例5、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 求X(t)的相关系数。,2.3 平稳随机过程,三、相关系数及相关时间,32,PPT学习交流,2.3 平稳随机过程,四、随机过程的遍历性,定义：对于平稳随机过程X(t)，若有时间平均等于统计平均，时间相关函数等于统计相关函数，即,则X(t)为遍历过程。,33,PPT学习交流,其中,2.3 平稳随机过程,四、随机过程的遍历性,34,PPT学习交流,2

10、.3 平稳随机过程,四、随机过程的遍历性,各态历经过程与非各态历经过程示意图,35,PPT学习交流,四、随机过程的遍历性,遍历性的实际意义：,连续随机过程：,随机序列：,36,PPT学习交流,随机过程具备遍历性的条件：,(2) 均值遍历性的充要条件：,(4) 零均值平稳正态随机信号：,(3) 相关函数遍历性的充要条件：,(1) 随机过程必须是平稳的。,37,PPT学习交流,四、随机过程的遍历性,例5、判断随机连续时间随机相位信号 的各态历经性。,38,PPT学习交流,2.4 随机过程的联合分布和互相关函数,一、联合分布,(1) 二维联合分布函数：,(2) 二维联合概率密度：,39,PPT学习交

11、流,2.4 随机过程的联合分布和互相关函数,一、联合分布,(3) n+m 维联合分布函数：,(4) n+m 维联合概率密度：,40,PPT学习交流,2.4 随机过程的联合分布和互相关函数,二、两随机过程的相互关系,(1) 互相关函数：,(2) 互协方差函数：,41,PPT学习交流,二、两随机过程的相互关系：,则X(t)与Y(t)独立；,(3) 如果,(4) 若 ，则X(t)与Y(t)正交；,(5) 若 ，则X(t)与Y(t)不相关；,42,PPT学习交流,2.4 随机过程的联合分布和互相关函数,三、联合平稳随机过程的互相关函数,定义：如果随机过程X(t),Y(t)平稳，即,则称随机过程X(t)

12、,Y(t)是广义联合平稳的。,且满足,43,PPT学习交流,三、联合平稳随机过程的互相关函数,性质：如果随机过程X(t),Y(t)平稳，即,(1),(2),是平稳的。,(4) 互相关系数：,44,PPT学习交流,三、联合平稳随机过程的互相关函数,例1、设两个连续时间的随机相位信号 其中， 为常数， 上均匀分布，求互协方差函数。,45,PPT学习交流,2.5 随机过程的功率谱密度,一、复习,频谱：,能谱密度：信号的能量按频率分布的情况,信号的 总能量,46,PPT学习交流,二、随机过程的功率谱密度,随机过程的样本函数及其截尾函数,截取函数：,时间平均 功率,功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的

13、情况,47,PPT学习交流,时间平均功率,功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况,随机过程的功率谱密度：,随机过程的平均功率,48,PPT学习交流,二、随机过程的功率谱密度,对于平稳随机过程：,维纳辛钦定理,傅里叶变换对,物理功率谱定义：,功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征, 表示单位频带内信号的频率分量消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。缺陷:不含相位信息,49,PPT学习交流,二、随机过程的功率谱密度,平稳随机过程：,实平稳随机过程的功率谱是实的、非负的偶函数！,0,1,用功率谱来表示总的平均功率,50,PPT学习交流,二、随机过程的功率谱密度,平稳随机过程：,相关性越

14、弱，功率谱越宽平； 相关性越强，功率谱越陡窄。,对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；,51,PPT学习交流,例1、计算随机连续时间随机相位信号 的功率谱。,二、随机过程的功率谱密度,例2、已知平稳随机过程的功率谱为 求自相关函数。,52,PPT学习交流,2.5 随机过程的功率谱密度,三、平稳随机序列的功率谱密度,对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度,当 m=0 时，,53,PPT学习交流,三、平稳随机序列的功率谱密度,Z变换形式：,实平稳随机序列的功率谱是实的、非负的偶函数。,性质：,如随机序列的功率谱为有理函数：,54,PPT学习交流,例1、设随机序列为 ,其中 是 高斯随机序

15、列，均值为零，自相关函数为 ， 求 的自相关函数和功率谱。其中 为单位样值函数,三、平稳随机序列的功率谱密度,55,PPT学习交流,其中：,若X(t)及Y(t)联合平稳，有,三、互功率谱密度及其性质,定义：,56,PPT学习交流,性质：,(3)若X(t)与Y(t)正交，则,三、互功率谱密度及其性质,(1),(4),若不相关，则,57,PPT学习交流,三、互功率谱密度及其性质,例、已知随机过程X(t)、Y(t)联合平稳，其互相关函数为 求互谱密度。,58,PPT学习交流,2.7 典型的随机过程,一、白噪声,设随机过程 X(t)的均值为零，自相关函数为,其中V(t1)是大于零的任意函数，则称X(t

16、)为白噪声。,如果V(t1)=N0/2为常数，则称X(t)是平稳白噪声，功率谱密度为,平稳白噪声的功率谱在频率轴上均匀分布！,59,PPT学习交流,2.7 典型的随机过程,一、白噪声,白噪声的自相关函数和功率谱密度,60,PPT学习交流,2.7 典型的随机过程,一、白噪声,白噪声样本函数波形,白噪声相关系数：,白噪声任意两个相邻时刻的状态不相关！,61,PPT学习交流,2.7 典型的随机过程,二、正态随机过程,定义：如果一个随机过程 X(t)的任意n维分布都服从 正态分布，则称该随机过程为正态随机过程。,一维分布,n维分布,62,PPT学习交流,三、平稳正态随机过程,设 X(t)是正态随机过程，若有,则 X(t)称为广义平稳正态过程。,性质：对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价； 不相关与独立等价；,协方差矩阵为,63,PPT学习交流,四、平稳正态白噪声,一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的