椭圆定义(公开课)

1、2.1.1椭圆及其标准方程,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,仙女座星系,星系中的椭圆,“传说中的”飞碟, 动画演示：太阳系行星的运动,一、合作探究，形成概念：,1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件？,2.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？,请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下任务，并思考相应问题。,思考,数学实验

2、,(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上的两个定点f1、f2 (3)用铅笔尖（m）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形,1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?,(1)由于绳长固定，所以点m到两个定点的距离和是个定值,（2）点m到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离,（一）椭圆的定义,平面内到两个定点f1，f2的距离之和等于常数 （2a） （大于|f1f2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点f1、f2

3、叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。,椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的符号表述：,(2a2c),m,f2,f1,2a=2c,椭圆的定义,| f1f2 |=2c , | mf1 |+|m f2 |=2a,2a2c,结论：若常数大于|f1f2|,则点m的轨迹是（ ） 若常数等于|f1f2|，则点m的轨迹是（ ） 若常数小于|f1f2|，则点m的轨迹（ ）,思考:当点m到f1、f2的距离之和不大于|f1f2|时，点m的轨迹是什么？,椭圆,线段f1f2,不存在,小结：椭圆的定义需要注意以下几点,1.平面上-这是大前提 2.动点m到两定点f1，f2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于

4、焦距2c, 探讨建立平面直角坐标系的方案,方案一,原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.),(对称、“简洁”),椭圆的方程的推导,建,设,现（限）,以经过椭圆焦点 f1，f2 的直线为 x 轴，线段f1f2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。,设 m（x，y）是椭圆上任一点，,设椭圆的焦距为 2c，点m与两焦点的距离之和为常数 2a。,故椭圆的两焦点坐标分别为 f1(-c,0) 和 f2(c,0),由椭圆的定义得,代,化,则方程可化为,观察左图， 和同桌讨论你们能从中找出表示c 、 a 的线段吗？,a2-c2 有什么几何意义？,

5、由两点间的距离公式，可知：,设|f1f2|=2c(c0)，m(x，y)为椭圆上任意一点，则有f1(0,-c)，f2(0,c)，,又由椭圆 的定义可得： |mf1|+ |mf2|=2a,（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。）,总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式,焦点在y轴：,焦点在x轴：,椭圆的标准方程,图 形,方 程,焦 点,f(c，0),f(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,mf1+mf2=2a (2a2c0),定 义,两类标准方程的对照表,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右

6、边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,椭圆方程有特点,系数为正加相连,分母较大焦点定,右边数“1”记心间,一、二、二、三,一个概念；,二个方程；,三个意识：求美意识， 求简意识， 猜想的意识。,小结,二个方法：,练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标,答：在 x 轴（-3，0）和（3，0）,答：在 y 轴（0，-5）和（0，5）,答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。,1.口答：下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.

7、,?,练习：,则a ，b ；,则a ，b ；,5,3,4,6,口答：,则a ，b ；,则a ，b ,3,0b9,练习：,a3,练习： 1.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是 . 是 .,(0,4),3.已知方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是 .,变式：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 .,(0,4),(1,2),2、 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为_，焦距等于_. (2)若c为椭圆上一点，f1、f2分别为椭圆的左、右焦点， 并且cf1=2,则cf2=_.,变题： 若椭圆的方程为 ,试口答完成（

8、1）.,若方程表示椭圆呢?,5,4,3,6,(-3,0)、(3,0),8,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若cd为过左焦点f1的弦，则f2cd的周长为_,例题,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。,|cf1|+|cf2|=2a,练习,1 椭圆上一点p到一个焦点的距离为5， 则p到另一个焦点的距离为（ ） a.5 b.6 c.4 d.10,a,2.已知椭圆的方程为 ，焦点在x轴上， 则其焦距为（ ） a 2 b 2 c 2 d 2,a,例2、写出适合下列条件的

9、椭圆的标准方程,1,2,小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出,例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的动点的轨迹方程。,解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用f1、f2表示，取过点f1、f2的直线为x轴，线段f1f2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 2a=10 2c=8 a=5 c=4 b2=a2c2=9, b=3,因此这个椭圆的标准方程是：,定义法求轨迹方程。,变题1:已知abc的一边bc固定，长为8，周长为18，求顶点a的轨迹方程。,.,解：以bc的中点为原点，bc所在的直线为x轴建立

10、直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：,y,o,b,c,a,x, 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为:,例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .求它的标准方程.,解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,所以,又因为 ,所以,因此, 所求椭圆的标准方程为,解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:,联立,因此, 所求椭圆的标准方程为:,又焦点的坐标为,求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2

11、）设出椭圆系数法确定a、b的值， 写出椭圆的标准方程. 的标准方程； （3）用待定,例题反思：,注意 ： 求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都是符合题义。,例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程,(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上； (3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点p（ -1.5 ，2.5）.,解： 因为椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为, c=2，且 c2= a2 - b2, 4= a2 - b2 ,又椭圆经过点, ,联立可求得：,椭圆的标准方程为,(法一),或,(法二) 因为椭圆

12、的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为,由椭圆的定义知，,所以所求椭圆的标准方程为,练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(2)焦点为f1(0,3),f2(0,3),且a=5.,答案：,(1)a= ,b=1,焦点在x轴上;,(3)两个焦点分别是f1(2,0)、f2(2,0),且过p(2,3)点；,(4)经过点p(2,0)和q(0,3).,小结：求椭圆标准方程的步骤：,定位：确定焦点所在的坐标轴；,定量：求a, b的值.,例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆， 它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程,解：,以两焦点f1、f2

13、所在直线为x轴，线段f1f2的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系xoy，则这个椭圆的标准 方程可设为,根据题意有,即,因此，这个椭圆的标准方程为,3. 例题,回顾小结,求椭圆标准方程的方法,解：,例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， 并说明它是什么曲线？,设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 上的对应点的坐标为（x，y），由题意可得：,因为,所以,即,1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。 2）利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法；,练习,(1)到f1(-2,0)、f2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。,(2)到f1(0,-2)、f2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。,(3)到f1(-2,0)、f2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。,解 (1)因|mf1|+|mf2|=6|f1f2|=4，故点m的轨迹为椭圆。,(2)因|mf1|+|mf2|=4=|f1f2|=4，故点m的轨迹不是椭圆(是线段f1f2)。,练习,例2 已知圆a：(x3)2y2100，圆a内一 定点b(3，0)，圆p过b点且与圆a内切，求圆心 p的轨迹方程,解：设pbr 圆p与圆a内切，圆a的半径为10 两圆的圆心距pa10r， 即papb10(大于ab) 点p的轨迹是