离散数学-2-2 命题函数与量词.ppt

1、1，第二章谓语逻辑，2-2命题函数和量词讲师：李朔email :2，2，1，命题函数与命题逻辑中的命题常数和命题变量的概念类似，表示个体的个体识别符也是对象(个体常数)或者对象变量(个体变量)表示具体或者特定的个体的识别符指任意个体或某种个体的标识符称为个体变量，常常在x、y、z等或这些个的英文字符上附加下标。 谓语3，1，命题函数，h“可到达山顶”I表示对象李四，t表示老虎，c表示汽车H(i )，H(t )，H(c )各表示三个不同的命题，它们有共同的形式。 H(x) x取l，李四取可到达的山顶x取t，老虎取可到达的山顶x取c，与汽车可到达的山顶相同，如果L(x，y )为“x小于y”，则l

2、(2，3 )表示真命题： 2小，而l (5，1 )为假4、1、命题函数、上述3例中的H(x )、L(x，y )、A(x，y，z ) (其中，x、y、z是对象变量)本身不是命题，仅在x、y、z取特定的对象时命题确定。 定义2-2.1是谓语，由几个对象变量组成的式子被称为简单命题函数。 由此定义可知，n元谓词是具有n个目标变量的命题函数。 n=0时被称为0元谓语，由于其本身是命题，所以命题是n元谓语(命题函数)的特殊状况。5、1、命题函数、命题函数中包含对象变量，因此命题函数没有确定的真值，不是命题。 只要将所有的个体参数置换为对象就能得到命题。 例如，在H(x，y):x y0中，证明了这个命题函

3、数不是命题。 因为无法判断真伪。 设a:5、b:-7代替x、y为a、b，则得到H(a，b )，这表示5 (7)0，这是假命题，其真值是假的。 将命题函数的所有个体参数置换为个体常数的公式就是上述谓语式。 谓语的嵌入式也称为0元谓语(包含0个目标变量)。6，1、命题函数、1个或n个简单命题函数和逻辑连接词组合而成的公式称为复合命题函数。 逻辑连接词、的意思与命题运算中的解释完全相同。 /对下面的命题进行编码，研究其真实值。 2和3都是双位数。 当5大于3时，2大于6。 解： F(x):x为双位数。 a:2，b:3这个命题被编码为F(a)F(b) F(b )表示3是双位数，它是假命题。 所以F(a

4、)F(b )是假的。 假设G(x，y): x大于y a:5，b:3，c:2，d:6，则这个命题表示G(a，b)G(c，d) G(a，b )大于5，这就是真命题。 G(c，d )表示2大于6，这是假命题。 G(a，b)G(c，d )是假的。 在本例中，P56例1例3、7、2、个体域、对象变量的取值范围极大地影响命题函数是否成为命题及其真值的例4 R(x):x是大学生，如果是有x的讨论范围的高等院校级的学生，则R(x )是永真式，如果是有x的讨论范围的中学的级如果x的讨论范围是大剧院的观众，其中有大学生的话，那么对于一个观众R(x )是真的，对于另一个观众R(x )是假的。 例如，8，2，个体区域

5、，例如，5 (P(x，y) P(y，z) P(x，z)p(x，y) :x小于y。 当x、y和z在实数域中取值时，该等式永远是P(x，y) :x是y的儿子。 当x、y和z指向人时，这个公式永远是P(x，y) :x距离y十米。 当x、y、z表示地上的房子时，命题的真值由x、y、z的具体位置确定，真的可能性也可能是假的。 9、2、个体结构域可知命题函数与目标变量的记述范围相关。 命题函数中，目标变量的记述范围称为个体区域或论域。个体区域可以是有限的也可以是无限的，包含任意个体区域的个体区域被称为全个体区域，是宇宙间的所有对象组成的集合。 在有10、3、量词、对象变量和谓语后，几个命题不能正确符号化，

6、是因为表示对象(变量)间的数量关系的词还不足。 表示对象(自变量)之间的数量关系的词称为量词。 量词将两种：完整名称量词日常生活和数学中常用的“全部”、“全部”、“全部”、“任意”、“全部”、“全部”等词统称为完整名称量词，将这些个标记为“全部”。 用(x )、(y )等表示个体区域的所有个体，用(x)F(x )和(y)G(y )等表示个体区域的所有个体具有性质f和性质g。 11、3、量词，例(a )为所有人呼吸。 (b )所有学生参加考试。 (c )任何整数或正或负的。 假设M(x):x是人，则H(x):x呼吸。 P(x):x是学生，Q(x):x参加考试。 I(x):x是整数，R(x):x是

7、正整数，而N(x):x是负整数。 将(a )标记为(x)(m(x)h(x ) )，将(b )标记为(x)(p(x)q(x ) )，将(c )标记为(x)(I(x) (R(x)N(x ) )，12、3、量词、存在量词“有”、“有”、“有”、“有”、“有” 用(x )、(y )等表示个体区域中的个体，用(x)F(x )和(y)G(y )等表示个体区域中存在的个体具有性质f和存在的个体具有性质g。 存在例(a )素数。 (b )也有聪明人。 (c )有些人早餐吃摇镜头。 设P(x):x为素数。 M(x): x是人。 我E(x): x早餐吃摇镜头。 将(a )标记为(x)(p(x ) )，将(b )标

8、记为(x)(M(x)E(x ) )，将(c )标记为(x)(M(x)E(x ) )，将13，3、量词、完整名称量词和存在量词总称为量词。 由测定词决定的公式分别与个体区域相关，例如前列的(x)(M(x) H(x ) )表示所有人呼吸，如果将个体区域限定“人”的范围，则简单地表现为(x)(H(x ) )指定不仅与表现区域的形式相关，而且与命题的真值相关为了方便起见，我们将所有命题函数的个体域全部统一，使用全部个体域。14、3、量词，如：用谓语形式写出以下命题。 (1)任何人都有一颗热爱恋的美的心。 设F(x):x为人，G(x):x为爱美。 (2)有易怒的人。 F(x):x是人，G(x):x是易怒

9、的。 (3)说每个人都喜欢吃摇镜头是错误的。 没有人喜欢x人，喜欢G(x):x摇镜头(4)不吃饭。 F(x):x是人类，G(x):x是吃饭(5)的人都不同。 F(x):x是人，而H(x，y ) 3360 x不同于y，L(x，y ) 3360 x具有与y相同的高度。 (6)并非所有的车都比所有的动车组快。 F(x):x是汽车，G(y):y是动车组，H(x，y):x比y快，15，3，量词，解： (1)f(x):x是人，G(x):x是美。 就是x(F(x)G(x ) )。 把公式翻译成自然语言，可以说“对于宇宙中所有的x，x是人的话，x就是爱美的”，也就是说“爱美的心在人”，这反映了爱美是人的共同性

10、之一。 以F(x):x为人，G(x):x容易发怒。 就是x(F(x)G(x ) )。 *是“宇宙中存在着x，x是人，x是易怒的。 (1)从(2)可知，当个体区域使用全部个体区域时，需要用谓语限制各个目标变量的变化范围，该谓语表示非全部个体区域的个体区域，被称为特性谓语。 一般来说，完整名称量词、特性谓语总是作为原命题公式的包含前提。 例如，像x(F(x)G(x ) )这样，在测量词存在的情况下，特性谓词总是成为原命题式的合议项。例如，x(F(x)G(x ) )、17、三、量词、(3)本命题是“每个人都喜欢吃摇镜头”的否定，成为第1 )问题，容易理解其编码形式是x(F(x)G(x ) (其中，F(x):x人，g 本命题与“讨厌吃摇镜头”相同，所以也可以用x(F(x) G(x ) )来表示(4)本题是“有人不吃饭”的否定，模仿(2)，其表示形式和x(F(x) G(x ) )很容易理解(4) 本命题与“所有人都吃”相同，因此可以标记为x(F(x) G(x ) )、18、3、量词(5)。 假设F(x):x是人，则不同于y，H(x，y ) 3360 x具有与y相同的高度。 命题符号化： x (f ) y (f ) h