《函数单调性与导数》PPT课件

1、函数的单调性与导数,（4）.对数函数的导数:,（5）.指数函数的导数:,（3）.三角函数 ：,（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；,（2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1,复习回顾：1.基本初等函数的导数公式,2.导数的运算法则,（1）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/.,（3）函数的商的导数 （ ） / = (v0)。,（2）函数的积的导数 (uv)/u/v+uv/.,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上

2、是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),复习引入:,(1)函数的单调性也叫函数的增减性；,(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。,(3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。,以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)的大小,

3、在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.,说明:,三、新课讲解:,我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.,从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:,在区间(2,+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即 0 时,函数y=f(x) 在区间(2, +)内为增函数.,在区间(-,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即 0 时,函数y=f(x) 在区间(-,2)内为减函数.,y=2x-4,f (x)0,f (x)0,如果在某个区间内恒有

4、,则 为常数.,一般地,函数y=f(x)在某个区间（a，b）内,如果 0,那么函数y=f(x) 在这个区间内是增函数;如果 0,那么函数y=f(x) 在这个区间内是减函数.,一.单调性与导数的关系:,例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减函数.,解:,由2x-20,解得x1,因此,当 时,f(x)是增函数;,令2x-20,解得x1,因此,当 时,f(x)是减函数.,例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.,解:f (x)=3x2-12x+9,令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当 或 时, f(x)是增函数.,令3x2-12x+90

5、,解得1x3,因此,当 时, f(x)是减函数.,故f(x)在(-,1)和(3,+)内是增函数, 在(1,3)内是减函数.,我们可以利用单调区间画出函数的大致图象.,二.利用导数求函数单调性的步骤:,(1):求导数,(2)解不等式 0得f(x)的单调递增区间;解不等式 0得f(x)的单调递减区间.,练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.,答案:递增区间是 和 ;递减区间是(-2,1).,将图中t与h 换成h和V对应的图是哪一个呢?,解:函数的定义域是(-1,+),f(x)=x/2-ln(1+x)+1,由 即 得x1.,注意到函数的定义域是(-1,+),故f(x)的递增区间是(

6、1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义 域求两者的交集.,三、综合应用:,例4:求函数的单调区间:,例5:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值 范 围,并求其单调区间.,解:,若a0, 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾.,若a=0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.,若a0,则 ,易知此时f(x) 恰有三个单调区间.,故a0,其单调区间是:,单调递增区间:,单调递减区间: 和,练习 2,P32 1. 2 . 3 . 4,五、小结:,1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.,3.注意在某一区间内 ()0只是函数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不必要条件.,2.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有