空间点、直线、平面之间的位置关系

1、空间点、直线、平面之间的位置关系 一、知识要点： 1.平面的基本性质： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2.空间中直线与直线之间的位置关系： 空间两条直线的位置关系有且只有三种： 如图：ab与bc相交于b点，ab与ab平行，ab与bc异面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3.空间中直线与平面之间的位置关系： （1）直线在平面内有无数个公共点；

2、（2）直线与平面相交有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行没有公共点。 其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 注意，我们不提倡如下画法 4.平面与平面之间的位置关系： （1）两个平面平行没有公共点； （2）两个平面相交有一条公共直线。 二、例题讲解： 例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系 图1可以用几何符号表示为：_ 图2可以用几何符号表示为：_ 分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出 解：图1可以用几何符号表示为： 即：平面与平面相交于直线ab，直线a在平面内，直线b

3、在平面内，直线a平行于直线ab，直线b平行于直线ab 图2可以用几何符号表示为：，abc的三个顶点满足条件 即：平面与平面相交于直线mn，abc的顶点a在直线mn上，点b在内但不在直线mn上，点c在平面内但不在直线mn上 例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同 分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图 解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是mn凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是mn凹在里面的一个空间图形的直观图 点评：（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法而这些

4、画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习 （2）与本题类似的其它变形还有： 用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形 例3、正方体abcd-a1b1c1d1中， （1）dd1和a1b1的位置关系如何？ d1b和ac的位置关系如何？ a1c和d1b的位置关系如何？ （2）和ad成异面直线的棱所在直线有几条？ （3）和bd1成异面直线的棱所在直线有几条？ （4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？ 解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。 （1）异面直线；

5、异面直线；相交直线； （2）4条分别是a1b1、b1b、c1d1、c1c； （3）6条分别是aa1、cc1、a1b1、b1c1、ad、cd； （4）30对。 例4、已知：如图，立体图形abcd的四个面分别是abc、acd、abd和bcd，e、f、g分别为线段ab、ac、ad上的点，efbc，fgcd 求证：efgbcd 证明：在平面abc 中，efbc ， 又在平面acd中，fgcd， = = egbd efg =bcd 同理fge =cdb， efgbcd 与本例类似变形还有： 已知：将一张长方形的纸片abcd对折一次，ef为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示，连结ad、bc求证：ad bc，

6、adebcf（证明略） 三、练习： 1下列图形中，满足的图形是（ ） （a） （b） （c） （d） 2已知a、b表示点，b表示直线，、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（ ） （a） （b） （c）（d） 3用符号表示“若a、b是平面内的两点，c是直线ab上的点，则c必在内”，即是_4“a，b为异面直线”是指： （1）且a不平行于b； （2）且； （3）且； （4）； （5）不存在平面，使且成立 上述结论中，正确的是（ ） （a）（1）（4）（5） （b）（1）（3）（4） （c）（2）（4）（d）（1）（5） 5一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） （a）平

7、行或异面 （b）异面 （c）相交 （d）相交或异面 6如图，空间四边形abcd中，m、n分别是abc和acd的重心，若bdm，则mn _ 7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么af、bc、de这三条线段所在直线是异面直线的是_，它们所成的角为_度。 四、练习答案： 1. 提示: 根据平面的无限延展性及平面画法来判断 答案:（c） 2. 提示：根据点与平面应用“”“”连接排除a；根据公理两个平面相交为一条直线，排除b；再跟据图形可排除d，因为a有可能在平面上 答案：（c） 3. 提示: 熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“”、“”等符号 答案: . 4. 提示：根据异面直线定义“不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”，结合图形可排除（2）、（3）、（4）（2）中可能有ab，（3）中可能有ab，（4）可能有a与b相交或平行）（5）是正确的，再由直线位置关系可得（1）也是正确的 答案：（d） 5. 提示：由公理可排除（a），再结合图形可利用平移方法验证 答案：（d） 6. 提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为23连结am并延长交bc于e，连结an并延长交cd于f，再连结mn、e