马尔萨斯人口增长

1、2015年数学建模论文第二组主题：人口增长模型的决定专业，名称：自动化强小鹏提交日期：2015.7.3标题：人口增长模型的确定摘要信息人口预测是制定正确的人口政策的科学依据。预测人口增长的数学模型通常使用三个函数：金志洙函数、逻辑函数和双曲函数5。三个模型的数学根源都在二阶伯努利微分方程中。文章用matlab等软件研究和处理了1790-1980年美国人口数据的情况，并探讨了人口增长符合的各种模式的结果，并探讨了是否是合理的预测。另外，最近几十年的总人口也是根据动向预测的。为控制人口发展提供了可靠的依据。关键词：美国人口模型matlab马尔萨斯模型逻辑模型一、重新说明问题：图表显示，美国的人口记

2、录在1790年到1980年间每十年发生一次，从图表可以看出美国人口基本上有增长趋势。由此，1.处理表中的数据，以构建马尔萨斯人口金志洙增长模型。2.预测未来10年的5个人口数量。比较实际数据和预测数据。4.马尔萨斯金志洙增长模式是否妥当，采用不同的模式进行分析。二、问题分析：首先，使用matlab软件进行编程(如图1所示)，创建了1790-1980年美国人口数据。图1 .1790-1890年美国人口增长数据图如图1所示，从1790年到1980年，人口增长的趋势，与此类似的指数增长。马尔萨斯生物总数的增长规律指出：“在孤立的生物群体中，总生物数n的变化率与总生物数成正比，成为其数学模型dx(t)

3、dt=rxtx(t0)=x0 (1)其中r是常数。方程式(1)的解法如下xt=x0er(t-t0) (2)马尔萨斯生物数量的增长规律表明，任何生物都会随着时间的推移呈指数增长。在这个意义上，马尔萨斯方程(1)也称为金志洙增长模型。人作为一种特殊的生物枪群，人口增长也要满足马尔萨斯生物总数的增长规律，这时(1)式被称为马尔萨斯人口方程。根据马尔萨斯模型，如果预测值与实际值不同，则可以改进该模型或使用不同的模型(logistic)。三、问题假设：1、马尔萨斯人口增长模型假设马尔萨斯金志洙增长模式能够准确合理地预测未来几十年美国人口数量的变化，满足马尔萨斯金志洙增长的两个前提条件。第一，食物是人类生

4、存所必需的。第二，男女之间的情欲是必然的，几乎成为现状。在这两个固定规律中，可以推导出最基本的经济比例之一：粮食或生活数据的增长和人口之间的关系。人口增长比生活数据快，人口指数增长，生活数据仅按算术级数增长。假设人口增长率r保持不变。解决和预测其他模型(如logistic)未满足或预测未来人口数中可能存在错误的分析过程。2、改进的马尔萨斯人口金志洙增长模型由于社会快速发展、严重破坏自然环境、人口快速增长等一系列原因，人口的增长率没有像马尔萨斯假设的那样变化为常数r。此时，假设随时间变化的增长率r和时间t满足以下关系r=a-bx (3)a，b是两个常数。3、使用物流模型预测分析四、变量说明：r:

5、人口增长率t:时间t0:数据开始时间x0 :小时t=1790小时人口数xt : t瞬间的人口数量a、b都是常数num:人口预测值p:配合值b、d、i和e分别表示出生率、死亡率、迁移率和迁移率k:环境验收五、创建模型：1.常微分方程模型常微分方程模型是在生物体层次上描述生物体生存与环境的关系，即研究生物体或多种生物体数量或密度的变化规律。如果将x(t)表示为t时间范围内一个群体的数量或密度，将x(t)视为t的连续函数，则x(t)的变化与出生、死亡、转移和转移等有关。人口出生率、死亡率、迁移率和迁移率分别表示为b、d、i、e，人口或密度变化的典型模型如下：dxdt=b-d i-ext0=x0 (4

6、)以下几个模型基本上是根据此原则设置的：(1)马尔萨斯型号马尔萨斯生物总数的增长规律告诉我们：“在孤立的生物群中，总生物数n(t)考虑到一个国家或地区的总人口数，一个国家的转化率和转出率比较低。也就是说，人口变动率与出生率和死亡率有关。这可以设定b-d=rx，即与总人口成比例的出生率和死亡率，这个比率，即常熟r，是自然增长率。数学模型包括dx(t)dt=rxtx(t0)=x0 (5)方程式(5)用x(t)=x0er(t-t0)求解，通常按年调查人口变化。也就是说，取t-t0=0，1，2，n，之后每年的总人口数为x0er，x0e2r，x0e3r。x0enr，这表明人口正以er的等比级数的速度增长

7、。(2)改进的马尔萨斯人口金志洙增长模型假设人口增长率不固定，是时间关系，那么(3)将表达式导入(2)表达式，改进的马尔萨斯人口金志洙增长模型将如下所示xt=ax0bx0 (a-bx0)e-(t-t0)a (6)(3)逻辑模式在人口稀少、资源丰富的条件下，如果人口增长较快，短期内可以保持恒定增长，但人口数量增加到一定水平会导致粮食短缺交通拥挤等诸多问题，因此，假设人口增长率为b-d=rx(1-xk)，这反映了人口增长率随人口增长而下降的现象，此时r称为固有增长率，k称为环境容纳量。这种修正的假设得到了人口增长的罗杰斯提克模型dx(t)dt=rx(1-xk)x(t0)=x0 (7)方程式(7)解

8、决的x (t)=k1 (k90-1) e-(t-t0) r1) tlimxt=k表示当时间无限增长时，总人口数表示环境容量的趋势。2) x(t)k到dx(t)dt0，x(t)0。意味着人口数量超过环境容量时，人口数量会减少。如果人口数小于环境容量，人口数就会增加。六、模型解决方案：使用美国1790-1980年人口的数据作为原始数据，查找模型参数r的估计值，根据1790年的马尔萨斯人口模型，使用matlab导出拟合值和预测值，并绘制预测值和实际值的图形。马尔萨斯模型解决方案(1)用线性最小二乘拟合方法刘涛马尔萨斯模型：x(t)=x0ert=lnx(t)=lnx 0 rt y=p1t p02=y=

9、lnx (t)，p1=r，p0=lnx0r=p1，x0=ep0其中输入t、x(t)、y=log(x(t)和a=polyfit(t，y，1)以拟合多项式系数p=0.0214 -36.6198，r=与人口相关的时间为x(t)=x0ert。其中r=0.0214，x0=1.2480e-016。将r和x0赋予公式。x(t)=1.2480e-016*e0.0214t根据上述公式，1990-2030美国人口展望值如下表(1)。年份19902000201020202030人口预测(10 6)390.0483.1598.4741.0918.0表(1)马尔萨斯模型下美国人口的预测值实际和管接头图如下所示(请参阅附

10、录2):图2 .马尔萨斯金志洙模型的预测与实用值(2)使用matlab cft工具箱解决：输入时间t和x(t)后使用cft拟合马尔萨斯模型具有以下优点：结果：general model:f(t)=3.9*exp(r*(t-1790)coefficients(具有95% confidential bounds):r=0.02222 (0.02163，0.02281)将r赋予公式x(t)=3.9e0.02222(t-1790)1990-2030年美国人口预测见下表(2)。年份19902000201020202030人口预测(10 6)331.9414.5517.7646.5807.4表(2)。美国

11、人口预测马尔萨斯人口金志洙增长模型拟合数据和实际数据曲线为：如下图(3)所示图3.cft得出的美国人口现状和预测图2.改进的马尔萨斯人口增长模型：使用cft工具箱将增强的马尔萨斯模型调整到：结果：generral madel:f(t)=3.9 * a/(3.9 * b(a-3.9 * b)* exp(-a*(t-1790)coefficients(具有95% confidentt bounds):a=0.02858 (0.02763，0.02953)b=9.997e-005 (8.694e-005，0.00013)所以改进的马尔萨斯模型公式是：xt=3.9 * 0.028583.9 * 909

12、97 e-005(0.02858-9.997 e-005 * 3.9)e-3.9 *(t-1790)因此，1990-2030年美国人口展望值(见附录6)见下表(3)。年份19902000201020202030预测人口230.9093242.5018252.0085259.6574265.7174改进后的马尔萨斯模型和实际人口数曲线如下图(4)图(4)改进的马尔萨斯模型下图(5)是根据1790-2030年公式得出的预测值(见附录3)。图左侧。1790-2010年美国人口的实际价值图右侧。1790-2030年美国人口预测分析结果显示，如果增长率r保持不变，拟合预测值与实际值相差很大。由于考虑自然

13、因素的人口影响，人口增加到一定的值时，r会有所变化。也就是说，通过改进的马尔萨斯人口增长模式，制止美国人口不指数增长，达到一定的值，饱和增长率倾向于逐渐降低。遵从人口增长趋势。物流模型解决方案logistic模型取决于matlab的cft工具：result:general model:f (t)=k./(1 (k./3.9-1)。* exp (-r * (t-1790)coefficients(具有95% confidential bounds):k=369.1 (336.9，401.3)r=0.02684 (0.02603，0.02765)很快k和r物流公式x(t)=369.11(369 .

14、 13 . 9-1)e-t-1790 * 0.026841990-2030年的估计值如下表(4):年份19902000201020202030人口(/10 6)256.9100276.7086294.0342308.8186321.1659表格(4)。物流模型对未来人口的预测logistic模型下的实际值和预测值图像如下图(6)所示。图(6)。logistic模型下的预测图表4.模型验证根据数据2，1990-2010的美国实际人口为248.7，281.4，308.7(单位：百万)以下的表(5)是三种模型的预测值和实际值的相对误差。年份实际统计马尔萨斯模型预测值相对误差改进的马尔萨斯模型预测值相

15、对误差物流模式预测值相对误差1980226.5314.939.0%217.1-4.2%234.93.7%1990248.7331.933.4%230.9-7.2%256.93.3%2000281.4414.547.2%242.5-13.8%276.7-1.7%2010308.7417.735.3%252.0-18.7%294.0-4.8%表(5)。三种人口预测模型的比较使用马尔萨斯模型的人口增长词典，显示出相对较大的相对误差，而改进的马尔萨斯人口增长模型与物流模型错误相对较小，物流模型预测得比较精确。另外，如果将预测值与实际值进行比较，后者的预测值比基本人口增长率慢，甚至低于实际值。这符合人口增长的规律。七、结果分析：马尔萨斯人口增