高中数学 解题方法介绍18 平面向量与解析几何 苏教版（通用）

1、第十八届平面向量与解析几何在高中数学新课标中，学生在学习平面向量之前，在学习解析几何学之后，在教材中知识并不统一，很多学生在学习中对“平面向量”解答平面向量问题，而应用平面向量不解决解析几何学问题。 用向量法对解析几何问题思维方法清晰，过程简洁，有意想不到的效果。 著名的教育家布鲁纳说，学习的最高刺激是对学习材料的兴趣，简单的重复会引起学生的脑疲劳，使学习兴趣衰退。 这向一盏茶表明了寻求方法变化的重要性，如果我们能够重视矢量的教育，必然会给学生扩大思路，减轻负担。一、知识整合平面向量是高中数学的新内容，也是新的高等院校入学考试的哈伊利石。 矢量知识、矢量观点广泛应用于数学、物理等学科的多个分支

2、，具有代数形式和几何形式的“双重身份识别”，可以与数学融合为一体，与中学数学教学内容的许多主干知识相结合，形成知识交流点。 在高中数学体系中，解析几何学占有重要地位，用通常的方法解决一些问题是计算复杂，即使使用向量进行形式和数量的变换，过程也大大简化。二、例题分析例1、(2000年全国高等院校考试问题)椭圆的焦点为FF，点p为其上的动点，FP为钝角时，点p的横轴的取法为解：设为F1(-，0)F2(，0 )、P(3cos，2sin )钝角2220=9cos2-54合并2=5cos2- 10解：点p的横轴值的范围为()评价：解决有关角的问题，必须从数量积开始。 在本问题中，将条件中的角变换为钝角后

3、的向量的数积设为负值，用坐标运算表示不等式，简洁明了。例2，已知的定点a (-1，0 )和b (1，0 )，p是圆(x-3)2 (y-4)2=4以上的点，求出的最大值和最小值。分析：因为o是AB的中点，所以可以利用向量将问题转换为求向量的最大值。解：设已知圆的中心为c，则可以从已知得到另外从中点式得到pc.cyx甲组联赛o.o乙级联赛所以=由于点p在圆(x-3)2 (y-4)2=4以上所以所以即故最大值为100，最小值为20。有些解的问题没有直接将向量作为已知条件表现出来，但是用向量知识解决的话，自然简便易于得到。例3、(2020年天津高等院校考试问题) o是平面上的定点，a、b、c是平面上的

4、不共通线的三个点，如果动点p满脚丫子，则p的轨迹一定通过ABC ()(a )外心(b )心(c )重心(d )下垂分析：因为是同方向的单位矢量，所以向量相加的平行四边形是和ABC的平分线(放射性射线)同方向的向量，并因为知道p点的轨迹是ABC的平分线，所以点p的轨迹必定通过ABC的中心。反省：根据本题的结论，我们可以很容易地得到有一个角的平分线的直线方程式的求解步骤(1)根据顶点坐标(包含线段的端点)或直线方程式求出角两边的方向矢量(2)求出平分线的方向矢量(3)由点斜式或点向式得到平分线方程式。 直线的点方向方程式：超过p ()的方向向量，其方程式为例4、(2020年天津)已知常数、矢量、从

5、原点通过方向矢量的直线与从定点通过方向矢量的直线在点相交。 其中，为了成为是否存在两个定点的值而存在的情况下，如果求出的坐标不存在，则说明理由本课题主要考察平面向量的概念和计算，分析求轨迹的方法，椭圆的方程式和性质，利用方程式判定曲线的性质，曲线和方程式的关系等的几何学的基本思想和综合解题能力解：根据问题设定条件，首先求出满足点p的坐标的方程式，并根据该方程式判断是否存在两个定点，以使从点p到两个定点的距离之和恒定87222222222222222222222222222因此，直线OP和AP的方程式分别是和消去残奥仪，得到的点的坐标满足方程整理了所以(I )当时，方程式是圆方程式，所以不存在符

6、合问题意思的定点e和f(ii )当时，方程式表示椭圆，表示焦点和符合问题的两个定点(iii )当时，方程式也表示椭圆、焦点和符合问题的两个定点点评：本问题以平面向量为载体，考察求轨迹的方法、利用方程解析曲线性质、曲线与方程关系等的几何基本思想和综合解题能力。 去掉平面向量的背景，就知道这个问题是下一个问题在OAP中，o (0，0 )、A(0，a )是两个定点，另一个OP和AP的倾斜度分别是求p的轨迹。教科书有练习题(数学第二卷(上)第96页练习题4 )三角形ABC的两个顶点a、b的坐标分别为(-6，0 )、(6，0 )，边AC、BC所在的直线的斜率之积相等，求出顶点c的轨迹方程式。 在这个例子

7、中，可以看到高等院校入学考试的主题和教科书的密切关系。例5.(2020年天津卷理22 )椭圆的中心为原点o，其短轴长度为与焦点F(c，0 ) ()对应的基准线和x轴在点a相交，|OF|=2|FA|、通过点a的直线和椭圆在p、q这两点相交。(1)求出椭圆的方程式和离心率(2)如果求出直线PQ的方程式(3)证明超过点p，平行于准线的直线和椭圆与其他点m相交。分析：本主题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量计算、曲线和方程关系等几何解析的基本思想方法和综合解题能力。(1)解：从问题的意义来看，椭圆的方程式可以作为从所知而知椭圆方程是离心率(2)解：从(1)中可以得到a (3，0 )。把直线PQ的方程式作为自由方程式得到根据问题，由直线PQ的方程式得出.卡卡卡卡卡卡卡653得到直线PQ的方程式是(2)证明：从已知的方程式小心点所以.然后，所以三、集中精制由于矢量具有几何形式和代数形式的“双身份识别”，矢量与解析几何之间关系密切，新课标强调矢量与解析几何结合考察，我们在平时的解析几何教学和复习中，把握时间