高中数学 解题方法介绍3 应用问题的题型与方法 苏教版（通用）

1、第三，阐述了应用题的问题类型和方法数学应用性问题是历年高等院校入学考试命题的主要题型之一，也是考生失分多的题型。 在高等院校入学考试中一般制定解答问题和两个选择填空问题。 解决这类问题的关键在于阅读、理解陈述的材料，深入理解问题的意义，学习从语言文字到数学符号语言的翻译，应用所学的数学知识、思想方法解决问题具有实际意义，或者解决相关学科、生产、生活中的数学题，用数学语言正确表达。 考生的弱点主要表现在把实际问题转化为数学题的能力上。 实际问题转化为数学题，重要的是通过提高阅读能力数学审查能力，审查函数、方程式、不等式、方程式，让我们阅读资料，分析文字反应的实际背景，从背景中理解总结的数学本质，

2、将其数量关系抽象化，把语言文字的记述翻译成数学式符号语言，对应的数学模型解一个应用题的要点可以说有三个：一个是分类关系，也就是要理解问题的意思，需要一定程度的理解力，第二个是逻辑函数，也就是把语言文字变成数学符号语言，第三个是建构数学关系，也就是相应的数学模型，建构后扎实的基础知识和强的数学根据数学题的广泛性、实际问题的复杂性、干扰因素的多样性和实际问题的专一性，这些个可以读出学生提供主题的条件和要求，在陌生的环境中找到本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、数组、组合、概率、曲线、解三角形等问题。一、知识整合1 .“考试大纲”对“解决实际问题的能力”的定义是，能够综合应用所学的数学知识、

3、思想和方法来解决问题，能够提取、解决有关学科、生产、生活中的数学题，用数学语言正确表达。 并对数学应用题提出问题掌握了数学知识和方法的深度和广度，符合中学数学教学的实际。2、应用题的“考试要求”是运用考生的应用意识、数学知识和方法来分析问题解决能力，这一要求可分为三个方面(1)要求考生关心国家大事，理解信息社会，重视实际联系，重视数学在生产、生活和科学中的应用，明确“数学有用，用数学”，积累处理实际问题的经验(2)了解语言的能力，要求考生从普通语言中捕捉信息，将普通语言转换为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流(3)查考数学模型的初步能力，可以用考试大纲规定的数学知识和方法解答3 .解

4、应用题的一般程序是(四阶段法)(1)、读题：阅读、深入理解、解释为数学语言，找出主要关系(2)、建模：将主要关系近似化、形式化，抽象为数学题(3)、求解：分为普通问题，选择合适的数学方法进行求解(4)、评价：验证或评价结果，调节错误，最后将结果应用于现实，说明或验证4 .在近年来的高等院校考试中，常见的数学模型有数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等I .函数模型函数是中学数学中最重要的部分，现实世界中普遍存在的最优化问题往往可以归结为函数的最高值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的制约条件，并运用函数知识和方法进行解决根据题意，熟练地建立函数模型；使用函数的性质、不等式

5、等知识，对得到的函数模型进行处理；ii .有关几何模型，如航行、桥梁建设、测量、人造卫星等某图形属性的应用题，经常需要应用几何图形的性质，或者用方程式、不等式或者三角函数的知识来求解iii .数列模型在经济活动中，例如生长率、减少率、存款恢复、分期还款等与年(月)部有关的实际问题，大多可以归结为数列问题，即建立相应的数列模型来解决。 解应用题时，是否数列问题是看参数是否与正整数有关，第二，通过看是否符合一定的法则，从特殊的状况开始，就能寻找普通的法则。二、例题分析例1.(1996年全国高等院校入学考试问题)某地耕地10000公顷，10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食产量比现在增加10%，

6、人口年增长率1%的话耕地每年只减少几公顷(准确地说是1公顷)。粮食单产人均粮食产量=)分析：该问题以有关国家谋求民生的耕地、人口、粮食为背景，提出了两组数据，对考生从两条线索中提取抽象数列模型，并要求比较和决定。解： 1、阅读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有率、总人口数和3 %，其中人均粮食占有率为P=，主要关系为pp2 .建模：耕地面积按年平均至多减少x公顷，现在的粮食单产为a吨/公顷，现在的人口数为m，现在的占有量，十年后的粮食单产为a(1 0.22 )，人口数为m(1 0.01 )，耕地面积为(10-10x )。 (1 0.1 )即，1.22(10-10x)1.110(1 0

7、.01 )求解： x10-10(1 0.01 )(10.01 )=1c0. 01 c0. 01 c0. 011.1046x10-995.94 (公顷)4 .评价：回答x4公顷符合控制耕地减少的国情，管理无误，因此可以回答。另一解：1.读题：粮食总生产率=单产耕地面积粮食总占有量=人均总人口主要关系是粮食总生产率粮食总占有量2 .建模：耕地面积按年平均至多减少x公顷，现在的粮食单产为a吨/公顷，现在的人口数为m，现在的占有量，十年后的粮食单产为a(1 0.22 )，人口数为m(1 0.01 )，耕地面积为(10-10x )。a (10.22 ) (1o-10 x )(10.1 ) m (10.0

8、1 )求解： x10-10(1 0.01 )(10.01 )=1c0. 01 c0. 01 c0. 011.1046x10-995.94 (公顷)4 .评价：回答x4公顷符合控制耕地减少的国情，管理无误，因此可以回答。说明：本题主要掌握各量的关系，重视百分之三。 其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题要求将利用不等式模型求解的指数函数、不等式、生长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练中为了解开应用题，强调“评价”是必不可少的！ 这是解题者的自身调节，比如说在本题的解决过程中算1.011，就是x98公顷，耕地这么少，国家是否符合耕地保持政策，这是很自然的问题。 因此进行控制，检查

9、发现1.01的近似计算有错误甲组联赛美联储例2.(1991年上海高等院校入学考试问题)某市1990年底的人口为100万人，人均住宅面积为5m，如果该市的年人口平均增加率为2%，每年平均新建住宅面积为10万m，到2000年底就算了该市的人均住宅面积(准确地说是0.01 )。分析：城市年人口为等比数列，年住宅总面积为等比数列，分别写2000年后的人口数、住宅总面积，计算人均住宅面积解：1.读题：主要关系：人均住宅面积=2 .建模： 2000年底人均住房面积3 .求解：简化上式=1.02=1 c0.02 c0.02 c0.02 1.219人均住宅面积是4.924 .评价：回答4.92符合城市实际，管

10、理正确，到2000年底该市人均住宅面积为4.92m说明：一般来说，利率、产量、降价、繁殖等生长率相关的实际问题，可以对数据是等差数列还是等比数列进行观察、分析、归纳，用两个基础数列的知识来解决。如图所示，搭载了危重病人的动车组从o地点出发，沿着放射性射线OA行驶o地5a(a为正数)东北角的n处居住着医学专门人才sin=现在的110指挥部，将距离o地点正东p公里的b地点的急救车赶到n地点，搭载医疗专门人才全力追赶危重病人的动车组，在c地点相遇，当车辆行驶的路线和OB包围的三角形OBC面积s最小时，被推定急救最快。(1)求有关s的p的函数关系(2)p为何值得，急救最快解： (1)以o为原点，以正北方向为y轴建立正交坐标系原则设N(x0，y0)为另外，B(p，0 )，直线BC的方程式由得c的纵轴、(2)从(1)到(8)的范围例4.(1997年全国高考问题)甲、乙两地距离s公里，汽车从甲地到乙地等速行驶，速度不得超过c公里/小时。 众所周知，汽车的每小时运输成本(元单位)由可变部分和固定部分构成：可变部分与速度v (公里/小时)的平方成正比，比例系数为b的固定部分为a元将全部运输成本y (元)表示为速度v (公里/小时)的函数，指出函数的定义域为了使全过程的运输成本最小化，汽车必须以多大的速度行驶？分析：一些变量(运输成本