高中数学 排列与组合 版块五 排列组合问题的常见模型1（通用）

1、高中学习与思考完整讲义：排列与组合。第五节。排列组合问题1的通用模型知识含量1.基本计数原理(1)加法原理分类和计数原则：做事有不同的方式，第一种方式有不同的方式，第二种方式有不同的方式，第一种方式有不同的方式。然后有不同的方法来完成它。也称为加法原理。乘法原理一步一步计算的原则：做一件事，它需要被分成子步骤。第一步有不同的方法，第二步有不同的方法，第一步有不同的方法。然后有不同的方法来完成它。也叫乘法原理。(3)加法原理和乘法原理的综合应用如果完成一件事情的各种方法是相互独立的，那么在计算完成这件事情的方法的数量时应该使用分类计数的原则。如果完成一件事情的步骤是相互关联的，也就是说，每一步都

2、必须在完成之前完成，那么在计算完成这件事情的方法的数量时，就应该使用逐步计数的原则。分类计数原则和分步计数原则是推导排列数和组合数公式的理论基础，也是解决排列组合问题的基本思想方法。这两个原则非常重要，必须认真学习，正确灵活地运用。2.排列和组合(1)排列：一般来说，从不同的元素中取出任意一个元素并按一定的顺序排列，叫做从不同的元素中取出元素的排列。(拍摄的对象称为元素)排列数：从不同元素中取出的元素的所有排列数被称为从不同元素中取出的元素的排列数，用符号表示。排列数的公式：和。总的安排：一般来说，把所有不同的元素都取出来的安排叫做不同元素的总安排。的阶乘：从到的正整数的连续乘积称为的阶乘，用

3、。规定如下：(2)组合：通常，从一个不同的元素中随机抽取一个元素，并将其分组，这称为一个元素与一个元素的组合。组合数：从不同元素中任意取出的所有元素的组合数，称为从不同元素中任意取出的元素的组合数，用符号表示。组合数字公式：和。组合数的两个属性：属性1:自然2:(指定)(3)排列组合综合问题要解决排列组合问题，首先必须运用两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清它是分类还是分步、排列还是组合，同时掌握一些常见排列组合问题的解法：1.特殊元素和特殊位置优先方法元素优先法：首先考虑有约束的元素的需求，然后考虑其他元素；位置优先法：首先考虑受限位置的要求，然后考虑其他位置；2.分类和分步方法：对于比

4、较复杂的排列组合问题，往往需要讨论分类或分步计算，而且要分类清楚，层次清楚，不能重复。3.排除法是一种间接解决问题的方法，它从整体上排除不合格方法的数量。4.绑定方法：某些元素必须相邻排列。您可以首先将相邻的元素“捆绑”成一个元素，并将其与其他元素排列在一起，然后将它们排列在“元素捆绑”中。5.插值方法：当一些元素相邻排列时，可以先排列其他元素，然后对不相邻的元素进行插值。6.插件板方法：将相同的元素分成多个组，每个组至少有一个分组问题。将元素排列成一行，选择一个空白空间，并为每个元素插入一个隔板。7.分组和分配方法：分组问题(分成几堆，杂乱无章)。有相等的部分，不等的部分和部分的部分。一般来

5、说，它是均匀地分成桩(组)，这必须除以！如果存在具有相同数量元素的堆(组),8.错位法：把从1到1的球放入从1到1的盒子里，每个盒子里放一个球。要求球和盒子的数量不同。这种排列称为位错排列，特别是当3、4和5的位错数分别为1、2、9和44时。5、6、7元素位错排列的计算可用消去法转化为21.安排和组合应用问题，主要检查附加条件的应用问题。解决这些问题通常有三种方法：元素分析法：元素是主要元素，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；区位分析方法：区位是主要考虑因素，即先满足特殊区位的要求，再考虑其他区位；间接法：不考虑附加条件，计算排列或组合的数量，然后减去不符合要求的排列或组合的数量。解题时

6、，要注意将具体问题转化或化简为排列或组合问题；然后通过分析，确定是采用分类计数原则还是分步计数原则；然后分析话题条件，避免“选择”中的重复和遗漏；最后，列出了计算答案的公式。2.解决问题的具体策略是：(1)优先考虑特殊元素；2 .理解问题的含义后，合理准确地进行分类，分类后验证是否不重；3对于提取一些元素进行排列的问题，一般先选择后排，以防重复；(4)对于相邻元素的情况，采用绑定方法；对于单元间距排列问题，采用插入法或分割法；固定顺序问题用除法处理；几行的问题可以转化为直接行的问题；如果正面考虑太复杂，可以考虑负面考虑。对于一些排列数和组合数的问题，有必要建立模型。典型案例分析排队问题例1三个

7、女孩和五个男孩排成一排(1)如果女孩必须被安排在一起，会有多少不同的安排？(2)如果女孩必须完全分开，会有多少种不同的安排？如果女孩不能被安排在两端，会有多少种不同的安排？示例2个人站成一排：(1)甲、乙双方必须相邻的地方，有多少种不同的安排？(2)甲、乙双方不相邻时，有多少种不同的安排方式？(3)对于不站在前面和后面的甲、乙双方有多少种不同的安排？(4)其中，甲不站在头部，乙不站在尾部。有多少种不同的方法？例3七名学生排队拍照。(1)如果分成两排，前排有3人，后排有4人。有多少不同的行？如果照片排成两排，前排有3人，后排有4人，但A必须在前排，B必须在后排。有多少种不同的安排？(3)如果照片

8、排成一排，三个人必须相邻。有多少种不同的安排？如果你连续拍照，7个人里有4个男生和3个女生，女生不能相邻。有多少不同的行？示例4团队成员被排列成一排，(1)有多少种不同的安排？如果A必须站在顶端，有多少种不同的安排？(3)如果A不能站在头部或尾部，问有多少不同的行？例5五个字母排成一行，它们之间的位置关系必须基于这样的原则，即A在前面，B在中间，C在后面。有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _种排列方式(用数字回答)。示例6使用1到8形成八位数而不重复数字要求1和2相邻，3和4相邻，5与6相邻，但7与8不相邻。有_ _ _个这样的八位数(用数字回答)。例7记者想给志愿者和他们帮助的老人拍

9、照。他们被要求排成一排。老年人是相邻的，但不是在两端。有不同的行()A.物种b物种c物种d。例8学生们合影，站在前排和后排。现在摄影师不得不例10在所有数字和符号的五个元素的全排列中，任意两个数字不相邻的全排列数是()美国广播公司示例11计划展示10幅不同的绘画作品，包括一幅水彩画、四幅油画和五幅国画，这些作品被连续展示。要求同一品种的画必须连接在一起，水彩画不应该放在两端，所以有_ _ _ _ _种不同的展示方法。例12六个人站成一排，而甲不站在前排，乙不站在后排。有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

10、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _例13有7个座位和4个人坐在一条长凳上。在3个空缺席位中，2个空缺席位相邻，另一个空缺席位不与2个相邻席位相邻。有多少种坐姿？例14一个男孩和一个女孩站成一排。如果一个男孩没有站在两端，只有两个女孩相邻，那么不同的行数是()工商管理硕士例15古代“五行”理论认为：“物质分为五种属性：金、木、土、水和火，金克木、木和土、土和水、水和火、火和金。”五种不同属性的材料随机排列成一行，但排列中属性相似的两种材料不相邻，所以有几种这样的排列方法(结果用数值表示)。例16在的任何

11、排列中，有()种排列使两个相邻的数互为素数。A.学士学位示例17从集合中选取两个元素，并将它们排列成一行(字母和数字不能重复)。每行最多可以出现一个字母和数字的不同排列方法的数量是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(用数字回答)示例18从集合中选取一个元素并将其排列成一行(字母和数字不能重复)。每行最多可以出现一个字母和数字的不同排列方法的数量是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(用数字回答)例19一个人坐在一排座位上，问道(1)当空位不相邻时，有多少种坐法？当只有一个相邻座位时，有多少种坐姿？(3)每个空位最多有一个相邻的坐法。例20一个男孩和一个

12、女孩站成一排。如果一个男孩没有站在两端，只有两个女孩相邻，那么不同的行数是()美国广播公司例21十二个学生站在前排，四个人和八个人在后排，拍了一张集体照。现在摄影师需要从后排画两个人来适应前排。其他方法的相对顺序不变，因此不同调整方法的总数为()A.学士学位例22两部不同的小说由第一、第二、第三和第四卷组成，每一卷总共有四本书。如果它们随机排列成一排，左边的书都属于同一本小说的概率是_ _ _ _ _。例233月中旬，中国南方部分地区遭遇了历史上罕见的雪灾，动力煤库存紧张。为了支援南方的救灾工作，国家统一部署，加强了北方煤矿区的动力煤运输。某铁路货运站组织调度了热煤货运列车，并决定将列车组织成

13、两组，每组一列，列车甲和列车乙不在同一组。如果A组中的列车先离开，那么列车有不同的发车顺序。A.物种b物种c物种d。数字问题示例24给定数字、每个数字最多使用一次。(1)可以形成多少个四位数？(2)可以形成多少个四位数的奇数？(3)可以形成多少个四位数的偶数？(4)可以形成多少个自然数？例25从0到9的10个数字可以组成多少个不重复的四位数偶数？示例261、3、5、7和9中的任意三个数字和0、2、4、6和8中的任意两个数字可以组成多少个不同的五位数偶数？示例27有多少五位数字对排列在一个数字中而不重复的五位数字感到满意？例28这十个数字用来构成四位数而不重复数字。如果千位数和一位数之差的绝对值

14、是0，那么有多少个这样的四位数？示例29有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _例30分别有一张标有数字的红色卡片和一张标有数字的蓝色卡片。从这张卡片中取出卡片，并把它们排成一行。如果取出的卡片上标记的数字之和等于，则有几个不同的排列数字。；示例31有些卡片分别标有数字、拿出卡片，把它们排成一排。如果需要中间一行两张卡片上的数字之和，则共享不同的排列方法()A.物种b物种c物种d。例32分别有一张标有数字的红色卡片和一张标有数字的蓝色卡片。从这张卡片中取出卡片，并把它们排成一行。如果取出的卡片上标明的数

15、字之和等于，有_ _ _ _ _种不同的排列方法(用数字回答)。示例33使用1、2、3、4、5和6形成六位数(不重复数字)要求任何两个相邻的数字具有不同的奇偶性，并且1和2是相邻的。这种六位数的数字是_ _ _ _ _ _ _ _ _(用数字回答)。示例34数字可用于形成不重复的数字，偶数和更大的数字共享()A.哥伦比亚特区华盛顿例35从这个数中，取出两个，使它们的和为偶数，然后你就可以得到这些不同的偶数？示例36在用于查找无重复号码的六位数字中，有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。示例37数字用于形成四位数而不重复数字，其中一位数、十位数和一百位数的总和为偶数。总共有四位数字(用数学回答)。例38从这六个数字中取两个奇数和两个偶数，没有重复数字的四位数是()A.学士学位示例39从这六个数字中取两个奇数和两个偶数，不重复数字的四位数为()A.学士学位示例40从九个数字中取三个偶数和四个奇数。(1)可以形成多少个没有重复数字的七位数？任何两个偶数不相邻的地方有