初中数学几何的动点问题专题练习-版

1、动点问题专题训练动点问题专题训练 1、如图，已知ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点 （1）如果点P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等， 经过 1 秒后，BPD与 A CQP是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度 为多少时，能够使BPD与CQP全等？ （2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度 B 从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点

2、P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？ D Q P C 3 2、直线y x6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发， 4 同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为 每秒 1 个单位长度，点P沿路线OBA运动 （1）直接写出A、B两点的坐标； （2） 设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S， 求出S 与t之间的函数关系式； 48 （3）当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点 5 O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 P x y B OQ A 3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，点 P（0，k）是

3、 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3 为半径 作P. （1）连结 PA，若 PA=PB，试判断P 与 x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当 k 为何值时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3，4） ， 点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H （1）求直线 AC 的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P 从点 A 出发，沿折线ABC 方向以 2 个单位 秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面

4、积为 S（S0） ，点P 的运动时间 为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，MPB 与BCO 互为余角，并求 此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值 5 在 Rt ABC 中，C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-B

5、C-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0） E （1）当 t = 2 时，AP =，点 Q 到 AC 的距 Q 离是； D （2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ AC P 的面积 S 与 图 16 t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范围） （3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由； （4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 6 如图，在RtABC中，ACB 90 ，B 60，BC 2点

6、O是 AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆 时针旋转，交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设 直线l的旋转角为 A （1）当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD 的长为； 当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD 的长为； （2）当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由 A E O D l C B C O B （备用图） 7 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD 3，DC 5，AB 4 2，B 45动 点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动； 动点N同 时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点 AD D运

7、动设运动的时间为t秒 （1）求BC的长 （2）当MNAB时，求t的值 N （3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 BC M 8 如图 1， 在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点， 过点E作EFBC 交CD于点FAB4，BC 6，B 60. （1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF交BC于点M，过M作 MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EP x. 当点N在线段AD上时（如图 2） ，PMN的形状是否发生改变？若不变，求 出PMN的周长；若改变，请说明理由； 当点N在线段DC上时（如图 3） ，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？ 若存在

8、，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由. N AAADDD N F C E B 图 1 A E B F CB E P F C B E P M D F C 图 4（备用） 图 2 D M 图 3 （第 25 题）A E B 图 5（备用） F C 9 如图，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10） ， （8，4） ，点C在第 一象限动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运 动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两 点同时停止运动，设运动的时间为t秒 (1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图

9、象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速 度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标； (3)在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与 PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由 10 数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点AEF 90o， 且 EF 交正方形外角DCG的平行线 CF 于点 F， 求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME， 则 AM=EC，易证AMEECF，

10、所以AE EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成 立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明 理由； （2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论 “AE=EF” 仍然成立 你认为小华的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由 A D F B EC 图 1 G B EC 图 2 A D F GB 图 3 C EG F

11、A D 11 已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB 90 ，OA 2，OB 4如图， 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边 AB交于点D y（）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； B x OA （）若折叠后点B落在边OA上的点为 B ，设OB x，OC y，试写出y关 于x的函数解析式，并确定y的取值范围； B y x OA （）若折叠后点B落在边OA上的点为 B ，且使BDOB，求此时点C的坐 标 y B x OA 12 如图（1） ，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上 F MCE1 A D 一点E（不与点C，D重合） ， 压平后得到折痕

12、MN 当 CD2AM 时，求的值 BN E 方法指导： 为了求得 AM 的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 BBN C N 图（1） 类比归纳 CE1AMCE1AM 在图 （1） 中， 若则的值等于； 若则的， CD3BNCD4BN CE1AM 值等于；若，则的值等于 （用含n（n为整数） CDnBN 的式子表示） 联系拓广 如图 （2） ， 将矩形纸片ABCD折叠， 使点B落在CD边上一点E（不与点C，D AB1CE1AM 重 合 ） ， 压 平 后 得 到 折 痕MN，设则的 值 等 m 1， ， BCmCDnBN 于 （用含m，n的式子表示） F M DA E BC N 图（2

13、） 12.如图所示，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，A90，AB12，BC21， AD=16。动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动， 动点 Q 同时从点 A 出发，在线段 AD 上以每秒 1 个单位长的速度向点 D 运动， 当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。 设运动的时间为（秒）t。 （1）设DPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式； （2）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 是平行四边形？ （3）分别求出出当 t 为何值时， PDPQ， DQPQ ？ 13.三角形 ABC 中，角 C=90 度，角 CBA=30 度，

14、BC=20 根号 3。一个圆心在 A 点、 半径为 6 的圆以 2 个单位长度/秒的速度向右运动，在运动的过程中，圆心始终 都在直线 AB 上，运动多少秒时，圆与ABC 的一边所在的直线相切。 1.解： （1）t 1秒， BP CQ 31 3厘米， AB 10厘米，点D为AB的中点， BD 5厘米 又PC BC BP，BC 8厘米， PC 835厘米， PC BD 又AB AC， B C， BPDCQP （4 分） vP vQ， BP CQ， 又BPDCQP，B C，则BP PC 4，CQ BD 5， 点P，点Q运动的时间t vQ BP4 秒， 33 CQ515 （7 分）厘米/秒 4 4t

15、3 （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得 解得x 15 x 3x210， 4 80 秒 3 80 点P共运动了 380厘米 3 80 22824， 点P、点Q在AB边上相遇， 经过 80 秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 （12 分） 3 2.解（1）A（8，0）B（0，6） 1 分 （2）Q OA8，OB 6 AB 10 8 Q点Q由O到A的时间是8（秒） 1 610 点P的速度是 2（单位/秒） 1 分 8 当P在线段OB上运动（或 0t3）时，OQ t，OP 2t S t21 分 当P在线段BA上运动（或3 t8）时，OQ t，AP 6102t 162t, 如图，作PD

16、OA于点D，由 PDAP486t ，得PD ，1 分 BOAB5 1324 1 分S OQPD t2t 255 （自变量取值范围写对给1 分，否则不给分 ） （3）P， 1 分 8 24 5 5 8 24 12 24 12 24 I 1 ， ，M 2 ， ，M 3 ， 3 分 555555 3.解： （1）P 与 x 轴相切. 直线 y=2x8 与 x 轴交于 A（4，0） ， 与 y 轴交于 B（0，8） ， OA=4，OB=8. 由题意，OP=k， PB=PA=8+k. 在 RtAOP 中，k2+42=(8+k)2， k=3，OP 等于P 的半径， P 与 x 轴相切. （2）设P 与直线

17、 l 交于 C，D 两点，连结PC，PD 当圆心 P 在线段 OB 上时,作 PECD 于 E. PCD 为正三角形，DE= PE= 13 CD=，PD=3， 22 3 3 . 2 AOB=PEB=90， ABO=PBE， AOBPEB， 3 3 AOPE4 ,即= 2 ， ABPB4 5PB 3 15 , 2 3 15 ， 2 PB PO BO PB 8 P(0, k 3 15 8)， 2 3 15 8. 2 3 15 8)， 2 当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P(0, k= 3 15 8， 2 3 153 15 8 或 k=8 时， 以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P

18、 为顶点的三 22 角形是正三角形. 当 k= 4. 5.解： （1）1，； 8 5 （2）作QFAC于点F，如图3， AQ=CP=t，AP 3t 由AQFABC，BC 5232 4， 得 QFt4 QF t 455 1 2 4 5B S (3t)t， 即S t2t （3）能 当 DEQB 时，如图 4 DEPQ，PQQB，四边形 QBED 是直角梯形 此时AQP=90 AQAP 由APQ ABC，得， ACAB 2 5 6 5 E Q A D P C 图 4 B 即 t 3 3t9 解得t 58 Q D A P E C 如图 5，当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形 此时

19、APQ =90 由AQP ABC，得 AQAP ， ABAC t3t15 即 解得t 538 图 5 B （4）t 545 或t 214 Q G点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C 连接 QC，作 QGBC于点G，如图6 34 PC t，QC2 QG2CG2 (5t)24(5t)2 55 534 由PC QC，得t (5t)24(5t)2，解得t 255 22 D A P C(E) B G 图 6 Q 2 点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C，如图7 34 (6t)2 (5t)24(5t)2，t 45 】 55 14D C(E) A P 6.解（1）30，1；60，1.5；

20、4 分 图 7 0 （2）当=90 时，四边形EDBC是菱形. =ACB=90 ，BC/ED. CE/AB, 四边形EDBC是平行四边形.6 分 在 RtABC中，ACB=90 ，B=60 ,BC=2, A=30 . 0 00 0 AB=4,AC=2 3. AO= 1 AC=3 .8 分 2 0 在 RtAOD中，A=30 ，AD=2. BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC是平行四边形， 四边形EDBC是菱形10 分 7.解：（1） 如图， 过A、则四边形ADHKDH BC于H，D分别作AK BC于K， 是矩形 KH AD 3 1 分 sin45 4 2 在RtABK中，AK ABg 2

21、 4 2 BK ABgcos45 4 2g 2 4 2 分 2 在RtCDH中，由勾股定理得，HC 52423 BC BK KH HC 43310 3 分 AD AD N C BC B K H G M （图） （图） （2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 MNAB MNDG BG AD 3 GC 103 7 4 分 由题意知，当M、N运动到t秒时，CN t，CM 102t DGMN NMC DGC 又C C MNCGDC CNCM 5 分 CDCG t102t 即 57 50 解得，t 6 分 17 （3）分三种情况讨论： 当NC MC时，如图，即t 102t

22、t B 10 7 分 3 AD N C B （图） C AD N M （图） MHE 当MN NC时，如图，过N作NE MC于E 解法一： 11 MC 102t 5t 22 EC5t 在RtCEN中，cosc NCt CH3 又在RtDHC中，cosc CD5 5t3 t5 25 解得t 8 分 8 由等腰三角形三线合一性质得EC 解法二： C C，DHC NEC 90 NECDHC NCEC DCHC t5t 即 53 25 t 8 分 8 11 当MN MC时，如图，过M作MF CN于F点.FC NC t 22 解法一： （方法同中解法一） 1 t FC3 cosC 2 MC102t5 6

23、0 解得t 17 解法二： C C，MFC DHC 90 MFCDHC B AD N F H M C （图） FCMC HCDC 1 t 102t 2 即 35 60 t 17 102560 综上所述，当t 、t 或t 时，MNC为等腰三角形 9 分 3817 8.解（1）如图 1，过点E作EG BC于点G 1 分 E为AB的中点， AD 1 BE AB 2 2 FE 在RtEBG中，B 60，BEG 302 分 1 BG BE 1，EG 22123 BC2 G 即点E到BC的距离为 3 3 分 （2）当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变 PM EF，EG EF，PM EG EFB

24、C，EP GM，PM EG 3 同理MN AB 44 分 如图 2，过点P作PH MN于H，MNAB， NMC B 60，PMH 30 N AD PH 图 1 13 PM 22 B E P H F C 图 2 3 MH PMgcos30 2 35 则NH MN MH 4 22 2 G M 5 3 22 在RtPNH中，PN NH PH 7 2 2 PMN的周长=PM PN MN 3 7 4 6 分 当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角 形 当PM PN时，如图 3，作PR MN于R，则MR NR 2 3 2 MN 2MR 37 分 MNC是等边三角形，MC MN

25、 3 此时，x EP GM BC BGMC 613 2 8 分 类似，MR A E B P R G M 图 3 D N F CB A E P D F N C B A E D F（P） N C G 图 4 MG 图 5 M 当MP MN时，如图 4，这时MC MN MP 3 此时，x EP GM 61 3 53 当NP NM时，如图 5，NPM PMN 30 则PMN 120，又MNC 60， PNM MNC 180 因此点P与F重合，PMC为直角三角形 MC PMgtan30 1 此时，x EP GM 611 4 综上所述，当x 2或 4 或 53 时，PMN为等腰三角形 10 分 9 解：

26、（1）Q（1，0） 1 分 点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度2 分 （2） 过点B作 BFy 轴于点F，BEx轴于点E，则BF8，OF BE 4 AF 104 6 y 在 RtAFB 中，AB 8262103 分 过点C作CGx轴于点G，与FB的延长线交于点H ABC 90, AB BCABFBCH BH AF 6, CH BF 8 OG FH 86 14,CG 84 12 所求 C 点的坐标为（14，12） 4 分 （3） 过点 P 作 PMy 轴于点 M，PNx轴于点 N， 则APMABF APAMMPtAMMP ABAFBF1068 D C A M F ONQ P H G x B

27、E 3434 AM t，PM tPN OM 10t, ON PM t 5555 设OPQ 的面积为S（平方单位） 13473 S (10t)(1t) 5t t2（0t10） 5 分 251010 说明:未注明自变量的取值范围不扣分 473 0当t 时， OPQ 的面积最大 6 分 3 610 2() 10 47 10 a 此时 P 的坐标为（ 9453 ，） 7 分 1510 5295 （4）当t 或t 时，OP 与 PQ 相等9 分 313 10.解： （1）正确（1 分） 证明：在AB上取一点M，使AM EC，连接ME（2 分） D A ，BME 45AME 135BM BE F MQ C

28、F 是外角平分线， DCF 45， B ECG ECF 135 AME ECF Q AEBBAE 90，AEBCEF 90， BAE CEF （5 分）AMEBCF（ASA） （6 分）AE EF （2）正确 （7 分） 证明：在BA的延长线上取一点N 使AN CE，连接NE（8 分） N F BN BE D A N PCE 45 Q四边形ABCD是正方形， ADBE B C EG DAE BEA NAE CEF （10 分）ANEECF（ASA） AE EF （11 分） 11.解（）如图，折叠后点B与点A重合， 则ACDBCD. 设点C的坐标为0，mm 0. 则BC OBOC 4m. 于是

29、AC BC 4m. 在RtAOC中，由勾股定理，得AC OC OA， 即4m m 2 ，解得m 22 2 222 3 . 2 3 点C的坐标为0，.4 分 2 （）如图，折叠后点B落在OA边上的点为 B , 则BCDBCD. 由题设OB x，OC y， 则BC BC OBOC 4 y， 在RtBOC中，由勾股定理，得BC OC OB. 222 4 y y2 x2， 1 2 6 分x 2 8 由点 B 在边OA上，有0 x2， 1 解析式y x220 x2为所求. 8 即y 2 Q当0 x2时，y随x的增大而减小， 3 7 分y的取值范围为 y2. 2 （）如图，折叠后点B落在OA边上的点为 B

30、 ，且BDOB. 则OCB CBD. 又Q CBD CBD， OCB CBD，有CBBA. RtCOBRtBOA. OB OC 有，得OC 2OB. 9 分 OAOB 在RtBOC中， 设OB x0 x 0，则OC 2x0. 由（）的结论，得2x0 1 2x 0 2， 8 解得x 0 84 5 Q x 0 0， x 0 84 5. 点C的坐标为0， 8 5 16 . 10 分 12 解：方法一：如图（1-1） ，连接BM，EM，BE F M A D B N 图 （1-1） C E 由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称 MN垂直平分BEBM EM，BN EN 1分 四边形AB

31、CD是正方形， A D C 90,AB BC CD DA 2 CE1 ， CE DE 1 设BN x，则NE x， NC 2 x CD2 在RtCNE中，NE CN CE 222 55 ，即BN 3分 44 在RtABM和在RtDEM中， AM2 AB2 BM2， DM2 DE2 EM2， AM2 AB2 DM2 DE2 5分 2 222 设AM y，则DM 2 y，y 2 2 y1 11 解得y ，即AM 6分 44 AM1 7分 BN5 5 方法二：同方法一，BN 3分 4 如图（12） ，过点N做NGCD，交AD于点G，连接BE x22 x12解得x 2 F GM A D E B C N 图（1-2） ADBC，四边形GDCN是平行四边形 NG CD BC 同理，四边形ABNG也是平行四边形AG BN MN BE， EBC BNM 90 Q NG BC， MNGBNM 90 ， EBC MNG 在BCE与NGM中 5 4 EBC MNG， BC NG，BCENGM，EC MG 分 C NGM 90 AM AGMG，AM= 类比归纳 51 6分 1 44 AM1 7分 BN5 2n1 249 （或） ；10 分