线性代数 矩阵的特征值与特征向量

1、1 特征值与特征向量、相似矩阵,1 特征值与特征向量、相似矩阵,第五章 矩阵的特征值与特征向量,2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化,1 特征值与特征向量、相似矩阵,一、特征值与特征向量,二、相似矩阵,1 特征值与特征向量、相似矩阵,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,一、特征值与特征向量,定义1：,列向量 ，使得,则称数 为方阵a的一个特征值，非零向量 称为,设a是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零,a的属于特征值 的一个特征向量.,注：,存在非零向量 使,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,设 是一个未知量，矩阵称为a的,定义2:,特

2、征矩阵，它的行列式,特征方程，其根称为a的特征根，即a的特征值.,称为a的特征多项式. 方程 称为a的,注. n阶方阵a在复数范围内有n个特征值.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,（1 ）,若 是a的属于特征值的特征向量，则,也是a的属于的特征向量.,（3） 特征向量不是被特征值所唯一确定的.,（4） 特征值是被特征向量所唯一确定的.,（一个 特征值可以有多个特征向量）,（一个特征向量只能属于一个特征值）,（2）,也是a的属于的特征向量.,若 是a的属于特征值的特征向量，,则 不全为零,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,求矩阵的特征值与特征

3、向量的一般步骤,全部特征值.,i)求a的特征多项式 的全部根，它们就是a的,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,例1.求矩阵 的特征值与特征向量.,例2.求矩阵 的特征值与特征向量.,例3.求矩阵 的特征值与特征向量.,例题（p160-163）,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,性质1：n阶矩阵a与它的转置矩阵 的特征值相同.,性质3：已知为n阶矩阵a的一个特征值，则,（1） 必有一个特征值为;,（2） 必有一个特征值为;,主要性质, a的全体特征值的和, a的全体特征值的积,性质2：设n阶矩阵 ，则,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特

4、征向量、相似矩阵,（3） 必有一个特征值为;,（4）a可逆时，必有一个特征值为;,（5）a可逆时，必有一个特征值为；,（6）多项式 必有一个特征值为.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,例4.设3阶矩阵a满足 ，则a的特征值,只能是1或2.,证明：由 得,即，,从而， 或,即a的特征值只能是1或2.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,例6.已知3阶矩阵a的特征值为：1，2，3，求,行列式 .,例5：已知3阶矩阵a的特征值为：1，1，2，,则矩阵的特征值为：，,行列式 .,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,特征值 的特

5、征向量，则,定理1. 设 是 阶矩阵a的属于互不相同的,线性无关.,（属于矩阵a的不同特征值的特征向量线性无关.）,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,值， 是a的属于特征值,定理2. 设 是 阶矩阵a的互不相同的特征,的线性无关特征向量，则向量组,线性无关.,（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量， 合在一起仍为线性无关）.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,二、相似矩阵,1定义,设a，b为两个n阶矩阵，若存在可逆矩阵p，使得,则称矩阵a相似于b，p称为相似变换矩阵.,2基本性质,（1）相似矩阵的转置矩阵也相似.,（2）相似矩阵的幂矩

6、阵也相似.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,（3）相似矩阵的多项式也相似.,（4）相似矩阵的秩相等.,（5）相似矩阵的行列式相等.,（6）相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其,逆矩阵也相似.,定理3. 相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,推论. 设n阶矩阵a与对角矩阵,相似，则 就是a的n个特征值.,注. 若矩阵a与对角矩阵相似，则可方便求出a的幂,及a的多项式.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化,一、矩阵可对角化的条件,二、实

7、对称矩阵的对角化,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,称矩阵a可对角化.,定义1：矩阵a是一个 阶方阵，若存在可逆矩阵,，使 为对角矩阵，即a与对角矩阵相似，则,一、矩阵可对角化的条件,定理1 ：设矩阵a 是一个 阶方阵，则a可对角化,有 个线性无关的特征向量.,推论 若n阶矩阵a有n个不同特征值，则a可对角化.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,定理2 ：设矩阵a 是一个 阶方阵，则a可对角化,属于a的每个特征值的线性无关特征向量的个数,等于该特征值的重数.,对角化的判断,步骤:,1求出矩阵a的全部互不相等的特征值,2对每一个特征值 ，求出齐

8、次线性方程组,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,的一个基础解系（此即a的属于 的全部线性无关,的特征向量）.,3若全部基础解系所含向量个数之和等于n ，则,矩阵a可对角化；否则a不可对角化.,4以这些解向量为列，作一个n阶方阵p，则p可逆，,就是对角矩阵，对角矩阵对角线上元素是a的,互不相等的特征值.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,例1. 问a是否可对角化？若可，求可逆矩阵p，使,为对角矩阵. 这里,得a的特征值是2，2，-7 .,解: a的特征多项式为,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,对于特征值2，求出齐次线性方程组,对于特征值7，求出齐次方程组,的一个基础解系:,的一个基础解系:,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,令,则,所以a可对角化.,1 特征值与特征向量、相似矩阵 特征值与特征向量、相似矩阵,例2设,则求一可逆矩阵p，使 成对角形；,解: a的特征多项式为,求得a