质心运动课件

1、1,力学(mechanics),第1章 质点运动学 第2章 牛顿力学的基本定律 第3章 动量变化定理和动量守恒 第4章 功和能 第5章 角动量变化定理和角动量守恒 第6章 质心力学定理 第7章 刚体力学 第8 第9 第10章 流体力学* 第11章 哈密顿原理*,2,6-1. 质心动量定理 6-2. 质心动能定理 6-3. 质心角动量定理 6-4. 有心运动方程与约化质量,第6章质心力学定理,3,旋轮线:教材p25习题1.4, 质点系运动 质心运动各质点相对于质心的运动,4,6-1 质心动量定理,一. 质心,对质点系, 总有一特殊点，其运动和质点系的所有质量集中于该处的质点运动相同 质心, 以质

2、点系各点质量为权重的系统位置的平均值,以两质点系统为例：,若有一点xc，使,xc就是m1和m2的质心位置,质心 质点系统的质量中心,（杠杆关系）,5,推广到3维质点系，若n个质点的位矢为,二.质心坐标,质点系总质量,则质心的位置:,直角坐标系中质心的位置坐标：,即:,6,一维线状物体:,质量线密度,二维面状物体:,质量面密度,三维物体:,质量体密度,对质量连续分布的物体，可将其分为无穷多个小质元dm,则质心位置:,直角坐标系中质心位置坐标：,7,例：质量为m，长度为l 的均匀细杆弯成半圆形，如图放置. 求质心的位置。,解：,取任意弧元ds rd,任意弧元ds的位置坐标：,8, 重心，质心属物体

3、固有，与外界无关，但二者可能重合, 若物体的质量均匀分布+几何对称性其质心在几何对称中心, 已知系统各部分的质心，可求整个系统的质心, 质点系运动 质心运动各质点相对于质心的运动,那么质心的运动情况由什么决定呢？,注意：, 质心不一定在物体内部,9,三.质心动量,对任一参照系，质心运动速度：,定义：,质心动量,质点系的总质量乘以质心的速度=质心动量,对任一参照系，质心动量等于质点组总动量,质点系的总动量,10,四.质心运动定理,而质点系的总动量=质心动量：,因为惯性系中质点系统满足牛顿定律,即：,质心运动定理,作用在质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积,（质心运动定理本身只对惯

4、性系成立!）,质心的运动状态变化只由系统所受的合外力决定，与内力无关。,质点系统所受的合外力等于系统总动量的时间增加率,11,质心能作为质点系整体运动的代表!,质心的运动满足：,12,质心动量变化定理,质心动量的改变量等于质点系合外力的冲量.,五.质心动量变化定理,质心运动定理：,质心的动量变化只由系统所受的合外力冲量决定，与内力无关。,积分形式,微分形式,13,凡是由牛顿定律直接导出的关于质点运动的 定理 (如动量定理, 动能定理, 角动量变化 定理等) 都适用于质点系的质心, 只要将质点 的质量换为质点系的总质量, 将力换为质点系 的合外力(且认为所有力都作用于质心)即可!,实际上,14,

5、质心系固定在运动物体上且将坐标原点定在其质心上的坐标系,质心的位置：,质心的速度：,质心的加速度：,六. 质心参考系,在选定的某参照系和坐标系中,质心坐标为：, (1) 质心系cxyz中，,质心的动量0；动能0,（用带撇的符号表示质心系中的量）,s,15, (3) 质心系可能是惯性系， 也可能是非惯性系.,(4) 当质点组所受合外力为零时， 质心系是理想的惯性系， 否则质心系是非惯性系.,由质心运动定理,对某惯性系有:,质点组所受合外力为零时其质心系必为惯性系, (2)因对任一参照系，质点组总动量=质心动量，即：,合外力为零的系统，其质心相对某惯性系必静止或匀速直线运动,质心系中质点组总动量为

6、零!,质心系中，质点组总动量=质心动量,=0,s,16,在质心系中，质点组的总动量恒为零（不变），即动量守恒定律在质心系中恒成立！,（质心系中质心的加速度为零）,（质心系中的质心运动定律）,在质心非惯性系中惯性力和外力完全抵消，故系统总动量守恒，且恒为零。,为什么动量守恒定律在质心非惯性系中也成立？,但质心系可能是惯性系，也可能是非惯性系,怎么理解这个结论？,若质心系是非惯性系，则质心系中有:,17,6-2. 质心动能定理,质心系中质点组的总动能为零吗？,质点组总动量等于质心动量,质点组总动能=质心动能吗？,质心系中质点组总动量为零!,18,定义：,质心动能,质点组总动能,是否相等？,对某参照

7、系s，,一个质点组的质心在c，如图,s,质心动能定理(科尼希定理),质点组总动能 = 质心动能 + 质点组相对质心的动能,对某参照系，质点组总动能：,可以证明：,一.质心动能定理,(科尼希定理),是质点组相对质心的总动能,速率,19,如图：,质点组总动能：,对某参照系s，,对某参照系s，,即：,科尼希定理:,证明如下：,s,20,质心系中质点组总动量,质心动能定理(科尼希定理),质点组总动能 = 质心动能 + 质点组相对质心的动能,质心系中，,质心系中的质心动量,对某参照系，质点组总动能：,质心系中，质点组总动能 = 质点组相对质心的动能,21,二.质点组的重力势能与质心重力势能,定义：,质心

8、重力势能,质点组总重力势能,是否相等？,即,质点组总质量,若质点组中各质点所在位置的重力加速度相同,则,若质点组中各质点所在位置的重力加速度相同,则质心重力势能 = 质点组总重力势能,22,6-3. 质心角动量定理,定义：,质心角动量,质点组总角动量,一.质心角动量,是否相等？,对o点，,对参考点o，,是质点组相对质心的总角动量,可以证明：,质点组对o点的总角动量 = 质心对o的角动量 + 质点组相对于质心的角动量之矢量和.,23,对o点，,质点组对参考点o的总角动量 = 质心对o的角动量 + 质点组相对质心的角动量之矢量和,证明如下：,24,质心对o的角动量,质点组对o点的总角动量 = 质心

9、对o的角动量 + 质点组相对于质心的角动量之矢量和.,质点组相对质心的总角动量,对参考点o，,质点组总角动量：,质心系中质点组总动量,质心系中的质心动量,25,二.质心角动量变化定理,( 都对同一参考点 ),质心角动量变化定理与单质点的完全相同!,质心角动量:,合外力作用于质心而产生的力矩,对某参考点,质心角动量的时间变化率等于合外力作用于质心而产生的对该点的力矩,对参考点o,质心角动量变化定理,对o点，,26,质点组对质心的角动量变化定理,三.质点组相对质心的角动量变化定理,质点组对某参考点的角动量变化定理:,质点组相对于质心的角动量的时间变化率 = 各外力对质心的总力矩,质点组的角动量变化

10、定理在质心系中成立!,对o点，,上一章有结论：,刚才得到结论：质心对某参考点的角动量变化定理,而,其中：,可证：,27,右边：,质点组对质心的角动量变化定理,质点组对某参考点的角动量变化定理:,因为：,左边：,各外力对质心的总力矩,质点组相对于质心的角动量的时间变化率 = 各外力对质心的总力矩,质点组的角动量变化定理在质心系中成立!,对o点，,证明如下：,28,质心力学定理总结,质点组相对于质心的角动量的时间变化率 = 各外力对质心的总力矩,对某参考点,质心角动量的时间变化率等于合外力作用于质心而产生的力矩,质点组对点的总角动量 = 质心对的角动量+ 质点组相对质心的角动量之矢量和,若质点组中

11、各质点所在位置的重力加速度相同,则质心重力势能 = 质点组总重力势能,质点组总动能 = 质心动能 + 质点组相对质心的动能,质心动量的改变量等于质点系合外力的冲量,对任一参照系，质心动量=质点组总动量,作用在质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积,29,6-4. 有心运动方程与约化质量,行星运动,30,一.两体系统,c是质心,合外力为零时，m1和m2构成的系统叫两体系统,两体系统的质心位置:,两体系统相对质心的动能:,两体系统相对质心的动能与参照系无关,是两体相对速度,31,二.有心运动方程,若不考虑第三者影响，,两式相减得:,c是质心,行星m与太阳的两体系统,故质心系中牛顿定律

12、成立：,则m和m两体系统的质心系是惯性系,实际上太阳也有运动，日心系是非惯性系,32,叫约化质量,(折合质量),行星运动方程,(有心运动方程),虽然日心系是非惯性系，但只要把行星的真实 质量用约化质量替代，则行星绕太阳运动方程仍具有牛顿 运动方程的表达形式。,33,两体系统合外力为零时，两物体间的相互作用力等于折合质量与二者相对加速度的乘积。,以上讨论和结论对合外力为零的任意两体系统都适用即：,即：,是二者的相对加速度,(折合质量),34,三.日心系可作为准惯性系,行星绕太阳运动方程为,因mm, m,故日心系可作为准惯性系,日心准惯性系的精度,(相对偏差):,故近似地有:,其中：,是行星相对于太阳的矢径,相对偏差很小！,日心系中牛顿定律近似成立,35,例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球， 球的质量m，纸被拉动时与球的摩擦力为 f， 求：t 秒后球心相对桌面移动多少距离？,解：以桌面为参照系,