随机变量的方差、协方差与相关系数4-2

1、江汉大学文理学院,概率论与数理统计,2010年9月12月,数学教研室 梁幼鸣home）mobil）,随机变量的数字特征,第四章,2 随机变量的方差、协方差与相关系数,退出,知识点、考点举要,一基本概念与基本结论,二基础算法与重要演算性质,连续型随机变量数学期望的求法,六个常用随机变量的数学期望,退出,随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望的求法,数学期望的算子演算性质,离散型随机变量数学期望的求法,范例、思考与练习,方差与协方差的具体计算公式与计算步骤,一,四,2 随机变量的方差、协方差与相关系数,三,方差、协方差与相关系数的概念,退出

2、,方差与协方差的算子演算性质,二,式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为,退出,返回,1. 方差、协方差与相关系数的定义, 随机变量x 对其均值的偏差以差的平方的形式所给出,一、方差、协方差与相关系数的概念,的波动，称为该随机变量的方差，记为,亦即, 两随机变量x 与y 对各自均值的偏差以差之乘积的形,亦即,比值，称为二者的相关系数，记为, 两随机变量x 与y 的协方差与该二变量标准差乘积的,亦即,方差的算术平方根 称为随机变量的标准差.,退出,返回,2. 方差与协方差的理论计算公式, 对离散型变量, 对连续型变量,或,或,易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广,并且显然还有,一、方差

3、、协方差与相关系数的概念,退出,协方差（含相关系数）,( 设 c 是常数 ),方差,二、方差与协方差的算子演算性质,退出,方差与协方差（含相关系数）重要性质选证一,返回,二、方差与协方差的算子演算性质,又 x 与y 相互独立时, 总有,当 x 与y 相互独立时, 恒有,以及,从而, 作为协方差的特例，方差也应有,证,退出,方差与协方差（含相关系数）重要性质选证二,返回,二、方差与协方差的算子演算性质,惟当 x 与y 相互独立时,故此时必恒有,一般而论, 总有,由于,证,退出,方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三,返回,二、方差与协方差的算子演算性质,以及,其中 x* 与 y * 是标准随机

4、变量, 并且显然满足,证,即满足,可见,【说明】本例只能求前者的方差,退出,方差,数学期望,返回,二、数学期望与方差的算子演算性质,d( x ) = 4, d( y ) = 1, d( z ) = 3. 试求随机变量 u = 2x + 3y + 1,解,例2-1 设 x, y , z 相互独立, e( x ) = 5, e( y ) = 11, e( z ) = 8.,与随机变量v =yz4x 的数学期望和前者的方差.,难以准确地求出后者的方差. 事实,上，后者的方差只能求出一部分,退出,返回,三、方差与协方差的具体计算公式与计算步骤,1. 方差的具体计算公式与实际计算步骤, 对离散型变量,

5、对连续型变量,退出,返回,2. 协方差的具体计算公式与实际计算步骤, 对离散型变量, 对连续型变量,三、方差与协方差的具体计算公式与计算步骤,是 x 与y 的协方差.,*3. 方差、协方差具体计算中常用数学期望的别称, k 阶原点矩,退出,返回,【注】,就是 x 的数学期望.,x 的一阶原点矩,是 x 平方的数学期望.,x 的二阶原点矩,x 的二阶中心矩,是 x 的方差.,三、方差与协方差的具体计算公式与计算步骤, k + l 阶混合中心矩, k + l 阶混合原点矩, k 阶中心矩,x 的二阶混合原点矩,是 x 与y 乘积的数学期望.,x 的1+1阶混合中心矩,退出,返回,3. 方差与协方差

6、的实际计算公式与计算步骤, 对连续型变量,或,一、数学期望和方差的定性与定量定义,易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广,或,退出,返回,【注2】 显然，对连续随机变量而言,三、随机变量常用矩函数与函数数学期望的一般算法,2. 常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称, k 阶原点矩, k 阶中心矩,x 的一阶原点矩,x 的二阶原点矩,x 的二阶中心矩,例4 -1 已知 x 的分布律如下表所示，试求 e ( x )， e ( x 2 ) 和 e ( 2x3x 2 ).,解,退出,返回,四、范例、思考与练习,解,例4-2 已知 (x ,y )的联合分布律如右表所示. 求 e( x ), e

7、 ( y ) , e ( xy ) 和 e ( xy ) .,注意:,但一般讲,退出,返回,四、范例、思考与练习,例4-3 随机变量x 的概率密度,y = 2x 和 y = e -2x 的数学期望。,试求,解,退出,返回,四、范例、思考与练习,例4 -4 ( x , y ) 的概率密度, e (x) , e (y ) ； e (xy) , e (x 2+y 2) .,试求,y = x,解,x = 1,退出,返回,四、范例、思考与练习,例4 -4 ( x , y ) 的概率密度, e (x) , e (y ) ； e (xy) , e (x 2+y 2) .,试求,y = x,解,x = 1,退

8、出,返回,四、范例、思考与练习,例4-5 x 和y 相互独立, 二者的概率密度,则 e (xy ) ( ).,c. 8 / 3 d. 7 / 3,c,a. 4 / 3 b. 5 / 3,退出,返回,四、范例、思考与练习,退出,例4-6 天若无雨, 水果商每天可赚100元; 天若有雨, 水果商每天损失10元. 一年365天, 贩卖水果地的下雨日约130日. 问水果商在该地卖水果, 每天可期望赚多少钱 ?,返回,水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为,解,从而水果商每天所赚钱数 x 的分布律为,即水果商每天可期望赚 60.82 元 .,100 10,四、范例、思考与练习,寿命不到一年的概率显然为

9、,例4-7 设备的寿命xe( ). 该设备售出一台盈利100元 , 因年内损坏而调换则亏损200元. 求出售一台设备的盈利数学期望.,因此，一台设备出售的盈利值y 有分布律,从而寿命超过一年的概率即,退出,返回,解,可见,四、范例、思考与练习,200 100,第 i 站有人下车记为yi = 1，第 i 站无人下车记为yi = 0, （ i = 1,2, ,10）, 则专线车停车的次数,*例4-8 载有20名旅客的专线车在无下车旅客的车站不停车。设各旅客在指定停靠的10个站下车的可能性相等，且是否下车相互独立，那么若以 x 记专线车停车的次数，则 e（x）= ？,因各站下车的可能性相等，故旅客在

10、任一站下车的概率为1/10，不下车的概率为9/10，从而,，从而就有,退出,返回,解,四、范例、思考与练习,任一弹着点与目标间的距离显然为,*例4-9 用( x , y )记炮击的弹着点坐标. 设坐标xn( 0,2), 坐标y n( 0,2) , 且二者相互独立. 试求弹着点与目标 ( 0, 0 ) 间的平均距离.,x 与y 相互独立，且xn( 0,2), yn( 0,2), ,可见,弹,退出,返回,解,着点与目标间的平均距离应为,从而,四、范例、思考与练习,韩旭里等编概率论与数理统计教材 第四章 习题四 p112p117 批改题 p112: 1. ( 求离散变量的数学期望 ) p113: 5. 11.( 求连续变量的数学期望与方差 ) 7. ( 利用算子演算性质计算数学期望与方差) 8. 9. （利用独立性简化数学期望的求算 ） 10. ( 求连续变量的数学期望 ) 12. ( 对实际问题求数学期望与方差 ),退出,返回,四、范例、思考与练习,退出,返回,p112p113参考答案,四、范例、思考与练习,5.,1.,退出,返回,四、范例、思考与练习,p112p113参考答案,8.,7.,退出,返回,四、范例、思考与练习,p112p113参考答案,10