最优控制课件

1、第四章最优控制原理和应用、最优控制的基本概念、最优控制研究的主要问题：基于建立的被受控对象数学模型，选择容限控制率，使被受控对象按规定要求运行，规定的性能指标达到极小值(或极大值)。 从数学的角度来看，最优控制研究的问题是解决有制约的泛函数极端值问题。最优控制问题、最优控制问题的一般萃取法：满足系统方程的约束条件，在容差控制领域中确定最优控制规律，使系统状态从已知初始状态转移到要求的目标定径套，性能指标达到极值。最优控制的应用类型、I .积分型性能指标最小时间控制最小能量控制最低燃料控制.最终值型性能指标.复合型性能指标，用4.1变分法求解最优控制，用4.1.1泛函数和变量4.1.2欧拉方程4

2、.1.3横断条件4.1.4变分法求解最优控制问题，返回主列表解决泛函数问题因此，变分法的一些主要结果如下，大部分不作证明，但读者可以对照微分学的结果来理解。4.1.1泛函数和变量、某种类的函数分别对应一个实数值，则被称为依赖于函数的泛函数，一般而言，泛函数是以函数为自变量的函数。 (函数的函数)，1，泛函数：首先给出如下定义。 如果是2、泛函数的连续性：、的话，则线性泛函数是连续的，把Jx称为线性连续泛函数。 此外，对于会聚点x0的点阵列xn，其中x0和xn都具有连续的x0泛函数。 关于线性泛函数Jx，将满足以下条件的泛函数称为线性泛函数，在此为实数和函数空间中的函数。3、线性泛函数：4、自变

3、量函数的变量：自变量函数的变量是指属于同一函数类的两个函数、的差，其中，t被视为残奥参数。 对于一维度函数，可以在图4-1中表示。图4-1自变量函数的变量，这里是的线性泛函数，是有关的高次无穷小，称为泛函数Jx的变量。 由此可知，泛函数变分是泛函数增量的线性主要部分。 当、自变量函数变化时，泛函数的增量是、5，泛函数的变量：当一个泛函数具有变量时，此泛函数也可以说是微。 与函数的微分一样，可以通过导出方法来确定泛函数的变量。 定理Jx设为线性向量的模空间Rn上的连续泛函数，x=x0且Jx能够微分时，由于Jx的变化量是下一个线性连续泛函数，因此又是下一个高阶无穷小，因此是泛函数变化量的规则，例如

4、，校正泛函数的变化量看起来像校正函数的微分。 6、泛函数的极端值：如果存在的话，对于满脚丫子的所有x，如果有相同的符号，则在那里有极端值(极大值或极小值)。、定理(变量预备定理):设在时间区间t0、t1中连续的n维向量函数，存在任意连续的n维向量函数，如果、的话，则必定存在4.1.2欧拉方程(1)，设置在无约束泛函数极端值的必要条件定理以下的泛函数极端值问题：(1)，x(t0)=x0 x(tf ) 如果是=xf，则极值曲线应当满足以下欧拉方程、(2)、(3)和横向关系，按照定义，泛函数的变量是线性主要部分，对、上式第二项进行分支构造积分以证明用、j取极端值所需的条件等于零。因为是任意的，所以为

5、了使(3-2)的第一项(积分项)为零，(5)、(4)式的第二项是结论的式(3)，4.1.3横断条件、末端时刻固定时的横断条件tf固定时、x(t0)=x0固定时、横断条件是末端状态也是x(tf)=xf固定时、边界条件是x(tf)=xf固定时横截条件是x(t0)=x0，x(t0)=x0，(2)末端时刻自由时的横截条件，末端受到约束时，如果存在以下的近似关系：的末端是自由的，则成为曲线c(t )的性能指标在容许轨道线x(t )和极值曲线x*(t )之间，(7)末端为(xf，tf )。 产生如下的泛函数增量，(8)、(8)右端的第2个(10 )、末端时刻自由、末端状态变动时的横穿条件1 )末端状态自由

6、时的横穿条件x(tf )自由时，由于从(7)到代入(10 )是任意的，因此可以得到tf自由、x(tf )自由的横穿条件得到的tf自由、x(tf )约束的横截条件和边界条件为(11.1 )，t0也是自由，如果x(t0)约束，即沿曲线g ()的b点能够沿曲线c(t)=2-t移动，则连接a、b两点，求弧长最短的曲线。 关于最短弧长问题，为泛函数两端固定条件下的变分问题，欧拉方程的解在x=at b中引入边界条件后得到解x=2t 1。 (2)由于是末端约束的变分问题，其最短弧长满足与(1)相同的欧拉方程式，因此x=at b能够得到x(0)=1至b=1，因为初始点没有变化4.1.4变分法求解最优控制问题，

7、系统方程或性能指示符受端接状态x(tf )约束，所要求的目标定径套确定了最优控制u*(t )和最佳曲线x*(t )，其中使用雷格林乘法将上述受约束的泛函数极端值问题转换为无约束的泛函极值问题引进被称为哈密顿函数的标量函数，在最优控制中发挥着重要的作用。 (1)末端时刻固定时的最优解，对于没有制约且在t0、tf上连续、在. t0、tf上f (.)、l (.)连续可微、tf固定这样的最优控制问题。 一类最优解的必要条件是： (1)满足1) x(t )和法方程，(2)满足边界条件和穿越条件，(3)建构极端值条件证明：广义泛函数，分支构造积分对上述方程采取一阶变分，考虑基于泛函数极端值的必要条件，得到

8、结论。 此外，在末端时间tf固定并且末端状态x(tf )是自由的情况下，由于不存在营销对象定径套，因此该以下的泛函数极端值可以从上述结论删除。 当固定了末端时间tf并且固定了末端状态x(tf )时，正则方程式不会改变，边界条件退化为x(t0)=x0，x(tf)=xf，并且系统在可控条件下极端值条件也不改变。 本例是末端时刻固定、末端状态被约束的泛函数极端值问题。关于Hamilton函数协调方程式的极端值条件，状态方程能够根据初始条件和目标条件求出c3=c4=0、4c1-9c2=6，根据横截面条件求出c1=(1/2)c2，能够求出c1和c2的值。 为了进一步得到最佳解，(2)末端时刻自由时的最佳

9、解、最佳解所需要的条件是，(1)满足1) x(t )和法方程，(2)边界条件和横穿条件3 )极端值条件4 )在最佳曲线末端的haaa，产生如下的泛函数增量，将上式以最佳轨道线在泰勒级数上展开而取主要部分，是中值在Page562、表10-2变分法中求出最佳解所需的条件，例如：解：本例是tf自由、末端状态固定、控制无约束的泛函数极端值问题。 可以从=常数、从根据极端值条件得到的状态方程和从初始条件得到的最终状态条件得到的最终末端时刻h的变化率求出，求出的最佳解是为了解决4.2极小值原理及其应用、4.2.1离散系的极小值原理4.2.3最小时间控制4的控制所制约的变分问题， 庞特里亚金提出并证明了极小

10、值原理，其结论与经典变分理论有很多相似点，并且不要求哈密顿函数对控制量连续微小。 4.2.1连续系统的极小值原理末端自由时的极小值原理定理以下的稳态系统、最终值型性能指标、末端自由、在受控制约束的最优控制问题式中任意阶段的连续函数末端状态自由的末端时刻是固定或自由的。 f(x，u )都是自变量的连续可微函数，并且在有界集中，如果f(x，u )对于变量x满足，则对于最佳解u*、x*、tf*存在非零的函数，在法方程中边界条件和横断条件极其成立的极小值条件适用于通常的控制约束。 最佳控制使哈密顿函数取全局极小值。 当满足经典变分法的适用条件时，其极端值条件是极小值原理中极端值条件的特例。 极小值原理

11、不要求哈密顿函数对控制矢量的微小性。 已知可以从协同方程(: )中得到，并且由于可以从极小值条件中得到可从横截条件中得到的解，所以定理在如下的时变系统、最终模型性能指标、末端自由、控制约束的最优控制问题公式中，末端时刻是固定的或自由的，如果相同，则是最佳解u*，x*、 对于相对于TF的沿边界条件和横截条件极小值条件4 )最佳轨道线的哈密顿函数变化率(用于TF自由时间)，该问题使用稳态系统的结论，将哈密顿函数沿稳态轨道的变化率代入(17 )、(16 )，其中，证明了横截条件(即，极小值条件)是等式() (18 )定理在如下稳态系数、积分型性能指标、末端自由、受控制约束的最优控制问题式中，末端时刻

12、是固定的或自由的，假如在相同的前提下，对于最佳解u*、x*、tf*存在非零的，并且满足以下条件：正则方程式； 通过将上述两个式代入共现方程式就可以得到，因此通过横断条件可知，上式为通过(19 )得到，如果是(19 )，则哈密顿函数为通过代入(19 )得到的极端值条件3 )，解：该问题为稳定系统、积分型性能指标、tf固定、末端自由、控制受到限制的最佳控制由协同方程式求解，可由横断条件求c=e。 明显的是，当时间u*(t )被切换时，可获得=0.307。因此，在将u*代入状态方程中时，能够利用初始值条件获得最佳轨道线； 在受控制约束的法方程中，边界条件和横断条件的极小值条件4 )沿着最佳轨道线使哈

13、密顿函数的变化率(tf自由时用)变化，定理是如下的时变系统，最终值型性能指标，在末端受到约束，控制约束的最优控制问题式中，末端时刻固定或自由， 假设相同，则在非零正则方程式中，边界条件和横穿条件的极小值条件4 )沿着最佳轨道，将哈密顿函数变化率(tf自由时用)、4.2.2离散系的极小值原理末端约束时的离散极小值原理离散系状态差分方程式作为性能指标，设为式中的n固定。 假定f (.)、l (.)都是自变量的连续可微函数，末端状态被约束于如下的目标定径套，则对于最佳序列u*、x*存在非零的函数，在差分方程式中，假定边界条件和横穿条件为极小值条件，如果u(k )成立之前，末端状态是自由的，则最佳序列u 中必须存在非零，如果差分方程式中边界条件和横断条件的极小值条件成立，u(k )没有制约，则极端值条件为，该问题为控制无制约问题，从协调方程式得到结构的4.2.3最小时间控制最小时间的控制问题线性稳定系统完全可控制， 求满足以下不等式制约的容许控制：使系统从初始状态x(0)=x0转移到x(tf)=0，使性能指标极小，其中tf是自由的。 (2)根据正常状况和奇异状况的构造极小值条件，将(20 )下式、(20 )、(3)专一性的充足条件定理行列式中的bj中的矩阵b的列向量作为，m个Gj矩阵中的至少