2.3.1离散型随机变量的数学期望

1、2.3.1离散型随机变量的均值（二）,1.离散型随机变量的均值 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 则称E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望. (2)意义:离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)性质:若X为离散型随机变量,则Y=aX+b(其中a,b为常数)也是随机变量,且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.,【做一做1】 已知随机变量X的分布列如下: 则E(X)=,E(2X-1)=.,2.两点分布、二项分布的均值 (1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)= p ; (2)若XB(n,p),则E(

2、X)= np . 【做一做2】 已知一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则每射击3次中靶次数X的均值为() A.0.8B.0.83 C.3D.2.4 解析:射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布,即XB(3,0.8), 所以E(X)=30.8=2.4. 答案:D,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)若随机变量XB(n,p),则E(X)=np. () (2)若XB ,则E(X)的值为1. () (3)已知E(Y)=6,Y=4X-2,则E(X)=2. () (4)E(aX+b)=aE(X)+b. () (5)随机变量X的均值E(X)是一个变量,它随样

3、本的改变而改变. () (6)一个学生在单元检测中的均值是90分,那么他在某次单元检测中的成绩一定会是90分. (),求离散型随机变量的均值 【例1】 从装有2个红球,2个白球和1个黑球的袋中逐一取球,已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回,设取完红球所需的次数为X,求X的分布列及均值.,解:由题意知X的可能取值为2,3,4,5. 当X=2时,表示前2次取的都是红球,X的分布列为,变式训练1在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件三等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值.,解:由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3.,X的分布列为,离散型随机变

4、量的均值的性质 【例2】 已知随机变量X的分布列如下: (1)求m的值; (2)求E(X); (3)若Y=2X-3,求E(Y).,解:(1)由随机变量分布列的性质,得,(3)(方法一)由公式E(aX+b)=aE(X)+b, 得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3,(方法二)因为Y=2X-3, 所以Y的分布列如下:,变式训练2已知随机变量X的分布列为 且Y=aX+3,若E(Y)=-2,求a的值.,两点分布、二项分布的均值 【例3】 某运动员的投篮命中率为p=0.6. (1)求投篮一次时命中次数X的均值; (2)求重复投篮5次时,命中次数Y的均值.,解:(1)投篮一次,命中次数X的分布列为 ,

5、则E(X)=p=0.6. (2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即YB(5,0.6). 则E(Y)=np=50.6=3.,变式训练3春节期间,小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩,每位朋友在每一个景点下车的概率均为 ,用表示4位朋友在第三个景点下车的人数,求: (1)随机变量的分布列; (2)随机变量的均值.,解:(1)这是4次独立重复试验,1 2 3 4 5 6,1.已知随机变量X的分布列为 则X的均值是() A.2 B.2.1 C.2.3 D.随m的变化而变化 解析:0.2+0.5+m=1,m=0.3. E(X)=10.2+20.5+30.3=2.1. 答案:B,1

6、2 3 4 5 6,2.设随机变量XB(40,p),且E(X)=16,则p等于 () A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4 解析:XB(40,p),E(X)=16, 40p=16,p=0.4. 答案:D,1 2 3 4 5 6,3.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为 (),解析:X的可能取值为2,3.,答案:D,1 2 3 4 5 6,4.若X的分布列为 ,Y=2X+5,则E(Y)=.,1 2 3 4 5 6,答案:100,1 2 3 4 5 6,6.在某次考试中,第一题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一