第2章线性电阻电路分析01

1、第2章 线性电阻电路分析,2.1 二端网络及其等效变换,2.2 结点电压分析法,2.4 戴维南定理和诺顿定理,2.5 最大功率传输定理,本章小结,2.3 叠加定理,本章内容提要,难点： （1）等效变换与一般变换的区别； （2）灵活、熟练选用最佳分析电路的方法。,重点： （1）等效变换的概念及其特点； （2）有源与无源网络的等效变换； （3）叠加定理的适用范围； （4）戴维南定理与诺顿定理在实际中的应用；,2.1 二端网络及其等效变换,当一个二端网络与另一个二端网络的端口电压电流关系完全相同时，这两个二端网络对外部来说叫做等效网络。,2.1.1 基本概念,具有两个端钮与外电路相连的网络叫二端网络

2、，也称单口网络。二端网络根据其内部是否包含电源（独立源），分为无源二端网络和有源二端网络。每一个二端元件就是一个最简单的二端网络。,1. 二端网络,2. 等效变换,图2.1所示为二端网络的一般符号。二端网络端钮上的电流I ，端钮间的电压U，分别叫做端口电流和端口电压。图2.1中端口电压U和端口电流I的参考方向对二端网络来说是关联一致的，UI应看成该网络消耗的功率。端口的电压、电流关系又称二端网络的外特性。,等效网络只对外部电路而内部不等效。换言之，等效网络互换后，虽然其内部结构发生了变化，但它们的外特性没有改变。,等效网络：,求一个二端网络等效网络的过程叫做等效变换。,一个内部不含电源的电阻性

3、二端网络（即无源二端网络），总有一个电阻元件与之等效，这个电阻叫做该网络的等效电阻。其数值等于该网络在关联参考方向下端口电压与端口电流的比值，用R表示。,等效变换,2.1.2 电阻的串联、并联和混联,1. 电阻的串联及其分压,几个电阻首尾依次相联，中间没有分支，电路中通过同一电流，这种联接方式称为电阻的串联。,由KVL可以推出，串联电阻的等效电阻为 R = R1 + R2 + Rn = （2.1）,图2.2（a）所示为n个电阻串联的无源二端网络。图2.2（b）所示为只有一个电阻R的无源二端网络，如果图（b）中端口电压、端口电流与图（a）中完全相同，则这两个二端网络就是等效的，R就是图（a）中n

4、个串联电阻的等效电阻。,结论：即电阻串联时，其等效电阻等于各个串联电阻的代数和。,(2.3),电阻串联具有分压特点，各电阻上的电压关系为,（2.2）,电阻串联时流过各个元件的是同一个电流，由KVL得,由 I =R1I+R2I 得 R =R1+R2,U =U1+U2,总的电压等于各个元件电压之和。,R 称为R1与R2串联时的等效电阻。,两个电阻串联时的分压公式：,解：电位器滑动到下端时，输出电压等于电阻 R3 两端的电压，见下图。由电阻串联时的分压公式得到,例下图中 R1=500，R2 =200， R3 为500的电位 。输入电压为U1=12V , 试计算输出电压U2的变化范围。,电位器滑动到上

5、端时，输出电压等于电阻 R2和电阻R3 两端电压之和，见下图。由电阻串联时的分压公式得到,可见输出电压 U2 在2V7V之间变化。,例 I g = 50 u A , R g = 2 K 。欲把量程扩大为 5 m A和 50 m A，求R1和R2。,解：5 m A档分流,50 m A档,代入参数，得,图2.3（a）所示为n个电阻并联的无源二端网络。其等效电路如图2.3（b）所示，由KCL可以推出，并联电阻的等效电阻为,(2.4),或用电导表示为 G = G1 + G2 + Gn = （2.5）,式（2.4）和（2.5）表明，电阻并联时，其等效电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和，或者说，总电导等于

6、各并联电导之和。,2. 电阻的并联及其分流,定义：几个电阻的一端联在一起，另一端也联在一起，在电源作用下，各电阻两端具有同一电压，这种联接方式称为电阻的并联。,I =I1+I2,得到两个电阻元件并联时的等效电阻为,两电阻并联时的分流公式：,两个电阻串联时的分压公式，两个电阻并联时用电阻表示的分流公式以及用电导表示的分流公式，这三者很相似，注意他们之间的异同。,例下图中电阻 R1=30 与电阻 R2 =15并联后，接电流源 IS =18A 。 试计算 I1 、I2和电压U。,解法一：并联等效电阻为,解法二：利用并联电阻的分流公式,且,2.1.3 电阻的星形联接和三角形联接,电阻的连接方式，除了串

7、联和并联外，还有更复杂的联接，本节介绍的星形联接和三角形联接就是电阻复杂联接中的常见情形。而且这两种复杂的联接无法用串联和并联等效变换进行简化。,将三个电阻的一端连在一起，另一端分别接到三个不同的端钮上，就构成了电阻的星形联接，又称Y形联接，如图2.4（a）所示。,将三个电阻分别接到三个端钮的每两个之间，这样就构成了电阻的三角形联接，又称为形联接，如图2.4（b）所示。,电阻,对于Y形有：,对于形有：,解之得：,当R12 = R23 = R31= R 时,当R1 = R2 = R3 = RY时,解：,例2-2 如图所示，求桥形电路的总电阻R12。,R1 = 1.5 R2 = 0.6 R3 =

8、1,再用电阻串联和并联公式,求出连接到电压源两端的等效电阻为,R = 1.5 + 2.5,最后求得,此题也可以利用Y形电阻网络等效变换为三角形电阻网络的方法进行求解，请同学自行分析。,例2.1 求图2.5（a）所示电路中电流I。 解： 将3、5和2三个电阻构成的三角形网络等效变换为星形电阻网络，如图2.5（b）所示，根据式（2.10）求得,n个理想电压源串联，可以等效成一个电压源。图2.6（a）所示为两个电压源US1和US2串联，可以用一个等效的电压源US代替。 n个理想电流源并联，可以等效成一个电流源，如图2.6（b）所示。,图2.7（a）、（b）、（c）、（d）所示均为含有独立源二端网络等

9、效变换的例子。这些等效变换的结果简化了部分电路而不影响其外电路的工作状态。,2.1.4 电压源与电流源的等效变换,一、电压源的串联和并联：,1. 电压源的串联：,n个电压源的串联可用一个电压源等效代替，且等效电压源的大小等于n个电压源的代数和。,uS = uS1 + uS2 + . + uSn,从上图中可以看出， 一个电压源并联若干元件（如电阻、电流源），对外等效仍为该电压源，如图2.7中的（a）和（c）；一个电流源串联若干元件（如电阻、电压源），对外等效仍为该电流源，如图2.7中的（b）和（d）。这是电压源和电流源的特点所决定的。但将电压不相等的电压源并联或电流不相等的电流源串联是不允许的，

10、这将违背KVL和KCL。,只有大小相等、方向相同的电压源才允许并联，其等效电压源等于其中任一电压源的电压（大小、方向）。,uS = uS1 = uS2 = . =uSn,二、电流源的串联和并联：,1. 电流源的串联,只有大小相等、方向相同的电流源才允许串联，其等效电流源等于其中任一电流源的电流（大小、方向）。,2. 电压源的并联,iS = iS1 = iS2 = = isn,n个电流源的并联可用一个电流源等效代替，且等效电流源的大小等于n个电流源的代数和。,iS = iS1 + iS2 + + iSn,2. 电流源的并联：,任一无耦合元件与电压源并联对外电路来说，就等效于这个电压源，并联元件对

11、外电路不起作用。,四、电流源与任一元件串联：,任一无耦合元件与电流源串联对外电路来说，就等效于这个电流源，串联元件对外电路不起作用。,三、电压源与任一元件并联：,解：,补例： 求开路电压Uab。,得：,或,电压源和电流源的方向应如何确定？,五、电压源与电流源的等效变换：,保证外部电路方向不变, 等效变换时，两电源的参考方向要一一对应。, 理想电压源与理想电流源之间无等效关系。, 电压源模型和电流源模型的等效关系只对外电路而言， 对电源内部则是不等效的。,例 当RL= 时，电压源模型内阻 RS 中不损耗功率， 而电流源模型的内阻 R0 中则损耗功率。, 任何一个电压 US 和某个电阻 R 串联的

12、电路， 都可化为一个电流为 IS 和这个电阻R并联的电路。,注意事项,例将下列的电流源等效变换为电压源。,解:,解:,例将下列的电压源等效变换为电流源。,例,求下列各电路的等效电路。,解:,例 求图示电路中的电路i。,例求图2.8（a）所示电路的等效电流源模型和图2.8（b）所示电路的等效电压源模型。,解： 图2.8（a）中 Is = ， R i/ = R i = 4 根据等效前US的极性，可知等效后电流源IS的参考方向应向下。 图2.8（b）中 Us = R i/Is = 63 = 18 V ， R i = R i/ = 3 原电流源模型中IS参考方向向上，等效后的电压源模型中US的参考极性

13、应是上正下负。,再将图2.9（b）中US1、US2的串联电路等效变换为US，如图2.9（c）所示，注意US1与US2的参考方向是相反的，所以 US = US1-US2 = 4818 = 30 V,例在图2.9（a）所示电路中，计算电阻R2中的电流I2。,解： 首先将图2.9（a）中IS与R1的并联组合电路，等效变换成US1与R1的串联组合电路，如图2.9（b）所示。其中 US1 = R1 IS= 68 = 48 V,最后由图2.9（c）计算出电流I2,(1) 选定参考结点，标定n-1个独立结点；,(2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3) 求解上述方程，得到n-

14、1个结点电压；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用结点电压表示)；,结点法的一般步骤：,2.2 节点电压分析法,基本思想：以结点电压为未知量，列写KCL方程。,结点电压方程的推导：,结点电压：选择参考结点后，其余结点对参考结点的电压表示为：unj 如 un1 un2 un3,(1) 选定参考结点，标定n-1个独立结点；,(2) 对n-1个独立结点，列写其KCL方程；,(3) 求各支路电流(用结点电压表示)；,电导的单位是西门子，符号为S,结点,结点,结点,用结点电压表示支路电流代入上式得结点电压方程,G11=G1+G4+G6结点1的自电导,G22=G2+G4+G5 结点2的自电导,G

15、12=G21=-G4结点1与结点2之间的互电导(不含受控源）,G33=G3+G5+G6 结点3的自电导,G13=G31=-G6结点1与结点3之间的互电导(不含受控源）,G23=G32=-G5结点2与结点3之间的互电导(不含受控源）,iSn1=iS1-iS6流入结点1的电流源电流的代数和。,iSn2=0 流入结点2的电流源电流的代数和。,iSn3=G3uS3+i S6流入结点3的电流源电流的代数和。,由以上可直接对电路列方程如对结点3,注意：如电流源中有电阻不计入电导内,直接列写此方程：,（1）自导：等于与结点相连的支路电导之和， 自导总为正。因为参考结点电位为0，独立结点电位大于0。,（2）互

16、导：等于连接在两结点之间的所有支路的电导之和，互导总为负。,（3）：电流源写在等式右边，电流源电流流入结点为正,流出结点为负。（包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源）,一般情况： （设电路具有n个结点）,其中,Gii 自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,iSni 流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij = Gji互电导，等于接在结点i与结点j之间的所支路的电导之和，总为负号。（无受控源）,KCL：通过电阻流出结点的电流代数和=各电源流入结点的电流代数和,(1) 先把受控源当作独立源处理列方程；,(2

17、) 用结点电压表示控制量；,列写下图含VCCS电路的结点电压方程。,解：,解题步骤：,选取合适的结点可简化计算,注意：列结点电压方程时，与电流源串联的电阻不考虑,补例：,试列写下图含无伴电压源电路的结点电压方程。,解法1:以电压源电流为附加变量列入KCL方程，同时增加一个结点电压与电压源间的关系式。,解法2： 选择合适的参考点,(G1+G2)U1-G1U2=-I,-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0,-G4U2+(G4+G5)U3=I,U1-U3 = US,U1= US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3

18、=0,补例,解：1）选3为参考节点,2）列节点方程,例5 如图所示已知is1 =9A， is2=5A， is3=6A , G1 =1S， G2 =2S , G3=1S，用节点法求电流i,3）求电流,整理，得,用结点法求各支路电流。,(1) 列结点电压方程：,解二：,例,解一：,例试计算图中电路的节点电位V1 和V2 。,将各支路电流表示为,解一：,将各支路电流代入下列节点方程,经整理后得,解得,解二：,直接列节点电压方程,经整理后得,解得,例：图2.10所示电路共有4个结点，选结点4为参考结点，则V4 = 0，其它各结点到参考结点的电压（即各结点的电位）分别是V1、V2、V3。则各支路电流可用

19、结点电压表示为,I2 = G2（V1 V2）;,以结点电压为变量的方程，解方程求得V1、V2、V3，就可以进一步分析各支路电流，电路有n个结点，必须要列（n -1）个以结点电压为变量的结点方程。,2、对各结点列KCL方程：,1、各支路电流,整理得,适合的范围：对多支路、少结点的电路,结点1 G2（V1V2）+ G5（V1V3）= Is1,结点2 G3V2 - G2（V1 V2）= Is6,结点3 G4V3 - G5（V1 V3）= - Is6,（G2 + G5）V1- G2V2 G5V3 = Is1 -G2V1 +（G2 + G3）V2 = Is6 -G5V1 +（G4 + G5）V3 = -

20、Is6,I5 = G5（V1 V3）,I4 = G4V3 ;,I3 = G3V2;,也可直接列写此方程：,（1）自导：等于与结点相连的支路电导之和， 自导总为正。因为参考结点电位为0，独立结点电位大于0。,（2）互导：等于连接在两结点之间的所有支路的电导之和，互导总为负。,（3）：电流源写在等式右边，电流源电流流入结点为正,流出结点为负。（包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源）,（G2 + G5）V1- G2V2 G5V3 = Is1 -G2V1 +（G2 + G3）V2 = Is6 -G5V1 +（G4 + G5）V3 = -Is6,例2.11 图2.11所示电路中，已知Us1 = 16

21、V，IS3 = 2 A，Us6 = 40 V，R1 = 4，R1= 1，R2 = 10，R3 = R4 = R5 = 20，R6 = 10，o为参考结点，求结点电压V1、V2及各支路电流。,解： 选定各支路电流参考方向如图所示。,根据I1I6的参考方向可求得,联立解之得 V1 = 10 V， V2 = 28 V,在多个电源同时作用的线性电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。,一、叠加定理：,电源不作用（值为零）,2.3 叠加定理,2. 电流源单独作用时，uS=0短路,3. 电压源单独作用时，iS=0开路,1. 两个电源同时作用时（KVL和KCL）

22、,证明叠加定理：求u1、i2的表达式,由此证明了叠加定理, 叠加原理只适用于线性电路。,不作用电源的处理 电压源不作用，即 US = 0，相当于 短路线； 电流源不作用，即 Is=0，相当于断路 。, 线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算， 但功率P不能用叠加原理计算。,注意事项,例：电路如图，已知 US =10V、IS=1A ，R1=10 ，R2= R3= 5 ，试用叠加原理求电流 I2。,(b) US单独作用 将 IS 断掉,(c) IS单独作用 将 US 换成短路线,解：由图( b),由图(c),注意 I2 与原电路中I2 方向相同，I2 与原电路中I2 方向相反。,+,解,(1) 1

23、2V电压源单独作用：,(2) 6V电压源单独作用：,结论：不能用叠加定理求功率,如果将功率叠加,例 用叠加定理求电流 i，及R上的功率P。,(1) 10V电压源单独作用：,(2) 4A电流源单独作用：,解:,例 用叠加定理求电压Us ?,例2.15 在图2.13（a）所示电路中，用叠加定理求支路电流I1和I2。,IS2单独作用时，US1不作用，以短路线代替，如图2.13（c）所示，则,根据各支路电流总量参考方向与分量参考方向之间的关系，可求得支路电流 0.5 - 2.25 = - 1.75 A 0.5 + 0.75 = 1.25 A,解： 根据叠加定理画出叠加电路图如图2.13所示。 图2.1

24、3（b）所示为电压源US1单独作用而电流源IS2不作用，此时IS2以开路代替，则,根据叠加定理可以推导出另一个重要定理齐性定理，它表述为：在线性电路中，当所有独立源都增大或缩小k倍（k为实常数）时，支路电流或电压也将同样增大或缩小k倍。,例如，将例2.5中各电源的参数做以下调整：US1 = 40 V，IS2 = 6 A，再求支路电流I1和I2。很明显，与原电路相比，电源都增大了1倍，因此根据齐性定理，各支路电流也同样增大1倍，于是得到I1 = -3.5 A，I2 = 2.5 A。掌握齐性定理有时可使电路的分析快速、简便。,二端网络(一端口网络)：具有两个出线端的部分电路。 无源二端网络：二端网

25、络中没有电源。,2.4.1 戴维南定理,图（a）中虚线左侧为无源二端网络，右侧为有源二端网络。,图（b）中虚线左侧为有源二端网络，右侧为无源二端网络。,2.4 戴维南定理和诺顿定理,适合的范围：只要分析某一支路的电流或电压，而不需要求电路其余部分的电流或电压。,有源二端网络：二端网络中含有电源。,戴维南定理,戴维南定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电压源和电阻的 串联来等效代替。等效电压源的电压等于有源二端网络的开路电压U0C，等效电阻等于有源二端网络中除去所有电源（电压源短路，电流源开路）后所得到的无源二端网络 的等效电阻R0 。,等效电源,等效电阻,首先通过一个例子来说明戴维南定理

26、。,例 求图(a)所示电路的戴维南等效电路。,解：（1）计算开路电压。可以用叠加原理。 50V电压 源 在端口处的电压与1A电流源在端口处的电压之和,（2）计算等效电阻。将有源二端网络内部的电源置为零， 如图 (b) 所示。,(a),（3） 图 (c) 所示42V 电压源与14电阻的串联即为图(a) 中有源二端网络的戴维南等效电路。,2.4.2诺顿定理,诺顿定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流源和电阻的并联来等效代替。等效电流源的电流等于有源二端网络的短路电流ISC，等效电阻等于有源二端网络中除去所有电源（电压源短路，电流源开路）后所得到的无源二端网络 的等效电阻R0 。,用前面戴维

27、南定理中的例子来说明诺顿定理,例 求图(a)所示电路的诺顿等效电路,解：（1）计算短路电流，可以用节点法，见图(b) 。以下节点为参考节点，上节点电位设为V，得,(c),解得,再由节点电位求得短路电流,（2）由图(c)计算等效电阻 。,（3）得到图(d)所示的诺顿等效电路 。,(b)戴维南等效电路,(c)诺顿等效电路,对照有源二端网络(a) 的戴维南等效电路(b) 和诺顿等效电路(c) ，考虑电压源与电流源的等效变换，有,诺顿定理,戴维南定理,电源等效变换,例,试计算图(a)中电流I。,解：应用戴维南定理求解。 断 去14电阻，计算开 路电 压和等效电阻。,(a),（1）计算开路电压，见图(b

28、) 。,可以把C点作为参考点，开路电压UOC等于A、B两点之间的电位差,（2）计算等效电阻，见图(c) 。,（3）戴维南等效电路见图(d) ， 端口处联接 14 电阻，计算电流 I 。,戴维南等效电路,例,计算图(a)中所示电路的电流I,解：本题可以应用戴维南定理求解，见图(b)；也可以用诺顿定理求解见图(c)。下面用诺顿定理求解。,将图(a)中a、b右侧等效为电阻,图(c),图(d),计算图(a)中ab左侧的诺顿等效电路。利用图(d)计算短路电流和等效内阻,在图（c)所示的电路中用分流公式计算待求电流,所以 Uoc = Uab = -8 +3I = -8 +34 = 4 V,所求戴维南等效电

29、路如图2.15（d）所示。,2）再求等效电阻Ro，图2.15（b）中所有电压源用短路线代替，如图2.15（c）所示。则,例2.6 求图2.6（a）所示有源二端网络的戴维南等效电路。,解： 1）首先求有源二端网络的开路电压Uoc。 将2 A电流源和4电阻的并联等效变换为8 V电压源和4电阻的串联，如图2.6（b）所示。由于a、b两点间开路，所以左边回路是一个单回路（串联回路），因此回路电流为,例2.7 电桥电路如图2.16（a）所示，当R = 2和R = 20时，求通过电阻R的电流I。 解： 这是一个复杂的电路，如果用前面学过的支路电流法和结点电压法列方程联立求解来分析，当电阻R改变时，需要重新

30、列出方程。而用戴维南定理分析，就比较方便。 用戴维南定理分析电路中某一支路电流或电压的一般步骤是： （1）把待求支路从电路中断开，电路的其余部分便是一个（或几个）有源二端网络。 （2）求有源二端网络的戴维南等效电路，即求Uoc和Ro 。 （3）用戴维南等效电路代替原电路中的有源二端网络，求出待求支路的电流或电压。,将图2.16（a）电路中待求支路断开，得到图2.16（b）所示有源二端网络。求这个有源二端网络的戴维南等效电路。 在图2.16（b）中选定支路电流I1、I2参考方向如图所示。,所以图2.16（b）中ab端的开路电压Uoc为 Uoc = Uab = 8 I1 - 2 I2 = 83 -

31、 26 = 12 V 求等效电阻Ro，电压源用短路线代替，如图2.16（c）所示。,图2.16（b）所示的有源二端网络的戴维南等效电路如图2.16（d）所示，接上电阻R即可求出电流I。 R = 2时， R = 20时，,例2.8 求图2.18（a）所示有源二端网络的诺顿等效电路。 解： 首先求a、b两点间的短路电流Isc，如图2.18（b）所示，选定电流I1、I2参考方向如图所示。,根据KCL I1 = I2 + Isc 所以短路电流 Isc = I1 I2 = 4 2 = 2 A 再求等效电阻Ro，将图2.18（a）中电压源用短路线代替，得无源二端网络ab如图2.18（c）所示。则,求得诺顿

32、等效电路如图2.18（d）所示。,戴维南-诺顿定理是电路中非常重要的定理，它们不仅指出了线性有源二端网络最简等效电路的结构形式，还给出了直接求解等效电路中参数的方法。这样以来，对于任何线性有源二端网络，应用定理可以直接将其化简。此外，定理还有一个突出的特点，即用实验的办法测得。其等效电路中的三个参数Uoc、isc和Ro可以直接测得。图2.19便是测量三个参数的电路。图2.19（a）中，将电压表并接在二端网络的输出端，则电压表的测量值近似为端口处的开路电压uoc；图2.19（b）中，将电流表串接在二端网络的输出端，则电流表的测量值近似为端口处的短路电流isc，然后利用公式 即可求出等效电阻Ro。,Uoc=Uab=6I1+3I1,Uoc