第六讲 代数学的新生.ppt

1、，四元数中的超复数布尔代数数论，代数的新生，(19世纪数学之一)，序言，(1)，18世纪数学悲观主义，从17世纪初开始，数学经过了近两个世纪的开拓，到18世纪末数学家们从事了自己。拉格朗日兰在1781年写给达朗贝尔的信中说：“我看矿井已经挖得很深了。不发现新的矿脉，迟早会放弃的。科学院中几何(数学)的处境总有一天会变成现在大学的阿拉伯语。那也不是不可能的。”。欧拉和达朗贝尔都同意拉格朗日的观点。法国法国法国科学院1789年以来对数学科学发展历史和现状的报告预测，在数学的几乎所有分支上，人们都将遇到无法克服的困难。补充枝节似乎是唯一剩下的事情，所有这些困难似乎实际上耗尽了我们宣布分析的力量。“本

2、世纪末悲观主义的由来可能是因为17，18世纪数学和天文学力学的紧密结合，使一些数学家把天文学和力学视为数学发展的几乎唯一来源，一旦这种结合相对停滞，暂时陷入低迷，就会迷失方向。”18世纪末出现的数学悲观主义具有深刻的认识论背景。(b)，数学发展的原动力，从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关，对自然的探索是数学研究最丰富的源泉。但是数学的发展在现实世界中又表现出了相对独立性。一种数学理论建立后，可以在逻辑思维的基础上前进，从而产生新的理论和新的思想。因此，内在的逻辑要求也是数学进步的重要动力之一。过分重视对数学进展现实的依赖，忽视数学发展的内在动力，对数学发展前景的悲观预测是

3、不可避免的。生产实践的需求数学发展的动力数学内部的矛盾数学家的求知欲，(3)，18世纪末数学悲观内部遗留的问题实际上在18世纪后期数学内部悄然积累的矛盾已经开始酝酿新的变化。当时数学家们面临着一系列数学本身产生的长期悬而未决的问题，其中最突出的是(1)高于4阶的代数方程的根式解法。(2)欧氏几何中平行公理的证明；(3)牛顿，莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题。19世纪初，这些问题已经变得越来越尖锐，不可避免。8.1代数方程的解性和集体的发现，发现者：阿贝尔伽罗亚发展者：凯莱乔堂f克莱因里，中世纪的阿拉伯数学家们把代数看作解代数方程的学问。直到19世纪初，代数研究还没有超出这个范围。但是此时数学家

4、们的注意力集中在第5和第5次以上的代数方程上。二次方程的解法已被古巴比伦人掌握。中世纪阿拉伯数学家们系统化了二次方程的理论。第三，四阶方程的解法在文艺复兴时期得到了解决。接下来，令人担忧的自然是求解一般5次以上的方程。在求解3，4阶方程后，几乎没有人怀疑5阶代数方程的根式解的存在。但是寻找这种解决方法的努力都以失败告终。挪威数学家尼尔斯亨里克亚伯(18021829)。1802年年八月五日出生在芬多的一个牧师家庭，1829年4月6日在普鲁兰去世。13岁进入奥斯陆的一所教会学校，年轻的数学教师B.M .霍姆博发现了亚伯的数学天才，并指导了他。小时候，亚伯已经开始考虑数学问题。1821年在一些教授的

5、帮助下进入了奥斯陆大学。在学校，他几乎全部自学，同时花很多时间做研究。1824年，他用根解不出五次方程的可能性问题。为了确保更多的读者，他的论文是用法语写的，还给C.F .高斯，但对外国数学家没有任何反应。8.1.1亚伯，1825年，他去琳恩见了A.L .克雷尔，成为好朋友。他鼓励克莱尔创办著名的数学刊物，纯粹是应用数学杂志。第一卷(1826)刊登了7篇亚伯的文章，其中有证据表明一般五次方程不能根解。以后每本书也会有很多他的文章。1826年亚伯到达巴黎时，遇到了A.M .勒让德和A.L .科西等著名数学家。他写了一篇关于椭圆积分的论文，并提交给了法国科学院，不幸的是没有受到重视，他不得不重新回

6、到福林。克雷尔为他谋了教授一职，没有成功。1827年，亚伯因病返回挪威，以家庭教师为生。直到亚伯去世前不久，人们才意识到他的价值。8 . 1 . 1 . 1亚伯，1828年，法国科学院院士4人写信给挪威国王，要求亚伯提供适当的科研场所，勒尚德也在科学院会议上称赞亚伯。第二年4月6日，27岁以下的亚伯因病去世。柏林大学邀请他当老师的信是在他死后的第二天发出的。之后荣誉和奖励相继出现，1830年他和C.G.J .雅可比一起获得了法国科学院大奖。亚伯在数学方面的成就是多方面的。除了五次过程外，他还研究了更广的代数方程，后人发现这是交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他，后人把交换军称为亚伯军。亚伯还研究了

7、无限级数，得到了一些判定标准和幂级数总和的定理。这种事使他成为分析学严谨化的推动者。8.1.1亚伯，亚伯和雅可比是合资格椭圆函数论的创始人。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理，对偶周期，椭圆积分的反延。他研究了R(x，y)dx等积分(现在的阿尔贝积分)。其中R(x，Y)是X和Y的有理函数，有二进制多项式F，因此f (x，y)=0。他还证明了上述积分总和的定理，现在称为阿贝尔定理，断言，个这种积分的和可以表示为G的这个积分的和加上代数的项。其中G只依赖F。就是F的亏损。亚伯这一系列工作为椭圆函数论的研究开辟了道路，并对其他数学分支产生了深远的影响。c .埃尔米特说，亚伯留下的思想允许数学家工作150

8、年。亚伯雕像、亚伯中学时代的笔记、以巴里斯泰加洛斯(1811832)、8.1.2伽罗瓦，1824年，亚伯用拉格朗日命题“根不能解四次以上的方程”，在这个过程中，亚伯实际上引入了一个重要的近世代数思想：“域”。但是数学家们并不满意，他们又开始追问。究竟什么特殊方程能根解呢？在1829-1831年之间完成的几篇论文中，同样年轻的法国数学家伽罗瓦对此做出了回答。伽罗瓦最重要的成就是提出集体的概念，用群论彻底解决代数方程的问题，从而发展了伽罗瓦理论这个集体和领域的理论。正是这个理论创立了抽象代数学，把代数研究推向了新的里程。为数学研究提供了新的数学工具群论。它对数学分析和几何的发展有很大影响，标志着数

9、学发展现代阶段的开始。群论开拓了新的研究领域，以结构研究取代了计算，将注重计算研究的思维方式转变为以结构观念研究的思维方式，将数学运算分类，使群论迅速发展为崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了重大影响。伽罗瓦群论被公认为19世纪最杰出的数学成就之一。亚伯、伽罗瓦、逃学、16岁、牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的着作，并开始研究五次方程的问题。15岁研究高级数学，如勒让德的几何原理和拉格朗日代数方程的解法，解释函数论，微积分教程，19岁，亚伯进入奥斯陆大学。17岁法国第一份专业数学杂志发表了论文。18岁，他研究的初步结果的论文是法国科学院亚伯，一般5次以上的方程不能用公式解，伽罗瓦，犹流问题：

10、判定具体数值系数的高阶代数方程是可以用根号解的准则问题吗？(莎士比亚，北方表达式，)，彻底解决了代数方程公式的可解性判断。君龙群论的开山调查，亚伯，伽罗瓦，旷世奇才，命运多舛，18岁，参加了巴黎综合技术考试。第二次将军论移交给法国科学院，分别失去了柯西和傅里叶，第三次上交被泊松拒绝。爸爸自杀了。被大学开除，多次因政治原因被捕入狱，20岁的悲惨死亡死于与无赖的决斗中。一直抱着才没见面，失业，受到数学大师的冷落，病魔缠身，27岁，最终死于抑郁症。挪威王宫里有亚伯的雕像，这是无畏青年的形象。在他脚下踩着两个怪物，分别代表了五次方程和椭圆函数，2003年挪威政府设立了数学奖阿贝尔奖。评估，亚伯，伽罗瓦

11、评估，评估1:像撕裂黑夜天空的瞬间经过的彗星，评估2: 19世纪数学家中最悲惨的英雄，评估3:他的死推迟了数学的发展至少几十年，伽罗瓦获得的启示录1:因为他年轻，他敢做的启示录2:追求数学表达过于单纯是这种遗憾公元1811年1832年，罗华短暂的一生中写的文章不多，只有5篇数学论文，但他的数学思想和观点很深刻，很鲜明。他的五篇论文概括起来主要是以下方面的内容。1在代数方面，他主要改进了数学大使拉格朗日的思想和观点，建立了用代数方程确定不可解性分类的理论。伽罗瓦才17岁，就写了一篇关于五次方程代数解法的论文。后来，他进一步探索高阶方程的解法，最后得到了解高阶方程的很多方法，2伽罗瓦创立了自己的新

12、理论，后来被称为“伽罗瓦理论”，建立了很多新的数学概念(如群、子群、同构等)，将代数研究推向了新的旅程和高峰。3他提供了一种可以画出几何映射问题的判别法，利用他的判别法解决了很多著名的数学问题。利用伽罗瓦的理论可以证明，将任意角度或双倍立方体问题分成三等分是不能解决的。伽罗瓦数学问题研究的严重性为建立军论奠定了基础，他的成果应用于很多数学问题和物理问题。伽罗瓦是个脾气很急躁的人。学校绝对不守分寸，不尊重老师。甚至辱骂老师，在郊外“闹事”、“捣乱”，热衷于政治活动。伽罗瓦短暂的一生不仅是对数学的特殊爱好，还积极参与了法国当时的政治活动。他对法国的考试制度很不满。在一次升学考试中，他拒绝回答问题。

13、因为代数方面的考试问题太简单了。伽罗瓦敢于对政治动摇分子和两面派进行顽强的斗争，连学校校长都不怕。他揭发了校长，因此在法国7月革命(1830年)政变的两面派行为中，学校宣布开除他。学校对他的处罚并没有使他改变想法和做法，而是更积极地参与政协活动，宣传他的主张。伽罗瓦还参加了秘密组织阶梯人民的朋友协会，发誓说：“为了唤起人民，如果我必须死，我就牺牲我的生命。”他经常参加一些会议，大胆地发表了自己的看法。他的行动得到了很多有正义感的人的支持和支持。伽罗瓦很固执，很刚毅。被捕后，在监狱里沉着谈笑，与官方进行不妥协的斗争，抓紧时间努力学习数学。牢房的条件很差，生活艰苦，但他仍然可以静下心来在数学王国里

14、思考。伽罗瓦不仅有数学天赋，还有政治头脑，很重视斗争方式和策略。伽罗瓦对数学问题的思考和处理方法改变了人们处理数学问题的习惯方法和观点。他在数学探索过程中走的路不平坦。他的研究成果向法国科学院报告了两次，但由于主管人的疏忽，手稿丢失了。他第三次申报的时候，最终被审查手稿的权威人士否定了。这一连串的打击使伽罗瓦没有失去信心。相反，他更加努力，利用所有可用的时间思考他认为合理的数学规律或原理，不时地写下他的想法和新发现。在他决斗前的短时间内写了一封他告诉朋友的长信。伽罗瓦在信中详细阐述了对分析问题研究的新观点。在他决斗14年后，通过著名数学家尤维尔的认真研究，他的着作和新观点被承认，并发表在数学刊

15、物上，直到1870年前后，伽罗瓦的观点和伟大成就被世界公认。伽罗瓦短暂一生的最大特点是勇往直前，追求真理，确信自己的事业和理论是正确的。8.1.2伽罗瓦，伽罗瓦的思想是对N阶方程，N个根(可通过代数基本定理知道)x1，x2，xn进行整体观察，研究它们之间的排列或“替换”。为了便于理解，以四次方程的四根x1、x2、x3、x4为例，在包含这些Xi的所有表达式中，x1和x2的交换是位移。另一个替代，显示。实现第一位移后的第二位移等于实现第三位移。我们说前两个位移按上述顺序构成的“乘积”是第三个位移P1 P2=P3。对于四次方程式，总计为4！=24个可能的位移。这种位移的整体构成了一个集合，其中两个位

16、移的乘积仍然是原始集合之一的伽罗瓦称为“群”。这是历史上最古老的“军”的定义，但这只是对一个特定的军(位移军)的定义，不是抽象集团的一般定义。但是伽罗瓦利用他提出的集体概念解决了方程的根式可解性问题。进一步考虑表达式根的位移组中的某些位移组成的“子组”。这一群人叫伽罗瓦“方程组”，就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。这意味着考虑方程系数的有限阶加、减、乘、除运算得到的所有表达式的集合。这个集合现在称为方程的“基本域”，F=Q (a1，a2，an)，Q是有理数域，a1，a2，an是方程的系数，但是伽罗瓦没有使用“域”这个名称，伽罗瓦组保留了方程根以F的元素为系数的所有代数关系我们以四次方程为例说明了这个重要的概念。设定方程式。其中P，Q是独立的，F是由P，Q的有理表达式形成的域。例如，这样。这个方程的四个根：是的，我们已经知道了，这个根的系数在F中成立的两个关系很容易知道。x1 x2=0，x3 x4=0，方程式布线的24个可能位移中的8个位移可以在F中保持这两个关系。这八个位移是域F的方程组，即伽罗瓦组。必须