高中数学教学论文 利用几何画板探索轨迹的教学（通用）

1、教学，利用几何画板探索轨迹，通过探究学习获得研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生的生活和社会经验中选择和确定研究课题，模仿科学研究的方法和过程，积极获取知识，运用知识解决问题的学习活动。研究性学习是一门探索性、实践性和开放性的课程，它以主题或问题为中心，以小组学习为主要形式。研究性学习是以解决问题为主要形式的学习活动，问题是其重要载体。整个学习活动自然会形成一系列问题。基于研究的学习强调实践、经验和结果。其特点是内容强调开放性，学习强调主体性，学生之间合作学习，体验和活动。下面，通过对一道数学题的探索，我将谈谈我的体会。老师：求曲线的方程和通过方程研究曲线的性质是解析几何中的两个主要问题。

2、今天，我将和同学们讨论一个问题：如何探索点的轨迹。问题是数学的核心，思考从问题开始。让我们先看一个具体的例子：如图1所示，穿过椭圆()的左焦点F1是和弦AB。现在让我们学习焦点和弦中与AB相关的问题。轨迹1通过原点o，作为弦AB的垂直线，垂直的脚是m，所以找到点m的轨迹方程。图1图2几何画板演示：拖动驱动点A在椭圆上旋转，或者制作一个动画按钮让点A在椭圆上移动，然后跟踪点M，得到点M的轨迹是一个小圆。图2如何找到这个小圆的方程？学生：按照一般的思路，假设弦AB所在直线的斜率为k，那么弦AB的垂线的斜率为，列出这两条直线的方程，结合这两个方程求解交点(即垂足)m的坐标，最后通过去掉参数k得到m点

3、的轨迹方程。哇！这很复杂。学生们埋头于复杂的计算中。一个学生看着投影屏幕，既不动手也不说话。老师：“你为什么不自己做呢？”学生：“我想知道.这条轨道是一个直径为1的圆。有什么简单的方法吗？”。哦，我明白了。解决问题的总体思路很容易想出来，但操作也很复杂。我有一个非常好且简单的方法：因为OMAB，|OM|2 |F1M|2=|OF1|2，如果点m的坐标是(x，y ),点F1的坐标是(c，0 ),那么X2y2 (x-c) 2y2=C2，即。这是轨迹方程。“啊！这么简单？”学生们都很惊讶。立刻，另一个学生说：“每个人都被椭圆的外观迷惑了。事实上，这个问题只与原点和F1点的坐标有关，与椭圆的弦无关。也就

4、是说，“给定两个点o和F1，通过这两个点画两条垂直线，找到交点的轨迹方程。”这当然很容易解决。老师：“很好。学生们刚才进行了一次很好的讨论。在寻找点的轨迹时，必须注意找出移动点所满足的几何条件以及移动点与不动点之间的几何关系。平面几何的相关结论对寻找点的轨迹非常有用。让我们改变下面的问题：轨迹2如图3所示，找到弦AB中点p的轨迹方程。猜猜点P的轨迹是什么？许多学生已经用几何画板证明了这一点：几何画板演示：拖动活动点a，得到点p的轨迹如下一个小椭圆，这个小椭圆的长轴是线段OF1，即半焦距。参见图4。“它是一个椭圆。”学生的兴趣被激发了。如何求出这个小椭圆的方程？老师观察了下面学生的答案，但是发现

5、很多学生图3没有办法开始这种问题。老师：“根据解轨迹方程的一般步骤，我们应该假设这个点的坐标是(x，y)，所以我们把点p的坐标设为(x，y)。为了建立由点p的坐标(x，y)所满足的方程，观察该图，有四个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P和F1，其中点F1是固定点，并且点A、B和P都是移动点，但是点A是活动点，这由于点A在椭圆上的移动而导致点P的移动。因此，有必要找出点p与点a、b和F的坐标之间的关系.这是解决问题的关键。”点P与A和B的坐标有什么关系？学生：“根据中点坐标公式，”如何连接甲、乙、丙和F1的坐标？利用直线的斜率.直线AB的斜率是如何表示的？“是的，有。”“怎么得到它？”“a

6、、b两点钟？满足什么方程？“图4“在椭圆上。满意。”“你知道怎么问吗？”学生很快得到以下解决方案(完成后):设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，因为a点和b点都在椭圆上，那么，减去这两个公式，所以有，为了简化，这是轨迹方程。老师：“以上解决方案是典型的。在这里，我们设置点A和B的坐标，但是我们不需要问它们，只需要用A和B的坐标来转换。这是解析几何中求轨迹的常用方法。寻找运动点之间的关系是解决轨迹问题的关键。还有其他解决办法吗？”一名学生：“因为直线AB穿过点F1，所以可以将直线AB的方程设置为y=k(x，c)，然后将这些方程与椭圆方程一起求解，以获得两点A和B的坐标”另一个学生

7、：“你不必解A和B的坐标，直线AB的方程是y=k(x c)。把两个二次方程代入椭圆方程得到的是点A和B的横截x1和x2，它们可以用维埃塔定理得到。点A和B的横坐标表示为直线AB的斜率K的函数，参数K可以去掉。”老师：“很好。请写出解决方案。”以下是给学生的另一个解决方案(完成后):解2:假设直线AB的斜率为K，直线AB的方程为y=K(x c)，这是通过将其代入椭圆方程得到的设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，然后，=，从 中得到并替换y=k(x c)。完成后，这是等式。学生：“我改变了原来椭圆的长轴或短轴的长度，期望轨迹的形状也改变了，但两个椭圆的形状仍然非常相似，我想知道是否

8、有什么必然的联系？”学生：“和的比例正好等于，哇！我发现这两个椭圆的偏心率是一样的！所以它们的形状是一样的。”老师：“很好。似乎每个人都掌握了找到轨迹的钥匙，。找出被动点和主动点之间的关系。我们刚刚探索的是弦AB上特殊点的轨迹。学生可以使用几何画板探索其他点的轨迹吗？请根据这个椭圆和和弦AB自己发现、提问和解决问题。学生们立即投入探索。一个学生：轨道3”在弦AB上随意取一个q点，跟踪q点，动画哇！问的轨迹是怎样的？”许多学生发现了同样的问题。老师将学生电脑上的图片切换到大屏幕，几何画板演示：在AB弦上取一个Q点，跟踪Q点，拖动活动点A，得到如下几何图形(如图5 7所示):图5图6图7“啊！这是

9、什么数字？”“怎么会有这样的数字？”自从我学习解析几何以来，从未见过这样的人物.“我应该给这条赛道取什么名字？”学生们很惊讶。拖动点Q，发现点Q的轨迹也会改变。当点Q靠近中点P时，点Q的轨迹图形靠近中点P的轨迹的小椭圆(如图6所示)，而当点Q靠近点A或点B时，轨迹图形靠近大椭圆(如图7所示)。轨道4“老师，我发现如果弦AB的两端A和B与椭圆长轴的两端A1和A2相连，这两条直线A2A和A1B的交点C似乎在椭圆的准直线上。”另一个学生哭了。“老师，q点的轨迹不是我们熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，它的轨迹方程一定很复杂。点C的轨迹非常简单，所以应该可以找到它的方程。”老师：“试一试。”采用常规方法

10、“交叉跟踪法”解决问题：让直线AA2和BA1的方程为y=k1(x-a)，y=k2(x-a)，将AA2方程代入椭圆方程，我们得到,这个方程的两个根是横坐标x1和A2的，因此，点A(x1，y1)的坐标可以如下获得，图8以同样的方式，点B(x2，y2)的坐标可以如下获得。它可以通过三个点A、F1和B的共线性来获得，即，将A和B的坐标代入并排序a2(a c)k12k 2 a2(c-a)k1k 22 B2(a c)k1 B2(c-a)k2=0，代入上述公式,通过分解这些因素，因为直线AA2和BA1的交点在椭圆之外，因此，即。即直线AA2和BA1相交的轨迹方程，这是椭圆的准线方程。“同样，直线A2B和A1

11、A的交点d也在准线上。“老师，不管C和D怎么在左边对齐，样本移动，CF1D是一个固定值。如图9所示表演。”另一个学生发现了一个结论。学生受益随着最后一个问题的解决，它很快被证明。老师：“我很高兴看到你能探索这么多数字9。”得出结论。使用几何画板你还能探索什么姚的结论呢？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请课后尝试给出证明。轨迹5“教师，如图10所示，使重心G为OAB，其轨迹也是一个椭圆。”一个学生说。(以下是学生课后提供的答案流程：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB的中点是M(x0，y0)，那么，由，不得不，这是图10中直线AB的斜率k再次，完成因此，OAB重心g的轨迹方程为：)

12、学生们得到了一些奇怪的曲线：轨迹6“OAB的内部轨迹是一个蛋形曲线(如图11所示)。”轨迹7“OAB的垂直轨迹是一条“”形曲线(如图12所示)。”图11图12轨迹8“OAB外中心的轨迹是一条倒形曲线(如图13所示)。”在轨道9”OAB中，交点A为OB的垂线，垂足的轨道为二叶花形(如图14所示)图13图14轨迹10“教师，如图15所示，使重心G为ABF2，其轨迹也是一个椭圆。”(以下是课后的答案：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中点m的坐标可以从F2(c，0)和G(x，y)得到。因为，所以，整理一下，就是。这是ABF 2重心g的轨迹方程。)图15有几条美妙的曲线：轨道1

13、1“abf 2”的内轨道是类似于椭圆的曲线(如图16所示)。轨迹12“abf 2的垂直轨迹是形状的曲线(如图17所示)。”轨迹13“abf 2外中心的轨迹是一条倒形曲线(如图18所示)。”在轨迹14”abf 2中，交点A为bf2的垂直线，垂足轨迹为二叶花状(如图19所示)图16图17图18图19轨迹15-18“将AF2的椭圆延伸至另一点C，BF2的重心、内中心、垂直中心和外中心以及ABC的轨迹为未知曲线(如图20 23所示)。”图20图21图22图23“老师，椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线行，它们有许多相似的性质。上述问题存在于双曲线中抛物线有类似的结论吗？“这个问题问得好。学生讨论这位同学

14、提出的问题问题。以下是学生在探索后得出的结论(仅限于长度，本文省略了问题解决过程):轨迹19是双曲线，如图24所示弦AB的右焦点F2，那么弦AB的中点M的轨迹是24轨迹是以OF2为实轴的双曲线，即实半轴长度。它的方程是，它的求解过程与省略号相似，这里省略。这条双曲线和最初的双曲线是一样的螺纹的偏心率是一样的。如果在弦AB上取点p，那么点p的轨迹图如图25-26所示，当点p如图25所示时，当接近中点m时，点p的轨迹接近中点m的轨迹。双曲线；当点P接近点A或点B时，点P轨迹接近原始双曲线。轨迹20是图27中OAB的重心g的轨迹轨迹是双曲线，它的方程是。轨迹21如图28所示，ABF1重心的轨迹是双曲线，其方程如图26所示图27图28轨道21如图28所示。ABF1的重心轨迹为双曲线，其方程为。轨道22如图29所示。如果抛物线的焦点f取为弦ab，弦AB中点m的轨迹是以f为顶点的抛物线，其方程为。图29图30图31如图30-31所示，如果在弦AB上的任何一点取点P，当点P接近中点M时，