五年级奥数春季实验班第6讲 几何综合之复杂平面几何问题二

1、第六讲 几何综合之复杂平面几何问题二模块一、角度问题例1如图，AOB的顶点O在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400，则AOB= 。解：由题意知 1+2+3+(1+2)+(2+3)=400， 所以2(1+2+3)+2=400，又1+2+3=180，所以2=400360=40.例2一个考古发现的正多边形残片，如图所示，EAB=FBA=165，那么原来是一个正 边形。解：一个正n边形的内角=180，由题意得 180=165，解得n=24，所以原来是正24边形。例3在ABC中，B=45，AD是BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，求FAC的大小是 。 解：因为AD是BAC的平

2、分线，所以1=2，又EF垂直平分AD，所以2+3=4，有4=B+1，所以2+3=B+1，解得3=B，所以FAC=3=45.例4如图所示，已知AB平行于CD，BE平分ABC，DE平分ADC，求证：E=。 解：过E做EF/AB，因为AB/CD，所以EF/CD，因为EF/AB，所以1=3，因为BE是ABC的平分线，所以3=4，得1=B，同理得2=6=D，所以E=1+2=。模块二、几何图形变换之轴对称例5如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD，B=168，C=108，求D的度数是 。 解：如图，以AB为边做等边三角形ABE，连结DE、BD，则CBE=16860=108=C,因为AB=BE，AB=CD

3、，所以BE=CD，所以四边形BCDE是等腰梯形，BED=CDE=180102=72，在等腰三角形CBD中，C=108，所以CBD=CDB=，所以DBE=18036=72，DBE=BED，三角形BDE是等腰三角形，BE垂直于AD，所以BDE=180272=36，因为AD平分BDE，所以BDA=ADE=18，所以CDA=CDEADE=7218=54.例6如图，在ABC中，BAC=BCA=44，M是ABC内一点，使得MCA=30，MAC=16，则MBC= 。 解：在ABC中，BAC=BCA=44，所以ABC=92，作DAC=30交CM延长线于D，连接BD，DAM=DACMAC301614，所以BAD

4、=443014，可通过证明三角形BAD和BCD全等来说明BD是角ABC的平分线，可求得ABD=46，又AMDMAC+MCA46，所以ABD=AMD，所以可证明出三角形ABD和AMD是全等的，所以AB=AM，可以在等腰三角形ABM中求得ABM=76，所以MBC=16。例7在正三角形ABC内取一点D，使得DA=DB，在三角形ABC外取一点E，使得DBE=DBC，且BE=BA，则BED= 。 解：连结DC，因为DA=DB，CA=CB，DC=DC，所以CDA与CDB全等，所以DCA=DCB=30 (ACB=60)，又BE=BA=BC，DBE=DBC，BD=BD，所以DBE与DBC全等，得到DEB=DC

5、B=30.例8如图，AOB=30，点P位于AOB内，OP=3，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，则PMN的最小周长是 。解：以OA为对称轴，做P的对称点P，连结OP、MP、PP，则OP=OP，MP=MP，同样以OB为对称轴，做P的对称点P，连结OP、NP、PP，则OP=OP，NP=NP，于是PMN的周长是PM+PN+MN=PM+MN+PN，这是一条折线，连结PP分别与OA、OB相交于点M、N，则当M、N分别运动到M、N点时，折线段变成了直线段PP，这就是三角形PMN的最小周长。在OPP中，OP=OP=OP=3，POA=POA，POB=P OB，所以POP=60，得到PP=OP=OP=3.随

6、 堂 练 习1一个正多边形的一个外角是22.5度，那么这是一个正 边形。解：正n边形的一个外角=22.5，所以n=16.2如图，求：A+B+C+D+E= 。解：连结BC，由图知，D+E+1=2+3+4，因为1=2，所以D+E=3+4， 所以A+B+C+D+E=A+ABC+ACB=180.3在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，ABC=70，BCD=170，则BAD的大小是 度。 解：如图，以AB为一边做正三角形ABE，连结DE，则BE=AE=AB=BC=CD，ABE=60，又ABC=70，所以CBE=10，BCD=170，所以BE/CD，四边形BCDE是菱形，DE=BC=EB=AE，BED

7、=BCD=170，AED是等腰三角形，AED=36060170=130，所以DAE=(180130)=25，所以BAD=60+25=85.4如图，三角形纸片ABC中，A=65，B=75，将纸片一角折叠，使得点C落在ABC内，若1=20，则2的大小是 度。解：ABC中，A=65，B=75，所以C=40，所以3+4=A+B=140， 又A+B+1+2+3+4=360，所以1+2=80，其中1=20，所以2=60.5I是ABC的内心（三角形内角平分线的交点），且CA+AI=BC，若BAC=80，那么AIB的大小是 度。解：如图，以CD为轴做A点的对称点G，连结AG、GI，则AC=CG，AI=IG，1

8、=2，因为CA+AI=BC，所以BG=AI=IG，得到3=4，又BF是ABC的平分线，所以3=5，得4=5，所以IG/AB，四边形ABGI是等腰梯形，ABG=BAI=BAC=40，于是5=20，在ABI中，5=20，BAI=40，所以AIB=1802040=120.6在ABC内取一点M，使得MBA=30，MAB=10，ACB=80，AC=BC，那么AMC的大小是 度。 解：如图，以AB为轴，做M点的对称点N，连结MN、CN，则MB=NB，1=3=30，2=4=10，所以 MBN=21=60，所以MNB是一个正三角形，MN=MB=NB，所以5=60，又ACB=80，AC=BC，所以ABC=BAC

9、=50，所以CAN=60，ANB=AMB=1803010=140，即5+7=140，于是7=14060=80，由于外角等于圆心角的一半，所以点N在以C点为圆心，CA为半径的圆上，得CN=CA=CB，在CMB和CMN中，CB=CN，BM=NM，CM=CM，所以CMB与CMN全等，得CMB=CMN=(36060)=150，在AMN中MAN=20，所以AMN=ANM=80，所以AMC=CMNAMN=15080=70. 7在凸四边形ABCD中，ADB=ABC=105，CBD=75，如果AB=CD=12厘米，则四边形ABCD的面积是 平方厘米。 解：如图，以BD为轴，做点C的对称点E，连结AE、BE、D

10、E，则DE=DC=12，BDC与BDE全等，ADB=105，DBE=DBC=75，因为105+75=180，所以AD/BE，则BED与BEA面积相等，所以四边形ABCD的面积等于四边形AEBD的面积，又梯形AEBD中AB=DE，即两条对角线相等，所以这是一个等腰梯形。因为ABC=ADB=105，CBD=75，所以DBA=10575=30，DAB=18010530=45，所以 ADE=DAB=45，于是ABDE，四边形AEBD的面积等于ABDE2=12122=72（平方厘米）。所以四边形ABCD的面积是72平方厘米。8在直角三角形AB的斜边BC上取点P，Q使得BP=CQ=2，PQ=4，AC上取点R，AB上取点S，那么QR+RS+SP的最小值是 。解：如图，以AB为轴，做点P的对称点P，连结PS、P