Toeplitz矩阵.ppt

1、Toeplitz矩阵,主要内容,Toeplitz矩阵的定义及其性质 Toeplitz线性方程组的Levinson递推求解,1 Toeplitz矩阵的定义及其性质,1.1 Toeplitz矩阵的定义 在数学和工程问题中，常常需要求解具有特殊结构的线性方程组 ，其中 我们把这种任何一条对角线取相同元素的矩阵称为,Toeplitz矩阵。 最常见的Toeplitz矩阵是对称Toeplitz矩阵，即 这种矩阵仅由第一行元素就可完全确定，因此我们常将对称Toeplitz A矩阵简记为 若一个复Toeplitz矩阵的元素满足复共轭对称关系 即,则称之为Hermitian Toeplitz矩阵 特别地，具有特

2、殊结构,的 维Toeplitz矩阵称为斜Hermitian Toeplitz矩阵，而矩阵,称为斜Hermitian型Toeplitz矩阵，显然此矩阵可表示为 。,1.2 Toeplitz矩阵的性质 （1） Toeplitz矩阵的线性组合仍然为Toeplitz矩阵 （2）若Toeplitz矩阵A的元素 则A为对称 Toeplitz矩阵 （3）Toeplitz矩阵A的转置 仍为Toeplitz矩阵 （4）Toeplitz矩阵的元素相对于交叉对角线对称,2 Toeplitz线性方程组的Levinson递推求解,2.1 经典Levinson递推 考虑前向m阶线性预测 和后项m阶预测 这里， 代表m阶预

3、测器的第i个系数，*表示复共轭,定义前向预测误差 根据正交性原理知 ，代入式（2-1）后，可得到预测方程（Yule-Walker方程）,式中， 是 的自协方差函数，而 是m阶预测误差滤波器的误差输出功率。简写式（2-4），表示如下 在2-5式中取复数共轭，可得后向预测误差滤波器的Yule-Walker方程为,类似地，对于m-1阶前、后向预测误差滤波器，它们的Yule-Walker方程分明别为 令 式中， 是待确定的系数，称为反射系数。上式的共轭形式为,于是，综合式（2-4）式（2-10），有,比较式2-4和式2-11有 这就是求解Toeplitz线性方程组（2-4）的经典Levinson递推,

4、2.2 Levinson算法 现在考虑实数情况，即 和滤波器的系数 都为实数时的Levinson递推。此时，Levinson递推的乘法运算可以减少一半。这样一种算法称为分基Levinson递推。 1. 矩阵方法 在 为实数的情况下，其自协方差函数 因此， Yule-Walker方程式（2-5）和式（2-6）可分别写作,式中,为对称Toeplitz矩阵，且 令 第一行元素为 ，即 。 线性方程式（2-15）和式（2-16）是同一问题的不同表达形式，它们相加得到,简记为 式中，标量 称为分基残差能量； 称为分基横向预测参数向量，定义为 由于,向量 的第 个元素为 显然， 具有对称性 ，即向量 是对

5、称的向量。 由此可以看出，Yule-Walker方程式 （2-15） 中的参数向量 是非对称向量，而式（2-18）中的参数向量 是对称向量。这一对称性意味着只需要估计向量 中的 个参数，这就是分基的含义。 由式（2-18）的第1行得到,利用 的对称性，式（2-21）的计算量可减少一半的乘法运算：,下面推导分基横向预测参数向量 的递推公式。很明显这种递推须保持更新后的 仍然具有对称性。因此我们会想到下面的递推形式： 这就是分基Levinson递推。将分基Levinson递推公式（3-22）与经典递推（3-12）作比较，我们不难看出二者的明显差别：由于 的对称性，分基递推乘法运算是经典递推的一半。

6、分基Levinson算法的最后一个需要解决的问题是分基反射系数 的计算。对式（2-24）左乘对称Toeplitz矩阵 。令 则,其中，使用了式（2-18），且 类似的，有,于是，用 左乘式（2-24）可得到 由于我们只对 感兴趣，故由式（2-29）的第二行有,2. 多项式方法 考查任意 维列向量 。把向量 表示为一个m阶的多项式 ，令 表示 的互反多项式，即 利用互换矩阵J可得 与 之间的关系 利用以上的符号，多项式 的系数向量,是对称Toeplitz线性方程组 的解。 Levinson递推公式（2-12）也可用多项式形式写作 新的预测多项式集合 满足 为对称多项式。 利用是（2-33）与式（

7、2-34）得到关系式,令 表示预测多项式 的 系数向量矩阵。由式（2-32），（2-34）与式（2-35）可得向量 是对称Toeplitz方程组 的解。由式（2-36）可得 在式（2-34）中用 代替 ，然后借助式,（2-35）消去 ，于是，得到 上式直接给出下面的恢复公式： 下面推导预测多项式三项之间的递推关系。先借助 式（2-38）用 和 表示 。类似地，也用 和 表示 。然后，将这些结果代入公式 （2-33），有,由式（2-14）知，式（2-40）中的分基反射系数 由于 可以利用式（2-37）从 求出 ，故我们得：多项式 可以迭代使用式 （2-41）与式（2-40）连续求出。递推公式（2-40） 和（2-41）初值右下是给出： 综合（2-37），式（2-40）式（2-42）可得到下面的完整分基Levinson算法。,输入 协方差 步骤1 初始化 步骤2 计算 步