湖北某地区2025~2026学年高二下册期末质量监测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试用时120分钟一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2.已知函数在处的切线方程为，则的值为（）A. B.3 C.4 D.53.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.74.某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（）A.36种 B.72种 C.24种 D.240种5.的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.6.在6件工艺品中，有2件二等品，4件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（）A.3 B.4 C.5 D.27.如果今天是星期五，那么天后是星期几？（）A.星期一 B.星期二 C.星期四 D.星期日8.设，满足，则（）A. B. C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（）第年1234567利润亿元2.93.33.64.45.25.9A.变量与负相关 B.C.当时，残差为 D.预测当时，利润约为亿元10.已知，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.11.设函数，．则下列说法正确的是（）A.是偶函数 B.在处取得最大值C.方程有且仅有一个实根 D.对任意，都有三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.若，则__________．13.已知随机变量，，则__________．14.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据．有艺术特长无艺术特长男250100女350150（1）用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们有且只有一名有艺术特长的概率；（2）在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关．附：，．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是．（1）求的值；（2）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之差的绝对值，求的分布列和期望．17.已知函数．（1）求在上的最大值和最小值；（2）求过原点的切线方程．18.现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为．（1）求和；（2）求；（3）当时，求随机变量的分布列和数学期望．19.已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）讨论的单调性；（3）若存在极小值，且极小值等于，求证：．

数学满分150分，考试用时120分钟一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：运用初等函数导数运算法则，结合复合函数的求导法则、两个函数之积的求导法则逐一判断即可.解答过程：因为，所以选项A求导不正确；因为，所以选项B求导不正确；因为，所以选项C求导不正确；因为，所以选项D求导正确.2.已知函数在处的切线方程为，则的值为（）A. B.3 C.4 D.5答案：B解析：解答过程：因为，所以，又因为函数在处的切线方程为，所以，所以，则，所以，将点代入切线方程得，即，所以.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7答案：B解析：解答过程：已知随机变量服从正态分布，则正态曲线关于直线对称.因为和关于对称轴对称，根据正态分布的对称性可得，因此4.某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（）A.36种 B.72种 C.24种 D.240种答案：A解析：思路：先给除舞蹈节目和合唱节目外的三个节目排序，再用插空法排舞蹈节目和合唱节目.解答过程：参加汇演的节目除一个舞蹈节目和一个合唱节目外，其余3个有种排列方法；此时，可产生4个空位，让一个舞蹈节目和一个合唱节目插空，且舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，即顺序确定，所以有种排法.因此，共有种不同的节目顺序.5.的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二项展开通项求解计算即可求的系数.解答过程：的二项展开通项且，含的项为，所以的系数为.6.在6件工艺品中，有2件二等品，4件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（）A.3 B.4 C.5 D.2答案：A解析：解答过程：由题意的可能取值为，且，，，故，.7.如果今天是星期五，那么天后是星期几？（）A.星期一 B.星期二 C.星期四 D.星期日答案：D解析：思路：先求出2的幂对7取模的周期，进而求出结果.解答过程：2的幂对7取模：；；；；；.周期为3，即.，即.因此，，即天相当于往后推2天，所以是星期日.8.设，满足，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：构造函数应用导函数得出函数单调性，再结合函数图象数形结合判断求解.解答过程：令当时，；当时，．将问题转化为判断函数的图象在区间上的位置关系．下面先判断函数图象在区间的位置关系：令，导数为，令，则上式变为，令，得．当时，；当时，．故在先递增，后递减．而，故在恒成立，当时，的图象恒在上方（1），下面判断函数图象在区间的位置关系：令，求导数得，令，则，而，故，有，当时，；当时，，而，故在恒成立，当时，的图象恒在上方（2），由（1）（2）得，函数图象在区间的位置关系如图所示由图易得，．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（）第年1234567利润亿元2.93.33.64.45.25.9A.变量与负相关 B.C.当时，残差为 D.预测当时，利润约为亿元答案：BC解析：思路：根据线性回归方程的知识计算即可.解答过程：因为关于的经验回归方程为，斜率为，所以变量与正相关，A错误；经验回归方程过样本中心点，，因此，可得，解得，B正确；当时，，所以残差为，C正确；当时，，即利润约为亿元，D错误.10.已知，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用赋值法验证A，B，C选项的正误，再结合通项求判断D的正误.解答过程：因为，令，得，故选项A正确；令，得，即，故选项B正确；令，得，由及，两式相加，得，所以，所以，故选项C错误；由，其展开式的通项为，所以，故选项D正确.11.设函数，．则下列说法正确的是（）A.是偶函数 B.在处取得最大值C.方程有且仅有一个实根 D.对任意，都有答案：ACD解析：思路：A.计算得，定义域对称，故是偶函数，A正确；B.求导得​，是极小值点，取最小值而非最大值，B错误；C.整理方程得，换元后仅有一个正根，对应唯一实根，C正确；D.利用偶函数性质化简，可得恒成立，D正确.解答过程：选项A：计算得，定义域为，关于原点对称，故是偶函数，A正确；选项B：对求导得，令得：时，，在单调递减；时，，在单调递增.因此是的最小值点，B错误；选项C：方程整理得，令，即，该方程只有一个正根，对应唯一实根，C正确；选项D：化简得，原不等式等价于，令​，即证​，构造，可知，令，，因为

，所以

，即，故单调递增，又，因此恒成立，不等式成立，D正确.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.若，则__________．答案：2或3解析：解答过程：由题意可得或，解得或，当时，，符合题意；当时，，符合题意.所以或.13.已知随机变量，，则__________．答案：解析：思路：根据二项分布期望和方差公式，结合期望和方差的性质可得答案解答过程：，则，，因为，所以，所以，故，.14.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.答案：解析：思路：恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码.分两类，三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1.每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序有种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置(注意平均分组问题)，最后让第四种颜色出现有一种方法,相乘可得，最后根据古典概型求概率即可.解答过程：由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有种不同的取法.恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1,三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有种，三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法有种，由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有种取法，所以恰好取6次卡片时停止的概率为:，故答案为：方法提示：本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题.四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据．有艺术特长无艺术特长男250100女350150（1）用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们有且只有一名有艺术特长的概率；（2）在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关．附：，．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）（2）在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为学生性别与有无艺术特长有关.解析：思路：（1）结合题意可得，根据二项分布概率计算公式计算求解；（2）根据卡方公式求出的值，与临界值进行比较即可判断.（1）因为该校男生有艺术特长的概率为，记有艺术特长的男生人数为，显然，于是．（2）因为，故在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为学生性别与有无艺术特长有关.16.甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是．（1）求的值；（2）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之差的绝对值，求的分布列和期望．答案：（1）（2）的分布列为：012解析：思路：（1）通过“从袋中取两个标号为2的球的概率”列组合数方程，解方程即可得到；（2）先确定的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，最后整理分布列求期望即可.（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为，由取到的标号都是2的概率是，得，整理得，解得或（舍去），所以；（2）的可能取值为0，1，2．，，，所以的分布列为：012所以.17.已知函数．（1）求在上的最大值和最小值；（2）求过原点的切线方程．答案：（1）最大值为，最小值为0（2）和解析：思路：（1）利用导数分析在上的单调性，比较端点处的函数值和极值，即可得在上的最大值和最小值；（2）设切点为，根据导数的几何意义表示出切线方程，由切线过原点，求得，从而得到过原点的切线方程．（1）函数的定义域为，.令得或，，，，，当在上变化时，，的变化情况如下表：023--0+0--↘0↗↘因为，，所以在上的最大值为，最小值为．（2）因为，所以在定义域上可导，即过原点的切线的斜率存在．设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率，所以切线方程为，由切线过原点得，即，即，解得或．当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为；当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即．综上，所求切线方程为和．18.现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为．（1）求和；（2）求；（3）当时，求随机变量的分布列和数学期望．答案：（1）；（2）；（3）解析：02思路：（1）根据超几何分布的概率公式计算对应事件的概率；（2）结合条件概率，通过全概率公式求解；（3）先确定的所有可能取值，根据全概率公式计算相应的概率，进而可得分布列，再根据期望公式计算数学期望.（1）由题意得：，；（2）由题意得：的可能取值为，由（1）有，所以，当时，袋中全为白球，摸出白球换为红球后，红球的个数为，则，所以；当时，袋中有个红球个白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则，摸到白球换红球后，红球的个数为，则，所以；当时，袋中有2个红球1个白球，摸到红球换白球后，红球的个数为1，则，摸到白球换红球后，红球的个数为3，则，所以；当时，袋中有3个红球，摸到红球换白球后，红球的个数为2，则，所以，根据全概率公式得：；（3）当时，袋中有个红球1个白球，第一次摸换后的可能取值为1，3，，第二次摸换后的可能取值为0，2，，，所以的分布列为：02所以；19.已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）讨论的单调性；（3）若存在极小值，且极小值等于，求证：．答案：（1）（2）当时，在上单调