人教A版高中数学选修2-1椭圆的定义与标准方程

1、太 阳 系,2.2.1椭圆及其标准方程,普宁侨中 郑庆宏,尝试实验，形成概念,1取一条细绳； 2把它的两端固定在板上的两点F1、F2； 3用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形。,F1,F2,M,观察做图过程：1绳长应当大于F1、F2之间的距离。2由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。,动手画：,1. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？,2绳长能小于两图钉之间的距离吗？,1. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？,2绳长能小于两图钉之间的距离吗？,平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2 |）的

2、点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距。,1、椭圆的定义,如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：,P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）,（1）平面曲线；,（2）到两定点F1，F2的距离和等于定长；,（3）定长|F1F2|。,反思：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？,平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距。, 探讨建立平面直角坐标系的方案,方案一,(对称、

3、“简洁”),x,设P (x, y)是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c),（问题：下面怎样化简？）,由椭圆的定义得，限制条件：,由于,得方程,两边除以 得,由椭圆定义可知,整理得,两边再平方，得,移项，再平方,椭圆的标准方程,刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程， 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？,（问题：下面怎样化简？）,由椭圆的定义得，限制条件：,由于,得方程,如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？,Y,椭圆的标准方程的特点：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是

4、两个分式的平方和，右边是1。,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反之求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。,（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点就在哪一个轴上。并且哪个大哪个就是a2。,分母哪个大，焦点就在哪个轴上。,平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹。,再认识！,则a ，b ；,则a ，b ；,5,3,4,6,口答：,则a ，b ；,则a ，b ,3,快速练习：1.判定下列椭圆的焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。,答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0

5、）,答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）,判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：,哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.,变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？,变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？,已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；,2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程,当焦点在X轴时，方程为：,当焦点在Y轴时，方程为：,分组练习：求椭圆的焦点坐标与焦距,答：焦点（-3，0）（3，0） 焦距 2c=6,答：焦点（0，-12）（0，12） 焦距 2c=24,例1

6、.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。,解：椭圆方程具有形式,其中,因此,两焦点坐标为,椭圆上每一点到两焦点的距离之和为,练习1.下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.,?,两个焦点分别是 (-2，0)， (2，0)， 且过点P,例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：,法一: c=2,法二: c=2,设椭圆标准方程为:,2a=P +P,写出适合下列条件的椭圆的标准方程,两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P,解： 因为椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为, c=2，且 c2= a2 - b2, 4= a2 -

7、 b2 ,又椭圆经过点P, ,联立可求得：,椭圆的标准方程为,(法一),牛刀小试,(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为,由椭圆的定义知，,所以所求椭圆的标准方程为,求椭圆的标准方程的步骤： （1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位） （2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b （后定量）,1.求适合下列条件的椭圆方程,1.a4，b3，焦点在x轴上；,2.b=1， ，焦点在y轴上,练习,3、若椭圆满足: a5 , c3 , 求它的标准方程。,如图:求满足下列条件的椭圆方程,解：椭圆具有标准方程,其中,因此,所求方程为,例3. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程,如图,在圆 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？,例 2,解：设所得曲线上任一点的坐标为 （x，y）,圆 上的对应点的坐标为（x，y），由题意可得：,因为,即 为所求轨迹方程,所以,如图,设点，的坐标分 别为(-5,0)，(5,0)直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程,例 3,x,y,O,A,B,M,解：设点的坐标为(x,y) ,因为点的坐标为(-5,0) ,所以，直线AM的斜率,同理，直线BM的斜率,由已知有,化简,得点M的轨迹方程为,练习3.已知方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是 .,(