平面向量的线性运算

1、2.2.1向量加法运算及其几何意义,新课导入,物理学中，两次位移 的结果和位移 是相同的。 2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。,向量的加法,已知向量a,b，在平面内任取一点A，作 a， b，则向量 叫做a与b的和，记作a+b，即a+b= 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形ABCD则以O为起点的对角线 就是a与b的和。 我们把这种作两个向量和的方法叫做

2、向量加法的平行四边形法则。,向量的加法,对于零向量与任一向量a， 规定a+0=0+a=a,向量的加法,已知向量a,b，用两种方法求作向量a+b。 解：,当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？,两个向量的和仍是一个向量。 当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|； 当|a|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.,数的加法满足交换律与结合律， 即对任意a,bR，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)， 任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？,作图验证,一艘船

3、以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。,1.课本P93,1、2、3、4 2.摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具，设它在静水中的航行速度是每小时25千米，如果当时的水流速度是每小时15千米，那么该摩托艇向下游航行时，每小时能行_千米，它向上游航行时，每小时能行_千米.,40,10,2.2.2 向量减法运算及其几何意义,向量的减法,减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？,相反向量,规定与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，显然-(-a)=a， 规定，零向量的相反向量仍是零

4、向量。,向量减法的定义,任一向量与其相反向量的和是零向量， 即 a+(-a)=(-a)+a=0，所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0， 定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。,运算法则,已知a、b， a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d. 解：,在学习向量加法概念时，要结合物理学理解向量加法的意义； 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量； 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义； 理解向量减法的意

5、义；能作出两个向量的差向量。,练习3：课本P96 练习1、2、3 练习4：判断下列等式是否成立： (1)a+b=b+a ( ) (2)a-b=b-a ( ) (3)0-a=a ( ) (4)-(-a)=a ( ) (5)a+(-a)=0 ( ),习题2.2 A组 1、2、3、4、6、7、8,习题2.2 A组 1、2、3、4、6、7、8,2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，并说明它们的几何意义. 把a+a+a记作3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的3倍，即|3a|=3|a|. 同样，(-a)+(-a)+(-a)=3(

6、-a)，显然3(-a)的方向与a的方向相反，3(-a)的长度是a的3倍，这样3(-a)=-3a.,向量数乘,实数与向量a的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下： （1）|a|=|a|； （2）当0时，a的方向与向量a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反.,特别地， 当=0或a=0时，a=0； 当=-1时，(-1)a=-a，就是a的相反向量.,实数与向量的积的运算律,设、为实数，那么 （1）(a)=( )a；（结合律） （2）(+)a=a+a；（第一分配律） （3）(a+b)= a+b.（第二分配律） 特别地，有(-)a=-(a)= (-a)，(a-b）=a-b.,

7、计算： （1）(-3)4a; （2）3(a+b)-2(a-b)-a; （3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c).,解： （1）原式=(-34)a=-12a; （2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b; （3）原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.,引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？,对于向量a(a0)、b，如果有一个实数，使b=a，那么由向量数乘的定义知：a与b共线； 反过来，已知向量a与b共线，a0，且向量b的长度是向量a的长度的倍，即|b|=|a|，那么当a与b同向时，有b=a，当a与b反向时，有b=-a.,向量共线定理： 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a.,OA,向量的线性运算,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算， 对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2， 恒有 (1a2b)= 1a2b.,DB,练习1：课本P100 1、2、3、4 练习2：设a、b是两个不平行的向量，且x(2a+b) +y(3a-2b)=7a , x,yR， 则x=_，y=_.,2,1,1 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一 个向量的积的模及方向与这个