工程数学-积分变换

1、工程数学,积 分 变 换,(第四版),引言:,所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数 变成另一个函数的变换.,Fourier变换,Laplace变换,象原函数 (方程的解),象函数,微分,积分 方程,象函数的 代数方程,Fourier逆变换,Fourier变换,解代数方程,第一节 Fourier积分,一.Fourier级数 二.非周期函数的Fourier展开 三.Fourier积分定理,一、Fourier,Jean Baptiste Joseph (傅立叶) 简介,法国数学家及物理学家。 1768年3月21 日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。 最早使用定积分符号，改进符号法则及

2、根数判别方法。傅立叶级数（三角级数）创始人。 主要贡献 1、在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文， 推导出着名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。,2、1822 年在代表作热的分析理论中解决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。,二、Fourier 级数或变换的应用领域,信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等； 研究偏微分

3、方程，比如求解热力学方程的解时，把f(t)展开为三角级数最为关键。 概率与统计，量子力学等学科。,引言: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:,具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多 少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).,t,最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(wt+j)其中 A 称为振幅，w=2p/T 称为角频率，j 称为初相角,而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数sinwt和coswt 的线性组合 Asin(wt+j)

4、=asinwt+bcoswt,t,人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,预备知识:,1, 连续或只有有限个第一类间断点;,2, 只有有限个极值点,注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.,一. Fourier级数,1.Dirichlet条件,若函数在区间-T/2,T/2上满足:,则称函数满足Dirichlet条件.,第一类间断点和第二类间断点的区别:,第二类间断点,第一类间断点,不满足Dirichlet条件的例子:,而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足Dirichlet条件

5、. 实际上不连续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一些.,存在第二类间断点；,在靠近 0 处存在无限多个极值点；,1. 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况.,说明:,并非理论上的所有周期函数都可以用Fourier 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件.,2. Fourier级数的三角形式.,任何满足Dirichlet条件的周期函数fT(t), 在连续点处可表示为三角级数的形式如下:,为求an, 计算fT(t), cosnwt, 即,同理, 为求bn, 计算fT(t

6、), sin nwt, 即,3. Fourier级数的复指数形式,为了应用上的方便, 我们常需要将Fourier级数 的三角形式转化为复指数形式.,给定 fT(t), cn的计算如下:,如令wn=nw (n=0,1,2,.),则(1.1)式可以写为,Fourier级数的复指数形式,或者写为,非周期函数,二.非周期函数的Fourier展开,作周期为T的函数fT(t), 使其在-T/2,T/2之内等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上.,则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明 当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有,结论: 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.,如图,w,O w1 w2 w3 wn-1wn,所以上式又可写为,当t固定时,此时,很明显,这里,此公式称为函数 f(t)的Fourier积分公式.,由于,定理 若f(t)在(-, +)上满足条件:,三. Fourier积分定理,注意: 定理的条件是充分的.,复数形式,1, f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;,2, f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有,(1.4)式也可以转化为三角形式,又考虑到积分,此为Fourier积分公式的三角形式.,Fouri