概率1-3.ppt

1、3 条件概率,一、条件概率 二、事件的独立性 三、乘法公式 四、全概率公式与贝叶斯公式,一、条件概率,例1：袋中有3个白球2个黑球，从中任意地取球两次,每次取一 只（不放回取球）， 1）求第二次取到黑球的概率； 2）已知第一次取到的是白球，求第二次取到黑球的概率。,解：（1）方法1：,(2）方法1：,方法2:,p=2/5,p=1/2,此例题（2）中所求 的概率为条件概率,第一次取到白球的全部可能的结果为：,方法2:,在缩小了的“样本空间”上考虑问题,例2：课本P18例1,解：设 A=“点到的是山东籍同学” B=“点到的是女同学”,设所求的概率记为 P(B|A),称这个概率为在事件A发生的条件下

2、事件B发生的条件概率。,P(B|A)=3/8,P(A)=8 / 36 P(AB)=3/36,P(B|A)=,并非偶然,定义：设A、B为两事件，且P(A)0,称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,注：1、一般地，计算条件概率可有以下两种方法：,（1）根据上述公式计算；,（2）在缩小的“样本空间”中考虑问题。,2、相对于条件概率，以前所涉及的概率可称为无条件概率，但也可把它看作是一种特殊的条件概率，因为：,3、关于概率的一切性质对于条件概率均成立，例如：,（1） P(S|A)=1, P(A)=0;,（2）若B1,B2,Bn两两互不相容，P(A)0,则,P(B1 B2 Bn|A)=P(B1

3、 | A)+P(B2 | A)+ +P(Bn | A),（3）P(B C | A)=P(B | A)+P(C | A)P(BC | A),（4）P( |A)=1 P(B | A),（3）证：,例3：先后掷两枚骰子，观察出现的点数(n1,n2). 设: A=(n1,n2)|n1+n2=10，B=(n1,n2)|n1n2，求：P(B|A),P(A|B).,解1：（用公式）,(6,4) (5,5) (4,6),解2：（在缩小的样本空间上考虑问题）,样本点总数为：,二、事件的独立性,两个事件的独立性,定义在试验中，若事件A的发生与事件B的发生与否是 互不影响的，则称事件A与事件B是相互独立的。,例4：

4、将一枚硬币随机地投掷两次，A表示事件“第 一次投掷出 现正面”，B表示事件“第二次投掷出现反面”，则事件A与 事件B是相互独立的,例5：袋中球，黑白，有放回随机取球两 次，每次一只， 设： A=“第一次取球取到白球” B=“第二次取球取到白球”,按照定义，事件A与事件B是相互独立的,计算上例中的有关概率如下：,P(B|A)与P(B)的关系,否！,因为A的发生并不影响B是否发生，所以应该有,偶然呼？,!,定义：,设A、B为两事件，如果关系式 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B是相互独立的。,注：,两个事件A、B相互独立与互不相容是两个不同的概念，当P(A)0、P(B)0时两者

5、不能同时成立。,证：若A与B互不相容，即A B=,从而A与B不相互独立.,若A与B相互独立，则有 P(AB)=P(A)P(B)0 所以A与B一定不是互不相容的。,从而 P(A B)=0,但P(A)P(B)0,故 P(A B) P(A)P(B),定理1：,设A与B是两个事件，P(A)0,则,A与B相互独立P(B|A)=P(B),定理2:,若事件A与事件B是相互独立的，则 A与 , 与B 、 与 也是相互独立的。,证：,2、多个事件的独立性,定义3：设A、B、C是三个事件，如果有 P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C) 则称事件A、B、C两两独立。

6、,一般地，当A、B、C两两独立时，等式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 不一定成立。（课本P9第19题）,定义：设A、B、C是三个事件，如果有 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称事件A、B、C是相互独立的。,注：在实际应用中，对于事件的独立性我们往往不 是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断。,2、若事件A1,A2,An 是相互独立的，则将 A1,A2,An中的任意k(1kn)个事件换为各自的对 立事件后的n个事件仍然是相互独立的。,例如：,定义：设有n个事件Ai，i=1,n;若从

7、这n个事件中任意取k,(2kn)个事件,都有,则称这n个事件A1,A2,An是相互独立的。,，A4, ,An 相互独立的,设A1,A2,A3,An相互独立，则有 P(A1 A2 A3 An)=,一个常用公式,例6：假设每个人带有感冒病毒的概率为0.002，求在有1500人看电影的剧场中存在感冒病毒的概率。,解：假设每个人是否带有感冒病毒是相互独立的。,设,则,是相互独立的。,例7:设有电路如图所示，其中1，2，3，4，5，6是继电器。各继电器是否闭和是相互独立的，且各继电器闭和的概率均为p,求L至R为通路的概率。,P(A)=P(A1A2A3A4A5A6 )=,解：记 A=“L至R为通路”, A

8、i=“第i个继电器闭和”， i=1，2，3，4，5，6,P(Ai)=p ,i=1,2,3,4,5,6, A=A1A2A3A4A5A6 ,P(A1A2)=P(A1)P(A2)=p2 , P(A3A4)=P(A3)P(A4)=p2,P(A5A6)=P(A5)P(A6)=p2,可靠性问题,一个系统由n个元件串联而成，每个元件正常工作的概率都为p，且各元件的工作是相互独立的，求系统的可靠性。,设A为系统正常工作，,一个系统由n个元件并联而成，每个元件正常工作的概率都为p，且各元件的工作是相互独立的，求系统的可靠性。,求下列系统的可靠性,三、乘法公式,P(A)0,设A1,A2,A3,An为n个事件，n2

9、，且P(A1A2A3An-1)0,当n=3时，有,P(B)0,例8：一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零件中 随机抽取，每次一件， 1）若无放回地抽取3次，求3次都取得合格品的概率； 2）若有放回地抽取3次，求3次都取得合格品的概率。,解：记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;,2）,若有放回地抽取（A1,A2,A3相互独立）,四、全概率公式与贝叶斯公式,1.全概率公式,将复杂事件的概率计算问题转化为简单事件的概率计算。,基本思想：,样本空间的划分,设随机试验E的样本空间为S，B1,B2,Bn是一组事件，如果满足： 1）BiBj= ,ij, i,j=1,2,.n 2)

10、B1B2 Bn=S 则称B1,B2,Bn为样本空间S的一个划分（完备事件组）。,设事件B1,B2,Bn为样本空间S的一个划分，且P(Bi)0,A为任一事件，B1,B2,Bn在划分S的同时也划分了事件A,由于 S = B1B2 Bn,所以 A=AS=A(B1B2 Bn),从而 P(A)=P(AS)=P(AB1AB2 ABn),=P(AB1)+P(AB2 )+ +P(ABn ),= P(A|B1) P(B1) +P(A | B2 ) P(B2) + +P(A | Bn ) P(Bn),=AB1AB2 ABn,全概率公式,P(A)=,P(A|B1) P(B1) +P(A | B2 ) P(B2) +

11、 +P(A | Bn ) P(Bn),成立条件：有一个样本空间的划分，且P(Bi)0.,例9：甲盒中有3只白球2只黑球，乙盒中有4只白球5只黑球，今从甲盒中任取一球放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，求从乙盒中取到白球的概率.,解：设 A=“从甲盒中取出白球”，B=“从乙盒中取出白球”,A， 是样本空间的一个划分,由全概率公式,P(B)= P(B|A) P(A) +P(B | ) P( ),例10：(P25例8）盒中放有12个乒乓球，其中9个新球3个旧球，第一次比赛时从中任取3个使用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3球，求第二次取出的都是新球的概率。,解：,设A=“第二次取出的球都是新

12、球”,Bi=“第一次取出的3个球中有i个新球”， i=0,1,2,3.,B0,B1,B2,B3是样本空间的一个划分，且P(Bi)0.,2.贝叶斯公式,A为某一事件, P(A)0. 求P(Bi|A) ,i=1,2,.n,设事件B1,B2,Bn为样本空间S的一个划分，P(Bi)0,i=1,2,.n,贝叶斯公式是条件概率公式、乘法公式、全概率公式的综合运用,例11：某电子设备制造厂所用的某种晶体管由三家元件制造 厂提供，根据以往的记录有以下的数据：,设三家的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地抽取一只晶体管，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地抽取一只晶体管，已知它是

13、次品，问它 是哪个厂生产的可能性更大？,解：设 A=“取到的一只是次品” Bi=“取到的是第i厂的产品” ，i=1,2,3.,B1,B2,B3是样本空间的一个划分，,P(B1)=0.15, P(B2)=0.80, P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02, P(A | B2)=0.01, P(A | B3)=0.03,(1)由全概率公式,P(A)=,P(A|B1) P(B1) +P(A | B2 ) P(B2)+ P(A | B3 ) P(B3),=0.02 0.15+0.01 0.80+0.030.05=0.0125,(2) 由贝叶斯公式,P(B1 |A)=,同理 P(B2 |A)=0

14、.64 , P(B3 |A)=0.12 .,例12：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有下列效 果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，C表示事件：“被诊 断者确患有癌症”，则有P(A|C)=0.95，P(A | C)=0.95 。现利用,这种诊断试验对自然人群进行癌症普查，已知被普查人群的癌 症发病率为0.005，即P(C)0.005，试求P(C | A)。,解：已知P(A|C)=0.95， P(A|C)=1 P(A | C)=0.05 P(C)0.005， P(C)0.995, 由贝叶斯公式，得,贝叶斯公式在概率论和数理统计中有广泛的应用。假设B1,B2,.Bn是导致试验结果的“原因”，P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生可能性的大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道。现在