高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比推理与证明的渗透应用素材北师大版选修1_2202009253106（通用）

1、推理与证明的渗透应用推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功。将推理与证明融合渗透到其它知识中，既体现了知识间的密切联系，也是近年高考考查的热点；推理与证明以其独有的技巧与方法，在高考中占有着特殊的地位和作用。下面选取几个知识视角，举例说明推理与证明在其它知识中的渗透应用。一、 归纳推理与数列例1 设 是首项为1的正项数列，且（n+1）+ ，则它的通项公式 。解析：由+，得（舍去）；由+，得（舍去）；由+，得（舍去）。所以推测，代入等式验证，等式成立。故 。点评：本题是根据数列的递推关系式，利用归纳推理归纳猜想出数列的通项公式。归纳推理的过程通常是：选取个体 观察分析 推测结

2、论；其关键在于观察过程中如何发现规律，推测出一般性命题。学习中要善于运用归纳推理，大胆猜想和发现。例2 一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆）：若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前个圆中实心圆的个数为 。解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆、第二段三个圆、第三段四个圆可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题求前个圆中有多少个实心圆，因此，需找到第个圆所在的段数。由于，而。因此，共有个实心圆。 点评：利用归纳推理发现规律是处理此题的关键所在，而“分段”正是要点所在，它使规律很清晰地显现出来。二、 类比推理与几何例3 已知圆的方程，则经过圆上一点的切线方程为。

3、类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为 。解析：圆的性质中，经过圆上一点的切线方程就是圆的方程中的一个与分别用的横坐标与纵坐标替换。故可得椭圆类似的性质为：过椭圆上一点的切线方程为：。点评：本题通过圆的一个性质类比得到椭圆一个类似性质，是一种平行类比。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段。类比在数学中应用广泛。数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。例4 如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为， 此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则。类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，此三

4、棱锥内任一点到第个面的距离 记为，若，则等于 。 a2 a1 h2 h3 h1 a3 h4 P a4 解析：因为， ，所以，所以，即。点评：本题是由平面向空间的类比。类比推理的关键是找到合适的类比对象。一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积 合情推理对思维能力有较高的要求，特别是类比题，成为近年高考命题中的热点题型，是高考命题的一道亮丽的风景。三、演绎推理、直接证明与间接证明与不等式例5 设函数，且，。求证：（1）且；（2）函数在区间内至少有一个零点；（3）设、是函数的两个零点，则- 。解析：（1），。又，, , ,.又

5、，。，。（2），当时, ，且, 函数在内至少有一个零点。当时, ，且, 函数在内至少有一个零点。综合、得，在区间内至少有一个零点。（3）、是函数的两个零点，则、是方程的两根。，。，- 。点评：本题是二次函数、函数零点与不等式结合的代数推理题，运用了简化三段论形式进行推理论证，体现了演绎推理的应用。四、数学归纳法与数列、不等式例6 已知函数是方程（），是的导数，设 （1）求的值； （2）证明：对任意的正整数，都有；（3）记,求数列的前项和。 解析：（1）、（3）略；（2）=, . 下面用数学归纳法证明当时，成立： 当时， =，命题成立。 假设时命题成立，即，此时，则当时，命题成立。根据数学归纳法可知，对