高中数学竞赛标准讲义：第三章：函数新人教A版（通用）

1、第三章函数一、基础知识定义1映射对任意2个集合a、b，根据对应规则f，如果在b中唯一的要素与a中的任意的要素x对应，则将f: AB称为1个映射。定义2单射，f: AB是一个映射，对于任意的x、y-a、xy，如果都有f(x)f(y )，就称为单射。定义3完整照片如果f 3360 ab为映射，对于任意的y-b，如果有一个x-a成为f(x)=y，则f 3360 ab被称为从a向b的完整照片。定义4一对一映射，如果f: AB为单射和满射双方，则称为一对一映射，仅一对一映射存在逆映射，即存在从b到a为逆的由对应规则f-1构成的映射，标记为f-1: AB。在定义5个函数和映射f: AB中，若a、b都是非空

2、数定径套，则该映射为函数。 a被称为其定义域，x-a、y-b，并且f(x)=y (即，对应于x为b的y )，y被称为x的影像，x被称为y的原影像。 集合f(x)|xA称为函数的值域。 通常函数由解析式提供，其中，函数的定义域是处于可以取的具有解析式意义的未知数的值的范围，例如，函数y=3-1的定义域为x|x0，0，xR。在定义6个反函数中，如果函数f: AB (通常记为y=f(x ) )是一对一映射，则将其逆映射f-1: AB称为原函数的反函数，通常记为y=f-1(x )的示例：函数y=的逆函数为y=1-(x0 )。定理1彼此为反函数的两个函数的影像关于直线y=x对称。定理2在定义域中是增加(

3、减法)函数的函数，其反函数一定是增加(减法)函数。定义7个函数的性质。(1)单调性：如果函数f(x )在区间I上满足任意的x1，x2I且x1 x2，总是满足f(x1)f(x2)，则f(x )在区间I上增加(减去)(2)奇性：将函数y=f(x )的定义域设为以d、d为原点对称的整数定径套，对于任意的x-d，如果有f(-x)=-f(x )，则称为f(x )，对于任意的x-d，如果都有f(-x)=f(x )，则称为f(x )是偶函数奇函数图像关于原点对称，且偶函数图像关于y轴对称。(3)周期性：对于函数f(x )，如果存在非零常数t，当x取定义域内的一个又一个整数时，如果f(x T)=f(x )成立

4、，那么将f(x )称为周期函数，并且t是该函数的整数。定义8设果实数aa为开区间(a，)，集合x|xa为半开半闭区间(-，a )。定义9个函数的图像，点定径套(x，y)|y=f(x )，xD被称为函数y=f(x )的图像，其中d是f(x )的定义域。 通过画画得到函数y=f(x )的图像和其他函数图像的关系(a，b0)是不容易的(1)将a个单位向右错位得到y=f(x-a )的图像。 (2)将a个单位向左错位，得到y=f(x a )的图像。 (3)使b个单位向下移动，得到y=f(x)-b的图像。 (4)关于y=f(-x )的图像和y轴对称。 (5)函数y=-f(-x )的图像关于原点对称。 (6

5、)关于直线y=x与函数y=f-1(x )的图像对称。 (7)函数y=-f(x )的图像关于x轴对称。定理3复合函数y=fg(x)的单调性记住“同增异减”四个单词。 例如，y=，u=2-x在(-，2 )中是减法函数，y=在(0，)中是减法函数，y=在(-，2 )中是增加函数。注：复合函数的单调性判定方法为同增减。 在此不作严密论证，要求指导后显而易见。二、方法和例题xyx系列11x1 .尺数形结合。求出方程式|x-1|=的正根的个数。【解】分别描绘y=|x-1|和y=的图像，由图像可知两者具有唯一的升交点，因此，方程式有正的根。例2求函数f(x)=的最大值。当记录f(x)=、点P(x，x2)、a

6、 (3，2 )、b (0，1 )时，f(x )表示从动点p到点a和b的距离的差。|PA|-|PA|AB|=因此，等号仅在p为AB延长线和抛物线y=x2的升交点的情况下成立。所以f(x)max=2、函数性质的应用。令例3为x、y-r并且满脚丫子，求x-y。设f(t)=t3 1997t，则先证f(t )在(-，)上增加。 实际上，如果是a0，则f(t )增加。根据问题，假设f(x-1)=-1=f(1-y )，x-1=1-y，并且x y=2。例4奇函数f(x )在定义域(-1，1 )内为减函数，另外在f(1-a) f(1-a2)0，求a的可取值的范围。因为f(x )是奇函数，所以如果f(1-a2)=

7、-f(a2-1)，根据题目设定f(1-a)0，则从得到n0，设定f(t )。 另外，因为f(m)=f(-n )，所以m=-n，所以3x-1 2x-3=0，所以x=)m0且n0的情况。 同样地存在m n=0、x=，但与m0相不符点定。总之，方程式中唯一的实数解x=3 .配置方法。例7求出函数y=x的值域。解释： y=x=2x 1 2 1-1=(1)-1-1=-。当x=-时，y取最小值-，因此函数值域为-，)。4 .兑换法。例8求出函数y=( 2)(1)、x- 0，1 的值域。因为命令=u是x-0，1，所以2u2=24，所以+/- 2，12，所以y因此，该函数值域是 2，8 。5 .判别式。例9求

8、函数y=的值域。由函数解析式得到的(y-1)x2 3(y 1)x 4y-4=0. 在y1的情况下，式关于x的方程式有实根。在=9(y 1)2-16(y-1)20下，解除y1。另外，当y=1时，存在x=0的解析式成立因此，函数值域为，7。6 .关于反函数。例10函数y=f(x )的定义域、值域都是r，并且存在反函数的情况。 当f(x )以(-、)增加时，求证： y=f-1(x )也以(-、)为增函数。【证明】作为x10，f(x )以(-)增加，同理f(x )以(-)增加。在方程式f(x)=f-1(x )中，如果记作f(x)=f-1(x)=y，则y0，从f-1(x)=y得到f ()如果是xy的话，

9、即使是xy也会出现不符点。 所以x=y。即f(x)=x，化学简并性3x5 2x4-4x-1=0，即，(x-1)(3x4 5x3 5x2 5x 1)=0，因为x0，所以在3 x 4、5 x 3、5 x 2、5 x 10中，x=1。三、基础训练问题1.x=-1，0，1 、Y=-2，- 1，0，1，2 、映射f:XY满脚丫子：对于任意的x-x给出a= 1，2，3 ，b=-1，0，1 和映射f:XY，如果f是单射，则f有_，如果f是满射，则f有_ _ _ _ _个。 满脚丫子ff(x)=f(x )的映射为3 .如果直线y=k(x-2 )和函数y=x2的2x图像在点(-1，-1)处相交，则图像和直线共享

10、_个升交点。4 .如果函数y=f(x )的值域是，则函数g(x)=f(x )的值域是5 .已知的f(x)=，函数g(x)=ff(x)的值域是已知f(x)=|x a|，当x3时，如果f(x )是增加函数，则a的可取值的范围为_。如果y=f(x )在定义域(，2 )中被设置为增函数，则y=f(x2-1)的单调减少区间变为8 .如果在函数y=(x )中存在反函数y=-1(x )，则y=-1(x )的图像和y=-(-x )的图像关于直线是9 .当函数f(x )满足=1-时，f ()=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。10 .函数y=，x

11、(1，)的反函数是11 .求出以下函数的值域： (1)y=； y=； 3)y=x 2 (4) y=已知在r上定义的任何x-r，f(x)=f(x 2)并且在f(x )为偶函数并且x-2，3的情况下，满足f(x )。四、高考水平的训练问题已知的a-f (x )定义域是(0，1 )，而g (x )=f (x-a ) f (x )的定义域是假设2.0a1，则f(x)=(a-1)x2-6ax a 1总是为正值。 f(x )的定义域是映射f: a，b，c，d 1，2，3 满足100，函数f(x )的定义域为r，并且获得f(x a)=证据： f11 .将与x相关联的方程2x2-tx-2=0这两条设为、()，

12、求出已知的函数f(x)=、(1)f()、f()。 (2)求证据： f(x )在，中是增函数。 (3)对于任意正数x1、x2，求出证据：2|-|。五、联赛考试水平的训练问题1 .奇函数f(x )包括函数f-1(x )，其中，在y=f(x )的图像向上偏移三个单位，接着向右偏移两个单位，然后关于直线y=-x对称时，所获得的曲线对应的函数是如果a 0、a1和F(x )是奇函数，那么G(x)=F(x )就是奇偶性。如果3.=x，则下面的公式中正确的是_ _ _ _ _ .f (-2-x )=-2-f (x )。 F(-x)=； f (x-1 )=f (x ):f (x )=-x。假设函数f:RR满足f(0)=1，并且对于任何x和y-r，存在f(xy1)=f(x)f(y)-f(y)-f(y )5.f(x )是在r上定义的函数，如果f(1)=1并且对于任何x-r来说，通知f(x 5)f(x) 5，f(x1)f(x )的g(x)=f(x) 1-x，那么g (2002 )=_ _ _ .6 .函数f(x)=的单调递增区间是7 .函数f(x)=的奇数性是： _奇数函数、_ _ _ _ _双位数函数(填写为非)。8 .函数y=x的值域是f(x)=、对于任意的a-r，标记为v (a )=max f (x