高中数学第五届全国青年教师观摩与评比活动《等比数列》教学设计（通用）

1、第五届全国高中青年数学教师优秀班竞赛教学目标：1.通过例子理解几何级数的概念通过从丰富的例子中抽象出几何级数的模型，学生们认识到这类序列也是现实世界中的大量序列模型；同时，它还经历了寻找几个具体序列的等比关系和归纳几何级数定义的过程。2.探索和掌握几何级数的一般公式摘要：通过对等差数列通项公式推导过程的类比，探讨了几何级数的通项公式，并通过与指数函数的形象类比，探讨了几何级数通项公式的形象特征及其与指数函数的关系。3.通过几何级数和指数函数的关系，我们知道序列是一个特殊的函数。教学重点：理解几何级数的概念，知道几何级数是反映自然规律的重要级数模型之一，探索和掌握几何级数的通式。几何级数与其对应

2、函数的关系。教学过程：首先，创设情境，引入新课程在以前的课程中，我们学习了算术级数的定义，算术级数的一般术语公式和算术平均术语的定义。今天，我们将学习另一个特殊系列，首先看示例1。案例分析1:在数学3(强制)，我们知道二进制数。它是由“0”和“1”组成的一系列数字。计算机以二进制数的形式存储数据。计算机存储的最基本单位是“位”，每个位只能存储一个“0”或一个“1”，所以一个位可以存储两种不同的信息：0和1。如果有两位，可以存储四种不同的信息：00，01，10和11。我们记得n位可以存储在一起的不同类型的信息，并写出的正面老师首先让一个同学读这个问题。最后一句是什么意思？老师引导学生分析主题的意

3、义，并画出树的形象。学生通过观察、分析和理解问题的含义，的前五项是2、4、8、16和32。例2:从公元前5世纪到公元前3世纪，在中国的战国时期，庄子这本书提出了物质的无限可分性的观点，也就是说，“每天取它的一半。”你能解释一下这个论点的意思吗？学生用现代语言思考、讨论和叙述。【老师】(用现代语言叙述后)如果“一只脚”被认为是单位“1”，顺序是什么？学生发现等比例关系，写出一个无限的几何级数：1、老师众所周知，计算机病毒的传播速度非常快，速度惊人，让我们来看一个这样的例子。例3:电脑病毒可以在电脑中找到地址簿，并通过邮件传播。如果病毒制造者作为第一轮发送病毒，邮件接收者作为第二轮发送病毒，依此类

4、推。假设每台计算机每轮感染20台计算机，那么每轮无重复感染该病毒的计算机数量的顺序是什么？学生合作讨论，找出第一轮和第二轮是什么。因此，每一轮被该病毒感染的计算机数量是1，20，202，203，教师回忆序列的算术关系和算术级数的定义，观察上面的序列 ，并谈论它们的共同特征。引导学生通过类比算术级数的概念找到等价关系。我们可以找到：顺序从第二项开始，每项与其前一项的比率等于_ _ _ _；从第二个项目开始，每个项目与其前一个项目的比率等于_ _ _ _；从第二个项目开始，每个项目与其前一个项目的比率等于_ _ _ _；也就是说，这个级数有一个共同的特征：从第二项开始，每个项与前一项的比值等于同一

5、个常数。我们称这个级数为几何级数。这就是我们今天要学习的几何级数。设计意图目的是让学生理解几何级数来源于生活中的例子，观察每个系列的共同特征，进一步总结几何级数的定义。第二，探索新课程1.几何级数的定义问题1:通过类比算术级数的定义，你能定义几何级数吗？设计意图学习类比的概念。学生独立思考，比较算术级数的定义。定义几何级数。如果一个数列从第2项开始，并且每一项与其前一项的比率等于相同的常数，那么这个数列称为几何级数。这个常数叫做几何级数的公比。公比通常用字母q来表示。如何用数学符号语言表达几何级数的定义？如果我们的第n项由表示，那么前一项应该如何表示，比率应该如何表示？这里n的取值范围是多少？

6、学生讨论和交流。或者老师请打开你的课本，看看课本中几何级数是如何定义的。这和刚才同学给的定义一样吗？有什么区别？学生阅读课本，仔细比较，找出不同之处。学生们发现教科书中有一个q0的条件。思考：“q0”的条件能从几何级数的定义中去掉吗？为什么？你能把的条件改写成 吗？为什么？设计意图引导学生重新理解和进一步理解几何级数的内涵。学生经过讨论、分析和总结，“q0”的条件不能去掉，因为如果q=0，那么分子就是0，每个分子都可能出现在分母中，那么分母就是0，没有意义；该表达式表明几何级数中的任何项都不能为0。在：几何级数中感觉q0。老师那么是不是有一系列既相等又相等的数字？学生1常数系列。是吗？你有不同

7、的意见吗？学生2非零常数序列既是算术级数又是几何级数。练习1:确定下列数列是否是几何级数。如果是，请指出共同比率q(1) 1，2，8，32，128，-没有(2) -1，-5，-25，-125，-是，q=5(3) 2，2，2，2，-是，q=1(4) 1，-0.5，0.25，-0.125，-是的，q=-0.5(5) 1，2，1，2，1，2否:公比q的取值范围是多少？学生是正数和负数，但不能为零。练习2:找出什么样的数字被插入到下面的组中，然后它们是几何级数。(1)1，_，9(2)-1，_ _ _ _ _ _ _，-4(3)-12，_ _ _ _ _ _ _，-3(4)1，_ _ _ _ _ _ _

8、 _，1学生1根据几何级数的定义，可以得出结论，在插入3之后，它就构成了几何级数。学生2在加上-3后，它还可以形成几何级数。学生们认为并得到他们都符合问题的意思。下面三个小问题可以根据(1)顺利回答。老师在学习了算术级数的定义之后，我们也做了这样一个问题，在两个数之间插入一个数，使三的数成为算术级数，然后我们称中间的数为算术平均数。通过与等中值项概念的类比，我们把刚才插入的数字称为等中值项。2，等于中期问题2:在算术级数的前一部分，我们有算术平均项的定义。你能模仿算术平均项并给出算术平均项的定义吗？算术平均项和等比例平均项之间有什么区别？【老师】类比算术平均术语的概念。让我们定义算术平均项。学

9、生如果在A和B之间插入一个数G，使A、G和B成为几何级数，那么G就叫做A和B的等比例。学生们得出结论，任何两个数都有相等的中间项，一个只有一个，而只有两个数相同的数有相等的中间项，并且有两个中间项，它们彼此相反。3.几何级数的一般公式让我们在情境中继续研究这三个系列。探究3:试着写出以上三个系列的通式，猜一猜几何级数的通式。【设计意图】体现从特殊到一般的思想，先写出具体例子的通式，让学生体验观察、归纳和猜想的过程。 学生通过观察，我们可以看到这三个级数的通项公式，并寻找这三个公式的共性。我们将改写成、，并观察到它们都具有n-1次方的形式，乘数前面的数字2、1和1是第一项，而乘数后面的数字2和2

10、0是所有项的公比，因此我们猜想几何级数的一般项公式是an=a1qn-1老师这位同学猜得很好，让我们推导出几何级数的通式，看看它是否与这位同学的猜想一致。问题4:通过类比算术级数通式的推导过程，请写出第一项为a1、公比为q的几何级数通式老师学习算术级数的一般公式时，我们用了什么方法？学生1回忆了用不完全归纳法证明通式的方法。与算术级数的推导过程类似，几何级数an的第一项是a1，公比是q。根据几何级数的定义，我们有：a2=a1q，a3=a2q=a1q2，也就是说，an=a1qn-1。老师请考虑一下。你还有其他方法吗？学生2根据几何级数的定义，我们还可以写，此外，an=a1qn-1。学生3an=an

11、-1q=an-2q 2=an-3q 3=a1qn-1。也得到。几何级数的通式：an=a1qn-1 (nN,q0)在我们知道几何级数的一般公式后，让我们做课本第52页的练习，看看它有什么应用。学生做练习，老师巡逻和指导。问题5:在课本第50页的平面直角坐标系中，(1)画出通式为an=2 n-1的系列图像。(2)在坐标系中绘制函数y=2x-1的图像，观察它们之间的关系。(3)如果底座被替换为怎么办？你的结论是什么？设计意图也可以写出几何级数的通项公式。当Q是不等于1的正数时，它是一个指数函数，是一个非零常数和一个指数函数的乘积。因此，从图像的角度来看，代表系列的点都在函数的图像上。学生观察、绘制、

12、发现和总结规律。序列是一种特殊的函数，而几何级数是其对应函数图像上的孤立点。通过几何画板演示动画。第三，总结提炼精华这门课主要研究了：一个定义：a公式：an=a1qn-1 (nN,q0)两种思想：方程思想和函数思想。有三种方法：不完全归纳法、迭代法和迭代法。你从这节课中学到了什么？学生1在这节课中，我学习了几何级数的定义，等中间项的公式，导出几何级数的三种方法，最后是几何级数和函数之间的关系。学生2我也在这门课上学到了类比的概念。老师当然，我们也有方程和函数的概念。设计意图让学生总结自己，不仅总结知识，而且总结数学思维方法。这可以帮助学生建立自己的知识体系，理清知识脉络，培养良好的学习习惯。四.家庭作业1.在几何级数中，2.根据